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橢圓 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為( ) A. 13 B. 12 C. 23 D. 34 （正確答案）A 解：由題意可設(shè)F(-c,0)，A(-a,0)，B(a,0)， 令x=-c，代入橢圓方程可得y=b1-c2a2=b2a， 可得P(-c,b2a)， 設(shè)直線AE的方程為y=k(x+a)， 令x=-c，可得M(-c,k(a-c))，令x=0，可得E(0,ka)， 設(shè)OE的中點為H，可得H(0,ka2)， 由B，H，M三點共線，可得kBH=kBM， 即為ka2-a=k(a-c)-c-a， 化簡可得a-ca+c=12，即為a=3c， 可得e=ca=13． 故選：A． 由題意可得F，A，B的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程為y=k(x+a)，分別令x=-c，x=0，可得M，E的坐標(biāo)，再由中點坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo)，運用三點共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值． 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線方程的運用和三點共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題． 2. 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為33，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為43，則C的方程為( ) A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=1 （正確答案）A 解：∵△AF1B的周長為43， ∵△AF1B的周長=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， ∴4a=43， ∴a=3， ∵離心率為33， ∴ca=33，c=1， ∴b=a2-c2=2， ∴橢圓C的方程為x23+y22=1． 故選：A． 利用△AF1B的周長為43，求出a=3，根據(jù)離心率為33，可得c=1，求出b，即可得出橢圓的方程． 本題考查橢圓的定義與方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題． 3. 曲線的方程為 + =2，若直線l:y=kx+1-2k與曲線有公共點，則k的取值范圍是 ( ) A. B. C. ∪[1,+∞) D. ∪(1,+∞) （正確答案）A 試題分析：方程 + =2表示的是動點P(x,y)到點A(-1,0)，B(1,0)的距離之和為2，即有P的軌跡為線段AB:y=0(-1≤x≤1)， 直線l:y=kx+1-2k為恒過定點C(2,1)的直線， kAC= =，kBC= =1， 直線l:y=kx+1-2k與曲線有公共點，等價為kAC≤k≤kBC，即為 ≤k≤1． 4. 若橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為( ) A. 12 B. 33 C. 22 D. 24 （正確答案）C 解：依題意可知c=2b，而a=b2+c2=2c ∴橢圓的離心率e=ca=22． 故選：C． 先根據(jù)題意可知c=b，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，離心率可得． 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì).屬基礎(chǔ)題． 5. 已知△ABC中，A、B的坐標(biāo)分別為(0,2)和(0,-2)，若三角形的周長為10，則頂點C的軌跡方程是( ) A. x29+y25=1(y≠0) B. x25+y29=1(x≠0) C. x236+y220=1(y≠0) D. x232+y236=1(x≠0) （正確答案）B 解：∵|AB|=4，三角形的周長為10，∴|AC|+|BC|=10-4=6>|AB|， 根據(jù)橢圓的定義知，頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且c=2，a=3， b=9-4=5，故橢圓的方程為y29+x25=1， 故選：B． 根據(jù)三角形的周長及|AB|=4，可得|AC|+|BC|=6>|AB|，根據(jù)橢圓的定義知頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，待定系數(shù)法求橢圓的方程． 本題考查根據(jù)橢圓的定義，用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題． 6. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點和上頂點分別為A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1⊥PF2，則橢圓的離心率為( ) A. 5-12 B. 3-12 C. 53 D. 32 （正確答案）A 解：依題意，作圖如下 ∵A(-a,0)，B(0,b)，F(xiàn)1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)， ∴直線AB的方程為：x-a+yb=1，整理得：bx-ay+ab=0， 設(shè)直線AB上的點P(x,y) 則bx=ay-ab， ∴x=aby-a， ∵PF1⊥PF2， ∴PF1?PF2=(-c-x,-y)?(c-x,-y)=x2+y2-c2 =(aby-a)2+y2-c2， 令f(y)=(aby-a)2+y2-c2， 則f(y)=2(aby-a)ab+2y， ∴由f(y)=0得：y=a2ba2+b2，于是x=-ab2a2+b2， ∴PF1?PF2=(-ab2a2+b2)2+(a2ba2+b2)2-c2=0， 整理得：a2b2a2+b2=c2，又b2=a2-c2，e2=c2a2， ∴e4-3e2+1=0， ∴e2=352，又橢圓的離心率e∈(0,1)， ∴e2=3-52=(5-12)2， ∴橢圓的離心率為e=5-12． 故選A． 由題意可求得AB的方程，設(shè)出P點坐標(biāo)，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得PF1?PF2=0，結(jié)合橢圓的離心率的性質(zhì)即可求得答案． 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積，考查直線的方程，著重考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，是重點更是難點，屬于難題． 7. 過點(3,2)且與橢圓3x2+8y2=24有相同焦點的橢圓方程為( ) A. x25+y210=1 B. x210+y215=1 C. x215+y210=1 D. x225+y210=1 （正確答案）C 解：橢圓3x2+8y2=24的焦點(5,0)，可得c=5，設(shè)橢圓的方程為：x2a2+y2b2=1， 可得：9a2+4b2=1，a2-b2=5，解得a=15，b=10， 所求的橢圓方程為：x215+y210=1． 故選：C． 求出橢圓的焦點坐標(biāo)，設(shè)出方程利用橢圓經(jīng)過的點，求解即可． 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓方程的求法，考查計算能力． 8. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作一條直線(不與x軸垂直)與橢圓交于A，B兩點，如果△ABF1恰好為等腰直角三角形，該直線的斜率為( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 （正確答案）C 解：可設(shè)|F1F2|=2c，|AF1|=m， 若△ABF1構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形， 則|AB|=|AF1|=m，|BF1|=2m， 由橢圓的定義可得△ABF1的周長為4a， 即有4a=2m+2m，即m=2(2-2)a， ∴|AF1|=2(2-2)a， 則|AF2|=2a-m=(22-2)a， 在Rt△AF1F2中， tan∠AF2F1=丨AF1丨丨AF2丨=2， ∴直線AB的斜率為k=tan∠AF2F1=2， 故選：C． 假設(shè)△ABF1構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形，根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)求得|AF1|=2(2-2)a，|AF2|=2a-m=(22-2)a，則直線AB的斜率為k=tan∠AF2F1=2． 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題． 9. 橢圓C：x24+y23=1與雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a,b>0)有相同的焦點，且兩曲線的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為( ) A. 12 B. 22 C. 33 D. 32 （正確答案）D 解：橢圓C：x24+y23=1的焦點坐標(biāo)(1,0)，離心率為：12， 雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a,b>0)的焦點(1,0)，c=1，雙曲線的離心率為2． 可知a=12，則b=32， 雙曲線漸近線y=3x的傾斜角的正弦值為：32． 故選：D． 求出橢圓的離心率，得到雙曲線的離心率，求出橢圓的焦點坐標(biāo)，得到雙曲線的焦點坐標(biāo)，然后求解即可． 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力 10. 橢圓4x2+y2=2上的點到直線2x-y-8=0的距離的最小值為( ) A. 655 B. 355 C. 3 D. 6 （正確答案）A 解：∵橢圓4x2+y2=2，P為橢圓上一點， ∴設(shè)P( 22cosθ，2sinθ)，0≤θ<2π， ∴P到直線2x-y-8=0的距離： d=|2cosθ-2sinθ-8|1+22=25|cos(θ+π4)-4|5≤655， 當(dāng)且僅當(dāng)cos(θ+π4)=1時取得最小值． ∴點P到直線2x-y-8=0的距離的最小值為dmin=655． 故選：A． 設(shè)P( 22cosθ，2sinθ)，0≤θ<2π，求出P到直線2x-y-8=0的距離d，由此能求出點P到直線的距離的最小值． 本題考查點到直線的距離公式的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運用． 11. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓交于A、B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則離心率為( ) A. 22 B. 2-3 C. 5-2 D. 6-3 （正確答案）D 解：如圖，設(shè)|F1F2|=2c，|AF1|=m， 若△ABF1構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形， 則|AB|=|AF1|=m，|BF1|=2m， 由橢圓的定義可得△ABF1的周長為4a， 即有4a=2m+2m，即m=2(2-2)a， 則|AF2|=2a-m=(22-2)a， 在直角三角形AF1F2中， |F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2， 即4c2=4(2-2)2a2+4(2-1)2a2， ∴c2=(9-62)a2， 則e2=c2a2=9-62=9-218， ∴e=6-3． 故選：D． 設(shè)|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形，則|AB|=|AF1|=m，|BF1|=2m，再由橢圓的定義和周長的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得c2a2，開方得答案． 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時考查勾股定理的運用，靈活運用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵，是中檔題． 12. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點和上頂點分別為A、B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1⊥PF2，則橢圓的離心率為( ) A. 32 B. 3-12 C. 53 D. 5-12 （正確答案）D 解：依題意，作圖如下： 由A(-a,0)，B(0,b)，F(xiàn)1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)， 可得直線AB的方程為：x-a+yb=1，整理得：bx-ay+ab=0， 設(shè)直線AB上的點P(x,y)，則bx=ay-ab， x=aby-a， 由PF1⊥PF2， ∴PF1?PF2=(-c-x,-y)?(c-x,-y)=x2+y2-c2 =(aby-a)2+y2-c2， 令f(y)=(aby-a)2+y2-c2， 則f(y)=2(aby-a)?ab+2y， 由f(y)=0得：y=a2ba2+b2，于是x=-ab2a2+b2， ∴PF1?PF2=(-ab2a2+b2)2+(a2ba2+b2)2-c2=0， 整理得：a2b2a2+b2=c2，又b2=a2-c2，e2=c2a2， ∴e4-3e2+1=0， ∴e2=352，又橢圓的離心率e∈(0,1)， ∴e2=3-52=(5-12)2， 可得e=5-12， 故選：D． 由題意可求得AB的方程，設(shè)出P點坐標(biāo)，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得PF1?PF2=0，運用導(dǎo)數(shù)求得極值點，結(jié)合橢圓的離心率公式，解方程即可求得答案． 本題考查橢圓的性質(zhì)，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查直線的方程的運用，著重考查橢圓離心率，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點，直線y=b2與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是______． （正確答案）63 【分析】 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運算能力，設(shè)右焦點F(c,0)，將y=b2代入橢圓方程求得B，C的坐標(biāo)，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值.方法二、運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求.屬于中檔題． 【解答】 解：設(shè)右焦點F(c,0)， 將y=b2代入橢圓方程可得x=a1-b24b2=32a， 可得B(-32a,b2)，C(32a,b2)， 由∠BFC=90°，可得kBF?kCF=-1， 即有b2-32a-c?b232a-c=-1， 化簡為b2=3a2-4c2， 由b2=a2-c2，即有3c2=2a2， 由e=ca，可得e2=c2a2=23， 可得e=63， 另解：設(shè)右焦點F(c,0)， 將y=b2代入橢圓方程可得x=a1-b24b2=32a， 可得B(-32a,b2)，C(32a,b2)， FB=(-32a-c,b2)，F(xiàn)C=(32a-c,b2)， FB?FC=0，則c2-34a2十14b2=0， 因為b2=a2-c2，代入得3c2=2a2， 由e=ca，可得e2=c2a2=23， 可得e=63． 故答案為63． 14. 已知F1，F(xiàn)2為橢圓C的兩個焦點，P為C上一點，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則C的離心率為______ ． （正確答案）12 解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列， ∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2a， 即4c=2a， ∴e=ca=12． 故答案為：12． 根據(jù)等差中項的定義及橢圓的定義列方程即可得出離心率． 本題考查了橢圓的定義，等差中項的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 15. 橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，上、下頂點分別為B1，B2，右頂點為A，直線AB1與B2F1交于點D.若2|AB1|=3|B1D|，則C的離心率等于______ ． （正確答案）14 解：如圖所示，設(shè)D(x0,y0)，由2|AB1|=3|B1D|，得：|AB1||AD|=35， 根據(jù)三角形相似得：aa-x0=35=by0，求得：x0=-23a,y0=53b， 又直線B2F1的方程為x-c+y-b=1 將點D(-23a,53b)代入，得：-23a-c+53b-b=1,23e=1+53=83， ∴e=2338=14． 故答案為：14． 由2|AB1|=3|B1D|，得：|AB1||AD|=35，根據(jù)三角形相似得：aa-x0=35=by0，則x0=-23a,y0=53b，代入即可求得e的值． 本題考查橢圓的離心率，考查三角形的相似的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題． 16. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點A(3,12)，且點A到橢圓兩焦點的距離之和為4，則該橢圓的離心率e= ______ ． （正確答案）32 解：根據(jù)題意，橢圓上A到橢圓兩焦點的距離之和為4，則2a=4，即a=2， 又由橢圓x2a2+y2b2=1經(jīng)過點A(3,12)，則有3a2+14b2=1， 又由a=2，解可得b=1， 則c=a2-b2=3， 則該橢圓的離心率e=ca=32； 故答案為：32． 根據(jù)題意，由橢圓的定義分析可得a=2，將點A的坐標(biāo)代入橢圓方程可得3a2+14b2=1，由a的值解可得b的值，計算可得c的值，由橢圓離心率公式計算可得答案． 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，要掌握橢圓的定義以及離心率的計算公式． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 已知橢圓E：x2t+y23=1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA． (Ⅰ)當(dāng)t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積； (Ⅱ)當(dāng)2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍． （正確答案）解：(Ⅰ)方法一、t=4時，橢圓E的方程為x24+y23=1，A(-2,0)， 直線AM的方程為y=k(x+2)，代入橢圓方程，整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0， 解得x=-2或x=-8k2-63+4k2，則|AM|=1+k2?|2-8k2-63+4k2|=1+k2?123+4k2， 由AN⊥AM，可得|AN|=1+(-1k)2?123+4?(-1k)2=1+k2?123|k|+4|k|， 由|AM|=|AN|，k>0，可得1+k2?123+4k2=1+k2?123k+4k， 整理可得(k-1)(4k2+k+4)=0，由4k2+k+4=0無實根，可得k=1， 即有△AMN的面積為12|AM|2=12(1+1?123+4)2=14449； 方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N關(guān)于x軸對稱， 由MA⊥NA.可得直線AM的斜率為1，直線AM的方程為y=x+2， 代入橢圓方程x24+y23=1，可得7x2+16x+4=0， 解得x=-2或-27，M(-27,127)，N(-27,-127)， 則△AMN的面積為12247(-27+2)=14449； (Ⅱ)直線AM的方程為y=k(x+t)，代入橢圓方程， 可得(3+tk2)x2+2ttk2x+t2k2-3t=0， 解得x=-t或x=-ttk2-3t3+tk2， 即有|AM|=1+k2?|ttk2-3t3+tk2-t|=1+k2?6t3+tk2， |AN|═1+1k2?6t3+tk2=1+k2?6t3k+tk， 由2|AM|=|AN|，可得21+k2?6t3+tk2=1+k2?6t3k+tk， 整理得t=6k2-3kk3-2， 由橢圓的焦點在x軸上，則t>3，即有6k2-3kk3-2>3，即有(k2+1)(k-2)k3-2<0， 可得323，解不等式即可得到所求范圍． 本題考查橢圓的方程的運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，以及弦長公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題． 18. 設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，離心率為12.已知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為12． (I)求橢圓的方程和拋物線的方程； (II)設(shè)l上兩點P，Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B(B異于A)，直線BQ與x軸相交于點D.若△APD的面積為62，求直線AP的方程． （正確答案）(Ⅰ)解：設(shè)F的坐標(biāo)為(-c,0)． 依題意可得ca=12a=p2a-c=12， 解得a=1，c=12，p=2，于是b2=a2-c2=34． 所以，橢圓的方程為x2+4y23=1，拋物線的方程為y2=4x． (Ⅱ)解：直線l的方程為x=-1，設(shè)直線AP的方程為x=my+1(m≠0)， 聯(lián)立方程組x=my+1x=-1，解得點P(-1,-2m)，故Q(-1,2m). 聯(lián)立方程組x=my+1x2+4y23=1，消去x，整理得(3m2+4)y2+6my=0，解得y=0，或y=-6m3m2+4． ∴B(-3m2+43m2+4,-6m3m2+4). ∴直線BQ的方程為(-6m3m2+4-2m)(x+1)-(-3m2+43m2+4+1)(y-2m)=0， 令y=0，解得x=2-3m23m2+2，故D(2-3m23m2+2,0)． ∴|AD|=1-2-3m23m2+2=6m23m2+2． 又∵△APD的面積為62，∴126m23m2+22|m|=62， 整理得3m2-26|m|+2=0，解得|m|=63，∴m=63． ∴直線AP的方程為3x+6y-3=0，或3x-6y-3=0． (I)根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a，b，p即可得出方程； (II)設(shè)AP方程為x=my+1，聯(lián)立方程組得出B，P，Q三點坐標(biāo)，從而得出直線BQ的方程，解出D點坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積列方程解出m即可得出答案． 本題考查了橢圓與拋物線的定義與性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題． 19. 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，右焦點為F(1,0)． (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)點O為坐標(biāo)原點，過點F作直線l與橢圓E交于M，N兩點，若OM⊥ON，求直線l的方程． （正確答案）解：(1)依題意得，c=1，∴a2=b2+11a=22；…(2分) 解得a=2，b=1； ∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1；…(4分) (2)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)， ①當(dāng)MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，不符題意；…(5分) ②當(dāng)MN不垂直于x軸時，設(shè)MN的方程為y=k(x-1)；…(6分) 由y=k(x-1)x22+y2=1得：[1+2k2]x2-4k2x+2(k2-1)=0，…(8分) ∴x1+x2=4x21+2k2，x1?x2=2(k2-1)1+2k2；…(10分) ∴y1?y2=k2(x1-1)(x2-1)k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-k21+2k2； 又∵OM⊥ON，∴OM?ON=0； ∴x1?x2+y1y2=k2-21+2k2=0， 解得k=2，…(13分) ∴直線l的方程為：y=2(x-1).…(14分) (1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出a、b的值即可； (2)討論直線MN的斜率是否存在，設(shè)出MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合OM⊥ON，OM?ON=0求出直線的斜率k，即可求出直線l的方程． 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了直線與橢圓的應(yīng)用問題，考查了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，平面向量的應(yīng)用問題，是綜合題．