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課時跟蹤訓練(三十七) 基本不等式及其應用
[基礎鞏固]
一、選擇題
1．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是( )
A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
[解析] ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A錯誤．對于B，C，當a<0，b<0時，明顯錯誤．對于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.
[答案] D
2．(2017福建福州外國語學校期中)在下列各函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是( )
A．y＝x＋(x≠0)
B．y＝cosx＋
C．y＝(x∈R)
D．y＝ex＋－2(x∈R)
[解析] 對于A項，當x<0時，y＝x＋≤－2，故A錯；對于B項，因為0
0，所以y＝ex＋－2≥2－2＝2，當且僅當ex＝2，即x＝ln2時等號成立．故選D.
[答案] D
3．(2017陜西咸陽質(zhì)檢)已知x＋y＝3，則2x＋2y的最小值是( )
A．8 B．6 C．3 D．4
[解析] 因為2x>0,2y>0，x＋y＝3，所以由基本不等式得2x＋2y≥2＝2＝4，當且僅當2x＝2y，即x＝y(tǒng)＝時等號成立，故選D.
[答案] D
4．(2017湖南衡陽四校聯(lián)考)設x，y為正實數(shù)，且x＋2y＝1，則＋的最小值為( )
A．2＋2 B．3＋2
C．2 D．3
[解析] 因為x，y為正實數(shù)，且x＋2y＝1，所以＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，當且僅當x＝y(tǒng)＝－1時取等號．所以＋的最小值為3＋2.故選B.
[答案] B
5．(2017江西九江一中期中)已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于( )
A．10 B．7 C．8 D．9
[解析] 不等式＋≥恒成立，即不等式m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，當且僅當a＝b時“＝”成立，所以m≤9，m的最大值等于9，故選D.
[答案] D
6．(2015陜西卷)設f(x)＝lnx,0p D．p＝r>q
[解析] ∵0，又f(x)＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f()p，∵r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝ln＝f()＝p，∴p＝r0，b>0)過點(1,2)，則2a＋b的最小值為________．
[解析] ∵直線＋＝1(a>0，b>0)過點(1,2)，
∴＋＝1，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋2＋≥4＋2＝8(當且僅當b＝2a，即a＝2，b＝4時取等號)．
[答案] 8
8．設b>a>0，且a＋b＝1，則，2ab，a2＋b2，b四個數(shù)中最大的是________．
[解析] 根據(jù)基本不等式知a2＋b2>2ab(b>a>0)，因為b>a>0，且a＋b＝1，所以b>>a.因為b－a2－b2＝b(a＋b)－a2－b2＝a(b－a)>0，所以，2ab，a2＋b2，b四個數(shù)中最大的是b.
[答案] b
9．(2017江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．
[解析] 本題考查基本不等式及其應用．
設總費用為y萬元，則
y＝6＋4x＝4≥240.
當且僅當x＝，即x＝30時，等號成立．
[答案] 30
三、解答題
10．(1)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，
求證：＋＋≥9.
(2)設a、b均為正實數(shù)，求證：＋＋ab≥2.
[證明] (1)∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
當且僅當a＝b＝c＝時，取等號．
(2)∵＋≥2 ＝，
當且僅當a＝b時取等號．
又＋ab≥2，當且僅當ab＝時取等號，
∴＋＋ab≥2，當且僅當
即a＝b＝時取等號．
[能力提升]
11．(2017河北保定一模)司機甲、乙加油習慣不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定錢數(shù)的油，恰有兩次甲、乙同時加同單價的油，但這兩次的油價不同，則從這兩次加油的均價角度分析( )
A．甲合適 B．乙合適
C．油價先高后低甲合適 D．油價先低后高甲合適
[解析] 設甲每次加m升油，乙每次加n元錢的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升．甲的平均單價為＝，乙的平均單價為＝，因為x≠y，所以＝>＝1，即乙的兩次平均單價低，乙的方式更合適，故選B.
[答案] B
12．(2018貴州銅仁一中月考)若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋4.解得m<－1或m>4.故選C.
[答案] C
13．已知正實數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________．
[解析] 因為xy＋2x＋y＝4，所以x＝.由x＝>0，得－20, 則00)，由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，所以q＝2.
因為＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，
所以＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝，當且僅當＝時，等號成立．
所以＋的最小值為，故選A.
解法二(拼湊法)：由解法一可得m＋n＝6，所以n＝6－m，
又m，n≥1，所以1≤m≤5.
故＋＝＋＝＝＝
＝＝.
由基本不等式可得(m＋2)＋－10≥2－10＝－2(當且僅當m＋2＝，即m＝2時等號成立)，易知(m＋2)＋－10<0，
所以＋≥＝.故選A.
[答案] A
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