《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修1 -1.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修1 -1.doc(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解極值的概念、理解極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.(難點)2.掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟,能熟練地求函數(shù)的極值.(重點)3.會根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的值.(難點)
[自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知]
1.極小值點與極小值
若函數(shù)f(x)滿足:
(1)在x=a附近其他點的函數(shù)值f(x)≥f(a);
(2)f′(a)=0;
(3)在x=a附近的左側(cè)f′(x)<0,在x=a附近的右側(cè)f′(x)>0,則點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.
2.極大值點與極大值
若函數(shù)f(x)滿足:
(1)在x=b附近其他點的函數(shù)值f(x)≤f(b);
(2)f′(b)=0;
(3)在x=b附近的左側(cè)f′(x)>0,在x=b附近的右側(cè)f′(x)<0,則點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.
思考:(1)區(qū)間[a,b]的端點a,b能作為極大值點或極小值點嗎?
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點c,滿足f′(c)=0,則x=c是函數(shù)f(x)的極大值點或極小值點嗎?
[提示] (1)不能,極大值點和極小值點只能是區(qū)間內(nèi)部的點.
(2)不一定,若在點c的左右兩側(cè)f′(x)符號相同,則x=c不是極大值點或極小值點,若在點c的左右兩側(cè)f′(x)的符號不同,則x=c是函數(shù)f(x)的極大值點或極小值點.
3.極值的定義
(1)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點.
(2)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.
4.求函數(shù)y=f(x)的極值的方法
解方程f′(x)=0,當(dāng)f′(x0)=0時,
(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極大值.
(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,那么f(x0)是極小值.
[基礎(chǔ)自測]
1.思考辨析
(1)導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點. ( )
(2)函數(shù)的極大值一定大于極小值. ( )
(3)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點處,切線與x軸平行或重合. ( )
(4)函數(shù)f(x)=有極值. ( )
[答案] (1) (2) (3)√ (4)
2.函數(shù)y=x3+1的極大值是( )
A.1 B.0 C.2 D.不存在
D [y′=3x2≥0,則函數(shù)y=x3+1在R上是增函數(shù),不存在極大值.]
3.若x=-2與x=4是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點則有( )
【導(dǎo)學(xué)號:97792153】
A.a(chǎn)=-2,b=4 B.a(chǎn)=-3,b=-24
C.a(chǎn)=1,b=3 D.a(chǎn)=2,b=-4
B [f′(x)=3x2+2ax+b,依題意有x=-2和x=4是方程3x2+2ax+b=0的兩個根,所以有-=-2+4,=-24,解得a=-3,b=-24.]
[合 作 探 究攻 重 難]
求函數(shù)的極值
(1)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖338所示,則函數(shù)f(x)的極小值是( )
圖338
A.a(chǎn)+b+c B.3a+4b+c
C.3a+2b D.c
(2)求下列函數(shù)的極值:
①f(x)=x3-x2-3x+3;
②f(x)=-2.
[解析] (1)由f′(x)的圖象知,當(dāng)x<0時,f′(x)<0,
當(dāng)0
0,當(dāng)x>2時,f′(x)<0
因此當(dāng)x=0時,f(x)有極小值,且f(0)=c,故選D.
[答案] D
(2)①函數(shù)的定義域為R,f′(x)=x2-2x-3.
令f′(x)=0,得x=3或x=-1.
當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值-6
↗
∴x=-1是f(x)的極大值點,x=3是f(x)的極小值點,且f(x)極大值=,f(x)極小值=-6.
②函數(shù)的定義域為R,
f′(x)==-.
令f′(x)=0,得x=-1或x=1.
當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
極小值-3
↗
極大值-1
↘
由表可以看出:
當(dāng)x=-1時,函數(shù)f(x)有極小值,且f(-1)=-2=-3;
當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)有極大值,且f(1)=-2=-1.
[規(guī)律方法] 函數(shù)極值和極值點的求解步驟
(1)確定函數(shù)的定義域.
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用方程f′(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間,并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符號,來判斷f(x)在這個根處取極值的情況.
提醒:當(dāng)實數(shù)根較多時,要充分利用表格,使極值點的確定一目了然.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.求下列函數(shù)的極值.
(1)f(x)=2x+;
(2)f(x)=+3ln x.
[解] (1)因為f(x)=2x+,
所以函數(shù)的定義域為{x|x∈R且x≠0},
f′(x)=2-,
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
-
0
+
f(x)
↗
極大值-8
↘
↘
極小值8
↗
因此,當(dāng)x=-2時,f(x)有極大值-8;
當(dāng)x=2時,f(x)有極小值8.
(2)函數(shù)f(x)=+3ln x的定義域為(0,+∞),
f′(x)=-+=,
令f′(x)=0,得x=1.
當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
極小值3
↗
因此,當(dāng)x=1時,f(x)有極小值3,無極大值.
已知函數(shù)的極值求參數(shù)范圍(值)
已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1處有極值0,求a,b的值.
【導(dǎo)學(xué)號:97792154】
[思路探究] f(x)在x=-1處有極值0有兩方面的含義:一方面x=-1為極值點,另一方面極值為0,由此可得f′(-1)=0,f(-1)=0.
[解] ∵f′(x)=3x2+6ax+b且函數(shù)f(x)在x=-1處有極值0,
∴即
解得或
當(dāng)a=1,b=3時,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此時函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),無極值,故舍去.
當(dāng)a=2,b=9時,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
當(dāng)x∈(-∞,-3)時,f′(x)>0,此時f(x)為增函數(shù);
當(dāng)x∈(-3,-1)時,f′(x)<0,此時f(x)為減函數(shù);
當(dāng)x∈(-1,+∞)時,f′(x)>0,此時f(x)為增函數(shù).
故f(x)在x=-1處取得極小值.
∴a=2,b=9.
[規(guī)律方法] 已知函數(shù)的極值情況求
參數(shù)時應(yīng)注意兩點
(1)待定系數(shù)法:常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩條件列出方程組,用待定系數(shù)法求解.
(2)驗證:因為導(dǎo)數(shù)值為0不一定此點就是極值點,故利用上述方程組解出的解必須驗證.
[跟蹤訓(xùn)練]
2.(1)函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1時有極值10,則a,b的值為( )
A.a(chǎn)=3,b=-3或a=-4,b=11
B.a(chǎn)=-4,b=2或a=-4,b=11
C.a(chǎn)=-4,b=11
D.以上都不對
C [f′(x)=3x2-2ax-b.由題意知
解得或
當(dāng)a=3,b=-3時,f′(x)=3(x+1)2≥0,不合題意,故a=-4,b=11.]
(2)函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-1有極值點,求a的取值范圍.
[解] f′(x)=x2-2x+a,由題意,方程x2-2x+a=0有兩個不同的實數(shù)根,所以Δ=4-4a>0,解得a<1.所以a的取值范圍為(-∞,1).
函數(shù)極值的綜合應(yīng)用
[探究問題]
1.如何畫三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的大致圖象?
提示:求出函數(shù)的極值點和極值,根據(jù)在極值點左右兩側(cè)的單調(diào)性畫出函數(shù)的大致圖象.
2.三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c(a≠0)的圖象和x軸一定有三個交點嗎?
提示:不一定,三次函數(shù)的圖象和x軸交點的個數(shù)和函數(shù)極值的大小有關(guān),可能有一個也可能有兩個或三個.
已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=-x3+3x+a
(1)求函數(shù)f(x)的極值,并畫出其圖象(草圖)
(2)當(dāng)a為何值時,方程f(x)=0恰好有兩個實數(shù)根.
[思路探究] (1)求出函數(shù)f(x)的極值點和極值,結(jié)合函數(shù)在各個區(qū)間上的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖象.
(2)當(dāng)極大值或極小值恰好有一個為0時,方程f(x)=0恰好有兩個實數(shù)根.
[解] (1)由f(x)=-x3+3x+a,
得f′(x)=-3x2+3,
令f′(x)=0,得x=-1或x=1.
當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f′(x)<0;
當(dāng)x∈(-1,1)時,f′(x)>0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)<0.
所以函數(shù)f(x)的極小值為f(-1)=a-2;極大值為f(1)=a+2.
由單調(diào)性、極值可畫出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示,
(2)結(jié)合圖象,當(dāng)極大值a+2=0時,有極小值小于0,此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點,即方程f(x)=0恰有兩個實數(shù)根,所以a=-2滿足條件;當(dāng)極小值a-2=0時,有極大值大于0,此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點,即方程f(x)=0恰好有兩個實數(shù)根,所以a=2滿足條件.
綜上,當(dāng)a=2時,方程恰有兩個實數(shù)根.
母題探究:1.本例中條件不變,試求當(dāng)a為何值時,方程f(x)=0有三個不等實根.
[解] 由例題解析知,當(dāng)即-2或x<-時,f′(x)>0;
當(dāng)-0,∴x=-4時,y取到極小值-131,x=4時,y取到極大值125.]
4.已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有極大值又有極小值,則實數(shù)a的取值范圍是________.
(-∞,-1)∪(2,+∞) [f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),
∵函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值,
∴方程f′(x)=0有兩個不相等的實根.
∴Δ=36a2-36(a+2)>0.
即a2-a-2>0,解之得a>2或a<-1.]
5.已知函數(shù)f(x)=ax2+bln x在x=1處有極值.
(1)求a,b的值.
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并求極值.
【導(dǎo)學(xué)號:97792155】
[解] (1)因為f(x)=ax2+bln x,
所以f′(x)=2ax+.
又函數(shù)f(x)在x=1處有極值.
故即
解得a=,b=-1.
(2)由(1)可知f(x)=x2-ln x.
其定義域為(0,+∞).
且f′(x)=x-=.
令f′(x)=0,則x=-1(舍去)或x=1.
當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
極小值
↗
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),且函數(shù)在定義域上只有極小值f(1)=,無極大值.
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