《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)21 空間的角的計(jì)算 蘇教版必修4.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)21 空間的角的計(jì)算 蘇教版必修4.doc（12頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

課時(shí)分層作業(yè)(二十一)　空間的角的計(jì)算 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、填空題 1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為________． [解析]　∵＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴直線AB，CD所成角的余弦值為. [答案]　 2．在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為A1B1，BB1的中點(diǎn)，則異面直線AM與CN所成角的余弦值是________. 【導(dǎo)學(xué)號：71392207】 [解析]　依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)， M，C(0,1,0)，N. ∴＝， ＝， ∴cos〈，〉＝＝， 故異面直線AM與CN所成角的余弦值為. [答案]　 3．已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于________． [解析]　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體的棱長為1，平面ABC的法向量為n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2＝(x，y，z)． 所以A(1,0,0)，E，F(xiàn)， 所以＝，＝， 則即 取x＝1，則y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)， 所以cos〈n1，n2〉＝＝， 所以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角α滿足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝. [答案]　 4．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于________． [解析]　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．設(shè)平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥，所以有 令y＝－2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n＝(2，－2,1)．設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. [答案]　 5．已知E，F(xiàn)分別是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中點(diǎn)，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的余弦值是________. 【導(dǎo)學(xué)號：71392208】 [解析]　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(1,0,0)，E，F(xiàn)，D1(0,0,1)． 所以＝(－1,0,1)，＝. 設(shè)平面AEFD1的法向量為n＝(x，y，z)，則? 取y＝1，則n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一個(gè)法向量為u＝(0,0,1)， ∴cos〈n，u〉＝. [答案]　 6．在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱長AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈C，〉＝________. [解析]　建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2.可知C＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈C，〉＝－， ∴sin〈C，〉＝. [答案]　 7. 如圖3229，在四面體ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，則二面角ABCD的大小為________． 圖3229 [解析]　二面角ABCD的大小等于AB與CD所成角的大小.＝＋＋，而2＝2＋2＋2－2||||cos 〈，〉，即12＝1＋4＋9－22cos〈，〉， ∴cos〈，〉＝，∴AB與CD所成角為，即二面角ABCD的大小為. [答案]　 8．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為________． [解析]　∵＝(－)＝－ ＝||||cos －||||cos ＝||(||－||)＝0. ∴cos〈，〉＝＝0. [答案]　0 二、解答題 9．如圖3230，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，連接CE并延長交AD于F. 圖3230 (1)求證：AD⊥平面CFG； (2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值． [解]　(1)證明：在△ABD中，因?yàn)镋是BD中點(diǎn)， 所以EA＝EB＝ED＝AB＝1， 故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝， 因?yàn)椤鱀AB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB， 從而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝， 所以∠FED＝∠FEA， 故EF⊥AD，AF＝FD. 因?yàn)镻G＝GD，所以FG∥PA. 又PA⊥平面ABCD， 所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG. (2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝. 設(shè)平面BCP的一個(gè)法向量n1＝(1，y1，z1)， 則 解得 即n1＝. 設(shè)平面DCP的一個(gè)法向量n2＝(1，y2，z2)， 則 解得 即n2＝. 從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為 cos θ＝＝＝. 10．如圖3231，在幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中點(diǎn)，EA＝DA＝AB＝2CB. 圖3231 (1)求證：DM⊥EB； (2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值； (3)求二面角MBDA的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：71392209】 [解]　以直線AE，AB，AD為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)CB＝a， 則A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)， 所以M， (1)證明：＝，＝(－2a,2a,0)， ∴＝a(－2a)＋a2a＋0＝0， ∴⊥，即DM⊥EB. (2)＝(0,2a,0)，＝(2a，－2a，－a)， 設(shè)異面直線AB與CE所成的角為θ， 則cos θ＝＝＝， 即異面直線AB與CE所成角的余弦值為. (3)∵DA⊥平面EAB，AD?平面DAB， ∴平面DAB⊥平面EAB. ∵EA?平面EAB，平面EAB∩平面DAB＝AB， EA⊥AB. ∴EA⊥平面DAB. ∴＝(2a,0,0)是平面DAB的一個(gè)法向量． 設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， ＝，＝(0，－2a,2a)， 則即 令z＝a，則n＝， 設(shè)二面角MBDA的平面角為α， 則cos α＝＝＝. 即二面角MBDA的余弦值為. [能力提升練] 1．如圖3232，在三棱錐VABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)A，B，V分別在x，y，z軸上，D是線段AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.當(dāng)θ＝時(shí)，則異面直線AC與VD所成角的余弦值是________． 圖3232 [解析]　由于AC＝BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 當(dāng)θ＝時(shí)，在Rt△VCD中，CD＝，故V(0,0，)． 所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)， 所以cos〈，〉＝＝＝－， 所以異面直線AC與VD所成角的余弦值為. [答案]　 2．如圖3233，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為________． 圖3233 [解析]　不妨令CB＝1，則CA＝CC1＝2. 可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)， ∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)， ∴cos〈，〉＝＝＝＝>0. ∴與的夾角即為直線BC1與直線AB1的夾角， ∴直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為. [答案]　 3．在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的正切值是________． [解析]　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA＝OB＝OC＝1，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1，1,0)，＝(－1,0,1)，＝. 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)， 則由得 令x＝1，得n＝(1,1,1)． 故cos〈n，〉＝＝， 所以O(shè)M與平面ABC所成角的正弦值為，其正切值為. [答案]　 4．如圖3234，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝，PA＝AC＝1，求二面角APBC的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：71392210】 圖3234 [解]　法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，取PB的中點(diǎn)D，連接DC，則DC⊥PB，作AE⊥PB于E. 則向量與的夾角的大小為二面角APBC的大?。? ∵A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，又D為PB的中點(diǎn)， ∴D. 在Rt△PAB中，＝＝， ∴E， ∴＝， ＝， ∴＝. 又||＝，||＝1， ∴cos〈〉＝＝＝， 即二面角APBC的余弦值為. 法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB分別為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)， ∴＝(0,0，－1)，＝(－1，，－1)，＝(－1,0，－1)，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則n1＝0， n1＝0， ∴ 取y1＝1，則x1＝，z1＝0， ∴n1＝(，1,0)， 設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 則n2＝0，n2＝0， ∴ 取x2＝1，則y2＝0，z2＝－1，∴n2＝(1,0，－1)， cos〈n1，n2〉＝＝＝，∴二面角APBC的余弦值為.