2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題5.1 解直角三角形高效演練學(xué)案.doc
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第1講 解直角三角形 三角形是最重要的基本平面圖形,它包含了豐富的知識(shí),也蘊(yùn)含了深刻的思想,很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系,因而扎實(shí)掌握三角形的相關(guān)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 【知識(shí)梳理】 知識(shí)點(diǎn)1. 三角形及其性質(zhì) (1)由不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形,稱為三角形; (2)三角形的內(nèi)角和是180,三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和; (3)三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊. 知識(shí)點(diǎn)2. 解直角三角形 在Rt△ABC中,∠C=90,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c. (1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=c2; (2)兩個(gè)銳角之間的關(guān)系:∠A+∠B=90; (3)邊角之間的關(guān)系:sin A=,cos A=,tan A=; sin B=,cos B=,tan B=. (4)三角函數(shù)值之間的關(guān)系 ①同角三角函數(shù)之間的關(guān)系:sin2α+cos2α=1;tan α=. ②互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系:若∠A+∠B=90,則sin A=cos B或sin B=cos A. (5)特殊銳角的三角函數(shù)值 α sin α cos α tan α 30 45 1 60 直角三角形是一種特殊的三角形,因?yàn)橛泄垂啥ɡ砑颁J角三角函數(shù)的運(yùn)用,使它的邊角關(guān)系更加豐富,同時(shí)也為高中學(xué)習(xí)解三角形和三角函數(shù),提供了很好的階梯。 【高效演練】 1. 在正方形網(wǎng)格中,△ABC的位置如圖所示,則cosB的值為( ) A. B. C. D. 【解析】分析:根據(jù)格點(diǎn)的特征及勾股定理結(jié)合余弦的定義即可求得結(jié)果. 由圖可得,故選B. 【答案】B 2.如圖,已知l1∥l2∥l3,相鄰兩條平行直線間的距離相等,若等腰直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上,則sin α的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解題反思】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,代入邊的長(zhǎng)度求出三角函數(shù)值,最好用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形幫助分析求解決此類問題的關(guān)鍵是將所求的角放在直角三角形中,并求出直角三角形的邊長(zhǎng). 3. 如圖,AB是電線桿BC的一根拉線,測(cè)得BC=6米,∠ABC=42,則拉線AB的長(zhǎng)為( ) A. 6cos42米 B. 米 C. 米 D. 米 【解析】分析:首先根據(jù)電線桿一定與地面垂直可知△ABC是直角三角形,然后再根據(jù)cos∠ABC=,代入相關(guān)數(shù)值即可得出結(jié)論. 在Rt△ABC中,BC=6,∠ABC=42, ∴cos∠ABC=, 即cos42=, ∴AB= m. 故選:D. 【答案】D 4.如圖,在四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),若EF=2,BC=5,CD=3,則tan C等于( ) A. B. C. D. 【解析】:如圖所示, 連結(jié)BD.由三角形中位線定理,得BD=2EF=22=4. 又∵BC=5,CD=3,∴CD2+BD2=BC2, ∴△BDC是直角三角形且∠BDC=90, ∴tan C==.故選B. 【答案】B 5.在Rt△ABC中,∠C=90,AB=2BC,現(xiàn)給出下列結(jié)論:①sinA=;②cos B=;③tan A=;④tanB=,其中正確的結(jié)論是 (只需填上正確結(jié)論的序號(hào)). 【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90,AB=2BC,∴∠A=30,∠B=60, ∴sin A=,cos B=,tan A=,tan B=,故②③④正確. 【答案】②③④ 6.如圖,將矩形ABCD沿CE折疊,點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處,如果=,那么tan∠DCF的值 是 ; 7. 如圖,在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球,由于受西風(fēng)的影響,以30米/分的速度沿與地面成75角的方向飛行,25分鐘后到達(dá)C處,此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30,則小山東西兩側(cè)A,B兩點(diǎn)間的距離為 米. 【解析】:如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D, 在Rt△ACD中,∠ACD=75-30=45,AC=3025=750(米), ∴AD=ACsin 45=375(米). 在Rt△ABD中,∵∠B=30,∴AB=2AD=750(米). 【答案】750 8. 如圖所示,已知⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,連結(jié)CD,若AD=3,AC=2,則cosB的值為________. 【解析】分析:根據(jù)圓周角定理的推論,得∠B=∠D.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,得∠ACD=90.在直角三角形ACD中,根據(jù)勾股定理,得CD=,則cosD==,由同弧所對(duì)的圓周角相等即可求得cosB的值. 解:∵AD是⊙O的直徑, ∴∠ACD=90. ∵AD=3,AC=2, ∴CD=. ∴cosD== ∴cosB=,故答案為:. 【答案】 【解題反思】:本題考查了圓周角定理:再同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,90的圓周角所對(duì)的弦是直徑,也考查了勾股定理和銳角三角函數(shù).. 9. 如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于點(diǎn)E.若BC=4,△AOE的面積為5,則sin∠BOE的值為________. 【解析】如圖,過點(diǎn)O作OH⊥AE于點(diǎn)H,連接CE。 ∵矩形ABCD中,AO=BO,AB⊥BC,BC=4, ∴由三角形的中位線定理,得OH=2。 ∵△AOE的面積為5,∴AE=5。 ∵AO=OC,OE⊥AC,即EO是AC的垂直平分線,∴CE= AE=5。 在Rt△EBC中,BC=4,CE="5," 由勾股定理得EB=3。 ∵OE⊥AC,AB⊥BC,即∠EBC=∠EOC=900, ∴點(diǎn)O,C,B,E在以CE為直徑的圓上,∴∠BOE=∠BCE。 ∴sin∠BOE=sin∠BCE=。 【答案】 10. 如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠B=90,AB=5,點(diǎn)E在AB上,∠AED=45,DE=6,CE=7. 求(1)AE的長(zhǎng); (2)sin∠BCE的值. 【解析】分析:已知Rt△DAE中,∠AED=45,DE=6,利用∠AED的余弦,即可求出AE的長(zhǎng)度;由圖形中的隱含條件BE=AB-AE可求出BE的長(zhǎng),接下來在Rt△BCE中,利用銳角三角函數(shù)的定義,即可得到sin∠BCE的值. 11.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE是BC邊上的中線,∠C=45,sin B=,AD=1. (1)求BC的長(zhǎng); (2)求tan∠DAE的值. 【解析】 (1)在△ABC中,∵AD是BC邊上的高, ∴∠ADB=∠ADC=90.在△ADC中, ∵∠ADC=90,∠C=45,AD=1, ∴DC=AD=1.在△ADB中, ∵∠ADB=90,sin B=,AD=1, ∴AB==3,∴BD==2, ∴BC=BD+DC=2+1. (2)∵AE是BC邊上的中線, ∴CE=BC=+, ∴DE=CE-CD=-, ∴tan∠DAE==-. 12. 如圖是某地下商業(yè)街的入口,數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)打算運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量側(cè)面支架的最高點(diǎn)E到地面的距離EF.經(jīng)測(cè)量,支架的立柱BC與地面垂直,即∠BCA=90,且BC=1.5 m,點(diǎn)F,A,C在同一條水平線上, 斜桿AB與水平線AC的夾角∠BAC=30,支撐桿DE⊥AB于點(diǎn)D,該支架的邊BE與AB的夾角∠EBD=60,又測(cè)得AD=1 m.請(qǐng)你求出該支架的邊BE及頂端E到地面的距離EF的長(zhǎng)度. 【解析】如圖,過點(diǎn)B作BH⊥EF于點(diǎn)H,∴四邊形BCFH為矩形,BC=HF=1.5 m, ∠HBA=∠BAC=30. 在Rt△ABC中,∵∠BAC=30,BC=1.5 m,∴AB=3 m.∵AD=1 m, ∴BD=2 m.在Rt△EDB中,∵∠EBD=60,∴∠BED=90-60=30,∴EB=2BD=22=4(m).又∵∠HBA=∠BAC=30, ∴∠EBH=∠EBD-∠HBD=30, ∴EH=EB=2(m), ∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5(m). 答:該支架的邊BE為4 m,頂端E到地面的距離EF的長(zhǎng)度為3.5 m.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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