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專題04 數列問題 1．（2018新課標全國Ⅰ理科）設為等差數列的前項和，若，，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設等差數列的公差為，根據題中的條件可得， 整理解得，所以，故選B． 【名師點睛】該題考查的是有關等差數列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結合等差數列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數列的通項公式得到與的關系，從而求得結果. 2．（2018新課標全國Ⅰ理科）記為數列的前項和，若，則_________． 【答案】 【名師點睛】該題考查的是有關數列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項之間的關系，從而確定出該數列是等比數列，之后令，求得數列的首項，最后應用等比數列的求和公式求解即可，只要明確對既有項又有和的式子的變形方向即可得結果. 3．（2018新課標全國Ⅱ理科）記為等差數列的前項和，已知，． （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值． 【解析】（1）設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16． 【名師點睛】數列是特殊的函數，研究數列最值問題，可利用函數性質，但要注意其定義域為正整數集這一限制條件.（1）根據等差數列前n項和公式，求出公差，再代入等差數列通項公式得結果；（2）根據等差數列前n項和公式得關于n的二次函數關系式，根據二次函數對稱軸以及自變量為正整數求函數最值. 4．（2018新課標全國Ⅲ理科）等比數列中，． （1）求的通項公式； （2）記為的前項和．若，求． 【解析】（1）設的公比為，由題設得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，則.由得，此方程沒有正整數解. 若，則.由得，解得. 綜上，. 1．等差數列、等比數列一直是高考的熱點，尤其是等差數列和等比數列的通項公式、性質、前n項和等為考查的重點，有時會將等差數列和等比數列的通項、前n項和及性質綜合進行考查. 2．在高考中常出兩道客觀題或一道解答題，若是以客觀題的形式出現，一般一道考查數列的定義、性質或求和的簡單題，另一道則是結合其他知識，考查遞推數列等的中等難度的題.若在解答題中出現，則一般結合等差數列和等比數列考查數列的通項，前n項和等知識，難度中等. 指點1：等差數列及其前項和 1．求解等差數列通項公式的方法主要有兩種：（1）定義法.（2）前項和法，即根據前項和與的關系求解. 2．等差數列前n項和公式的應用方法： 根據不同的已知條件選用不同的求和公式，若已知首項和公差，則使用；若已知通項公式，則使用，同時注意與性質“”的結合使用. 【例1】已知等差數列滿足，，數列滿足. （1）求數列、的通項公式； （2）求數列的前項和. 【解析】（1）依題意，，即，所以，則， 故. 因為，所以①， 當時，②， ①②得，即. 當時，滿足上式. ∴數列的通項公式為. （2）由（1）知，，， 記數列的前項和為，的前項和為， 則， ， 故數列的前項和為. 指點2：等比數列及其前項和 1．求等比數列的通項公式，一般先求出首項與公比，再利用求解．但在某些情況下，利用等比數列通項公式的變形可以簡化解題過程． 2．當時，若已知，則用求解較方便；若已知，則用求解較方便. 【例2】已知等比數列的各項均為正數，且，. （1）求數列的通項公式； （2）若數列滿足：，求數列的前項和. 指點3：數列的綜合應用 1．解決等差數列與等比數列的綜合問題時，若同一數列中部分項成等差數列，部分項成等比數列，則要把成等差數列和成等比數列的項分別抽出來，研究這些項與序號之間的關系；若兩個數列是通過運算綜合在一起的，則要把兩個數列分開求解. 2．數列常與函數、不等式結合起來考查，其中數列與不等式的結合是考查的熱點，注意知識之間的靈活運用. 【例3】設等差數列的前項和為，等比數列的前項和為，已知，，． （1）若，求數列的通項公式； （2）若，且，求． （2）因為，所以，解得或， 又，所以，因為，所以，即， 所以． 【例4】已知公差大于零的等差數列的前項和為，且，． （1）求數列的通項公式； （2）若數列是等差數列，且，求非零常數的值． （3）設，為數列的前項和，是否存在正整數，使得對任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由． 【解析】（1）因為數列為等差數列，，所以， 又，所以，是方程的兩個根， 由解得，， 設等差數列的公差為，由題意可得，所以， 所以，，所以，解得， 所以，故數列的通項公式為． （2）由（1）知，，所以， 所以，，， 因為數列是等差數列，所以，即， 即，解得（舍去）， 當時，，易知數列是等差數列，滿足題意． 故非零常數的值為． （3）由題可得， 利用裂項相消法可得，故， 所以存在正整數，使得對任意的均成立， 所以的最小值為． 1．等差數列的前項和為,若,則 A．18 B．27 C．36 D．45 【答案】B 【解析】根據等差數列的性質，得， 而，所以，所以，故選B． 2．已知等比數列中，，，，數列的前項和為，則 A．36 B．28 C．45 D．32 【答案】B 【解析】由題可得：，所以，故，所以是以公差為1的等差數列，故，故選B． 3．中國人在很早就開始研究數列，中國古代數學著作《九章算術》、《算法統宗》中都有大量古人研究數列的記載.現有數列題目如下：數列的前項和，，等比數列滿足， ，則 A．4 B．5 C．9 D．16 【答案】C 4．已知數列的前項和為，，. （1）求的通項公式； （2）若，求的前項和. 【解析】（1）①，當時，②. ①-②得，，， 所以. 當時，，得，則. 所以是從第二項起，以2為公比的等比數列. 則，. 所以. （2）易知. ③， ④， ③-④得 . 所以. 5．已知數列為等比數列，數列為等差數列，且，，. （1）求數列，的通項公式； （2）設，數列的前項和為，證明：. 【解析】（1）設數列的公比為，數列的公差為， 由題意得，，解得， 所以. （2）因為， 所以 ， 因為，所以， 又因為在上單調遞增， 所以當時，取最小值， 所以.