《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2 拋物線學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2 拋物線學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc（18頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2拋_物_線 2．1　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線的定義 如右圖，我們?cè)诤诎迳袭嬕粭l直線EF，然后取一個(gè)三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點(diǎn)，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上，在拉鎖D處放置一支粉筆，上下拖動(dòng)三角板，粉筆會(huì)畫出一條曲線． 問題1：曲線上點(diǎn)D到直線EF的距離是什么？ 提示：線段DA的長． 問題2：曲線上點(diǎn)D到定點(diǎn)C的距離是什么？ 提示：線段DC的長． 問題3：曲線上的點(diǎn)到直線EF和定點(diǎn)C之間的距離有何關(guān)系？ 提示：相等． 拋物線的定義 定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線 焦點(diǎn) 定點(diǎn)F 準(zhǔn)線 定直線l 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 已知某定點(diǎn)和定直線l(定點(diǎn)不在定直線l上)，且定點(diǎn)到l的距離為6，曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離與到定直線l的距離相等．在推導(dǎo)曲線的方程的過程中，由建系的不同，有以下點(diǎn)和直線． A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)； l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3. 問題1：到定點(diǎn)A和定直線l1距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？并指出曲線開口方向． 提示：y2＝12x.　向右． 問題2：到定點(diǎn)B和定直線l2距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？曲線開口向哪？ 提示：y2＝－12x.　向左． 問題3：到定點(diǎn)C和定直線l3距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？曲線開口向哪？ 提示：x2＝12y.　向上． 問題4：到定點(diǎn)D和定直線l4距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？曲線開口向哪？ 提示：x2＝－12y.　向下． 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 圖像 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 y2＝2px(p＞0) x＝－ y2＝－2px(p＞0) x＝ x2＝2py(p＞0) y＝－ x2＝－2py(p＞0) y＝ 1．平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一定直線l距離相等的點(diǎn)的集合是拋物線，定點(diǎn)F不在定直線上，否則點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F垂直于直線l的直線． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上． 求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 [例1]　指出下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程并說明拋物線開口方向． (1)y＝x2； (2)x＝ay2(a≠0)． [思路點(diǎn)撥]　首先根據(jù)拋物線的方程確定拋物線是哪一種類型，求出p.再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程． [精解詳析]　(1)拋物線y＝x2的標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＝4y， ∴p＝2，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，準(zhǔn)線方程是y＝－1.拋物線開口向上． (2)拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2＝x， ∴2p＝. ①當(dāng)a>0時(shí)，＝，拋物線開口向右， ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－； ②當(dāng)a<0時(shí)，＝－，拋物線開口向左， ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－. 綜合上述，當(dāng)a≠0時(shí)，拋物線x＝ay2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－.a>0時(shí)，開口向右；a<0時(shí)，開口向左． [一點(diǎn)通]　 1．先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再判斷開口方向、焦點(diǎn)位置，準(zhǔn)確地求出p值． 2．拋物線y2＝2ax(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線x＝－，不必討論a的正負(fù)． 1．拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(0,2)　　　　　　　　 B．(0，－2) C．(4,0) D．(－4,0) 解析：由拋物線的方程為x2＝8y知，拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，所以2p＝8，＝2，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，故選A. 答案：A 2．(北京高考)若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為________． 解析：因?yàn)閽佄锞€y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－，拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－1. 答案：2　x＝－1 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 [例2]　求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)過點(diǎn)(－3,2)； (2)焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上； (3)已知拋物線焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3. [思路點(diǎn)撥]　確定p的值和拋物線的開口方向，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程． [精解詳析]　(1)設(shè)所求的拋物線方程為y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，∵過點(diǎn)(－3,2)， ∴4＝－2p1(－3)或9＝2p22. ∴p1＝或p2＝. 故所求的拋物線方程為y2＝－x或x2＝y(tǒng). (2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4， ∴拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0，－2)． 當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，＝4， ∴p＝8，此時(shí)拋物線方程y2＝16x； 當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－2)時(shí)，＝|－2|， ∴p＝4，此時(shí)拋物線方程為x2＝－8y. 故所求的拋物線的方程為y2＝16x或x2＝－8y. (3)由題意知，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)且p＝3，∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝6y或x2＝－6y. [一點(diǎn)通]　 求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有： (1)定義法，求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p，寫出方程． (2)待定系數(shù)法，若已知拋物線的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可，若拋物線的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論．另外，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成y2＝ax(a≠0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成x2＝ay(a≠0)． 3．(陜西高考)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 解析：由準(zhǔn)線方程x＝－2，可知拋物線為焦點(diǎn)在x軸正半軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)得p＝4，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px＝8x. 答案：B 4．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上一點(diǎn)(－5,2)到焦點(diǎn)的距離是6，則拋物線的方程是________． 解析：因?yàn)辄c(diǎn)(－5,2)在第二象限，且以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，故拋物線開口向左，設(shè)其方程為y2＝－2px，把(－5,2)代入得p＝2，故所求方程為y2＝－4x. 答案：y2＝－4x 5．已知焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，其準(zhǔn)線為x＝－. ∵A到焦點(diǎn)的距離為5，∴A到準(zhǔn)線的距離也是5， 即3－＝5，解得p＝4. 故所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x. 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的實(shí)際應(yīng)用 [例3]　某隧道橫斷面由拋物線和矩形的三邊組成，尺寸如圖所示，某卡車載一集裝箱，箱寬3 m，車與箱共高4 m，此車能否通過此隧道？請(qǐng)說明理由． [思路點(diǎn)撥]　可先建立坐標(biāo)系并把圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線方程，然后比較當(dāng)車輛從正中通過時(shí)，1.5 m處的拋物線距地面高度與車輛高度的大小進(jìn)行判斷． [精解詳析]　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－3，即點(diǎn)(3，－3)在拋物線上． 代入得2p＝3，故拋物線方程為x2＝－3y. 已知集裝箱的寬為3 m， 當(dāng)x＝時(shí)，y＝－，而橋高為5 m， 所以5－＝4>4. 故卡車可通過此隧道． [一點(diǎn)通]　 1．本題的解題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)語言(文字、符號(hào)、圖形、字母等)表達(dá)、分析、解決問題． 2．在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系．這樣可使得方程的形式更為簡單，便于計(jì)算． 6．某河上有拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱頂6 m時(shí)，水面寬10 m，拋物線的方程可能是(　　) A．x2＝－y B．x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝－y 解析：建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則P(5，－6)在拋物線上． ∴25＝－2p(－6)，∴p＝. ∴拋物線方程為x2＝－y. 答案：A 7．某拋物線形拱橋跨度是20米，拱橋高度是4米，在建橋時(shí)，每4米需用一根支柱支撐，求其中最長支柱的長． 解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)． 依題意知，點(diǎn)P(10，－4)在拋物線上， ∴100＝－2p(－4)，2p＝25. 即拋物線方程為x2＝－25y. ∵每4米需用一根支柱支撐， ∴支柱橫坐標(biāo)分別為－6，－2,2,6. 由圖知，AB是最長的支柱之一，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－. ∴|AB|＝4－＝3.84，即最長支柱的長為3.84米． 1．確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需求一個(gè)參數(shù)p，但由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型，因此，還應(yīng)確定開口方向，當(dāng)開口方向不確定時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類討論．有時(shí)也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式，避免討論，如焦點(diǎn)在x軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為y2＝2mx(m≠0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝2my(m≠0)． 2．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： 特別注意在設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定，要分類討論． 1．拋物線y＝－x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(0，－4)　　　　　　　　 B．(0，－2) C．(－，0) D．(－，0) 解析：拋物線方程可化成x2＝－8y，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，故選B. 答案：B 2．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為(　　) A．4 B．2 C．6 D．8 解析：∵a2＝6，b2＝2， ∴c2＝a2－b2＝4，c＝2. 橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴＝2，p＝4. 答案：A 3．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為(　　) A. B．－ C．8 D．－8 解析：由y＝ax2，得x2＝y(tǒng)，＝－2，a＝－. 答案：B 4．若動(dòng)圓與圓(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心O′(x，y)，且O′到點(diǎn)(2,0)的距離為r＋1，O′到直線x＝－1的距離為r，所以O(shè)′到(2,0)的距離與到直線x＝－2的距離相等，由拋物線的定義知y2＝8x. 答案：A 5．拋物線y2＝2px過點(diǎn)M(2,2)，則點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________． 解析：因?yàn)閥2＝2px過點(diǎn)M(2,2)，于是p＝1，所以點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為2＋＝. 答案： 6．已知點(diǎn)P(6，y)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8，則焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于________． 解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為x＝－，因?yàn)镻(6，y)為拋物線上的點(diǎn)，所以P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以6＋＝8，所以p＝4，故焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于4. 答案：4 7．由條件解下列各題的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程． (1)求焦點(diǎn)在直線2x－y＋5＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程． (2)已知拋物線方程為2x2＋5y＝0，求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程． (3)已知拋物線方程為y＝mx2(m≠0)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程． 解：(1)直線2x－y＋5＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，(0,5)，以此兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程分別為y2＝－10x，x2＝20y. 其對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線方程分別是x＝，y＝－5. (2)拋物線方程即為x2＝－y，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程：y＝. (3)拋物線方程即為x2＝y(tǒng)(m≠0)，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程y＝－. 8.如圖，已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線方程； (2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－， 于是，4＋＝5，p＝2. 所以拋物線方程為y2＝4x. (2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4)， 由題意得B(0,4)，M(0,2)． 又F(1,0)，所以kAF＝. 因?yàn)镸N⊥FA，所以kMN＝－. 則FA的方程為y＝(x－1)， MN的方程為y＝－x＋2. 解方程組得 所以N.  2．2　拋物線的簡單性質(zhì) 太陽能是最清潔的能源．太陽能灶是日常生活中應(yīng)用太陽能的典型例子．太陽能灶接受面是拋物線一部分繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面．它的原理是太陽光線(平行光束)射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽能灶把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)． 問題1：拋物線有幾個(gè)焦點(diǎn)？ 提示：一個(gè)． 問題2：拋物線的頂點(diǎn)與橢圓有什么不同？ 提示：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)． 問題3：拋物線有對(duì)稱中心嗎？ 提示：沒有． 問題4：拋物線有對(duì)稱軸嗎？若有對(duì)稱軸，有幾條？ 提示：有；1條． 拋物線的簡單性質(zhì) 類型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 圖像 性質(zhì) 焦點(diǎn) F F F F 準(zhǔn)線 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 對(duì)稱軸 x軸 y軸 頂點(diǎn) O(0,0) 離心率 e＝1 開口方向 向右 向左 向上 向下 通徑 過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)P1，P2，線段P1P2叫拋物線的通徑，長度|P1P2|＝2p 1．拋物線只有一條對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱中心； 2．拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線； 3．拋物線的離心率是確定的，e＝1； 4．拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線分別在頂點(diǎn)的兩側(cè)，且它們到頂點(diǎn)的距離相等，均為. 利用拋物線性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 [例1]　已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長等于2，求這條拋物線的方程． [思路點(diǎn)撥]　因?yàn)閳A和拋物線都關(guān)于x軸對(duì)稱，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于x軸對(duì)稱，即公共弦被x軸垂直平分，于是由弦長等于2，可知交點(diǎn)縱坐標(biāo)為. [精解詳析]　如圖，設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)， 則|y1|＋|y2|＝2， 即y1－y2＝2. 由對(duì)稱性知y2＝－y1，∴y1＝. 將y1＝代入x2＋y2＝4得x＝1， ∴點(diǎn)(1，)，(－1，)分別在拋物線y2＝2px，y2＝－2px上． ∴3＝2p或3＝(－2p)(－1)，p＝. 故所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x. [一點(diǎn)通]　 由拋物線的性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，關(guān)鍵是確定拋物線的焦點(diǎn)位置，并結(jié)合其性質(zhì)求解p的值，其主要步驟為： 1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．x2＝3y　　　　　　　　 B．y2＝6x C．x2＝12y D．x2＝6y 解析：由頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3，所以＝3，p＝6.又因?yàn)閷?duì)稱軸是y軸，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y. 答案：C 2．邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過A，B的拋物線方程是(　　) A．y2＝x　　　　　　　　 B．y2＝－x C．y2＝x D．y2＝x 解析：當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí)，如圖所示，∵△OAB為等邊三角形，且邊長為1.∴A. 設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)， ∴＝2p，∴p＝， ∴拋物線方程為y2＝x， 同理，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，方程為y2＝－x.　 答案：C 3．已知拋物線y2＝2px(p＞0)，有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，斜邊長為2，一直角邊所在的直線方程是y＝2x，求此拋物線的方程． 解：由題意得另一直角邊所在的直線方程是y＝－x. 由得三角形的一頂點(diǎn)為， 由得三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)為(8p，－4p)， 由已知，得2＋(－4p－p)2＝(2)2. 解得p＝.故所求拋物線的方程為y2＝x. 拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用 [例2]　若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥]　“點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離比它到直線l：x＋5＝0的距離小1”，就是“點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x＋4＝0的距離”，由此可知點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線x＋4＝0為準(zhǔn)線的拋物線． [精解詳析]　如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)． 由已知條件可知，點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x＋4＝0的距離． 根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F(4,0)為焦點(diǎn)的拋物線，且＝4，即p＝8. 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸的正半軸上，所以點(diǎn)M的軌跡方程為：y2＝16x. [一點(diǎn)通]　 由于拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相等，所以常把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．即：若p(x0，y0)是拋物線y2＝2px上任意一點(diǎn)，則p到焦點(diǎn)F的距離為|PF|＝x0＋(稱為焦半徑)． 4．平面上點(diǎn)P到定點(diǎn)(0，－1)的距離比它到y(tǒng)＝2的距離小1，則點(diǎn)P軌跡方程為________． 解析：由題意，即點(diǎn)P到(0，－1)距離與它到y(tǒng)＝1距離相等，即點(diǎn)P是以(0，－1)為焦點(diǎn)的拋物線，方程為x2＝－4y.　 答案：x2＝－4y 5．已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)． 解：將x＝3代入拋物線方程 y2＝2x，得y＝. ∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部． 設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x＝－的距離為d， 由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 由圖可知，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值為， 設(shè)P(x0，y0)，則y0＝2， ∴x0＝2. 故P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2). 與焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題 [例3]　已知拋物線y2＝2px(p>0)，直線l過拋物線焦點(diǎn)F與拋物線交于A，B兩點(diǎn)． 求證：以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． [思路點(diǎn)撥]　解答本題可設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并用A，B的坐標(biāo)表示圓心坐標(biāo)，然后證明圓心到準(zhǔn)線的距離為圓的半徑． [精解詳析]　設(shè)直線l與拋物線兩交點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則中點(diǎn)M. 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋ ＝x1＋x2＋p. 設(shè)圓心M到準(zhǔn)線x＝－的距離為d， 則d＝＋＝， ∴d＝， 即圓心到準(zhǔn)線x＝－的距離等于圓的半徑． ∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． [一點(diǎn)通]　 1．涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦長問題可以優(yōu)先考慮利用定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離． 2．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB是拋物線y2＝2px(p>0)過焦點(diǎn)F的一條弦，則①|(zhì)AB|＝x1＋x2＋p，②x1x2＝，y1y2＝－p2. 6．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝6，則|AB|的值為(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 解析：如圖，∵y2＝4x， ∴2p＝4，p＝2. ∴由拋物線定義知： |AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝ x1＋x2＋2＝6＋2＝8. 答案：B 7．(江西高考)已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|＝(　　) A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3 解析：如圖，直線MF的方程為＋＝1，即x＋2y－2＝0.設(shè)直線MF的傾斜角為α，則tan α＝－.由拋物線的定義得|MF|＝|MQ|.所以＝＝sin α＝. 答案：C 1．拋物線y2＝2px上的點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離(焦半徑)：|PF|＝x0＋. 2．若過拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則|AB|＝x1＋x2＋p(焦點(diǎn)弦公式)．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，AB為通徑且|AB|＝2p. 3．解決與焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題：一是注意運(yùn)用焦點(diǎn)弦所在直線方程和拋物線方程聯(lián)立方程組，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題；二是注意焦點(diǎn)弦、焦半徑公式的應(yīng)用，注意整體思想的運(yùn)用． 1．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，拋物線上的點(diǎn)(k，－2)與F的距離為4，則k的值為(　　) A．4　　　　　　　　 B．－2 C．4或－4 D．2或－2 解析：由題意知拋物線方程可設(shè)為x2＝－2py(p＞0)，則＋2＝4， ∴p＝4，∴x2＝－8y，將(k，－2)代入得k＝4. 答案：C 2．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為(　　) A.　　　　　　　　　 B．1 C. D. 解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|＋|BF|)－＝－＝. 答案：C 3．(新課標(biāo)全國卷Ⅰ)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上的一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　) A．2　　　　 B．2　　　　 C．2　　　　 D．4 解析：如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入拋物線方程得，y＝43＝24， 所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝2＝2. 答案：C 4．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|等于(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 解析：由拋物線的定義得，|PF|＝|PA|，又由直線AF的斜率為－，可知∠PAF＝60. △PAF是等邊三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8. 答案：B 5．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且通徑長為6的拋物線方程是________． 解析：設(shè)拋物線的方程為y2＝2ax，則F. ∴|y|＝＝＝|a|. 由于通徑長為6，即2|a|＝6， ∴a＝3.∴拋物線方程為y2＝6x. 答案：y2＝6x 6．對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上； ②焦點(diǎn)在x軸上； ③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6； ④拋物線的通徑的長為5； ⑤由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)． 則使拋物線方程為y2＝10x的必要條件是________(要求填寫合適條件的序號(hào))． 解析：由拋物線方程y2＝10x，知它的焦點(diǎn)在x軸上，所以②適合． 又∵它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，原點(diǎn)O(0,0)，設(shè)點(diǎn)P(2,1)，可得kPOkPF＝－1，∴⑤也合適． 而①顯然不合適，通過計(jì)算可知③④不合題意．∴應(yīng)填序號(hào)為②⑤. 答案：②⑤ 7．已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，求拋物線方程及|OM|的值． 解：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)拋物線方程為x＝－. ∵M(jìn)在拋物線上， ∴M到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即 ∴ ＝ ＝3. 解得：p＝1，y0＝2， ∴拋物線方程為y2＝2x. ∴點(diǎn)M(2，2)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式有： |OM|＝＝2. 8．已知y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)． (1)若|AB|＝10，求實(shí)數(shù)m的值； (2)若OA⊥OB，求實(shí)數(shù)m的值． 解：由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. (1)因?yàn)閨AB|＝＝＝10，所以m＝. (2)因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．故實(shí)數(shù)m的值為－8.