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4.2 怎樣分解力
[目標(biāo)定位] 1.知道什么是力的分解，知道力的分解同樣遵守平行四邊形定則.2.理解力的分解原則，會正確分解一個力，并會用作圖法和計算法求分力.3.會用正交分解法求合力．
一、力的分解
[問題設(shè)計]
1．王昊同學(xué)假期里去旅游，他正拖著行李箱去檢票，如圖1所示．王昊對箱子有一個斜向上的拉力，這個力對箱子產(chǎn)生了什么效果？
圖1
答案 王昊對箱子斜向上的拉力產(chǎn)生了兩個效果：水平方向使箱子前進，豎直方向?qū)⑾渥酉蛏咸崞穑?
2．如果王昊斜向上拉箱子的力已知，這個力的兩個分力大小是唯一的嗎？如何求這兩個分力的大??？
答案 是唯一的，用平行四邊形定則來求解．
3．如果沒有限制，一個力可以分解為多少對不同的力？
答案 無數(shù)對．
[要點提煉]
1．力的分解的運算法則：平行四邊形定則．
2．力的分解的討論
(1)如果沒有限制，一個力可分解為無數(shù)對大小、方向不同的分力．
(2)有限制條件的力的分解
①已知合力和兩個分力的方向時，有唯一解．(如圖2所示)
圖2
②已知合力和一個分力的大小和方向時，有唯一解．(如圖3所示)
圖3
(3)已知合力F以及一個分力F1的方向和另一個分力F2的大小時，若F與F1的夾角為α，有下面幾種可能：
圖4
①當(dāng)Fsin α
F時，有唯一解，如圖丁所示．
二、力的分解方法
[問題設(shè)計]
1．用鉛筆、細線把一個鉤碼按圖5所示的方式懸掛起來．
圖5
(1)細線的拉力產(chǎn)生了哪些作用效果？
(2)根據(jù)細線拉力的作用效果作出拉力的兩個分力，并求出兩分力的大?。?
答案 (1)細線的拉力產(chǎn)生了兩個作用效果：豎直向上的力和水平向手的力．
(2)力的分解如圖所示：
F1＝Fsin θ，F(xiàn)2＝Fcos θ.
2．如圖6甲所示，在一個直角木支架上，用塑料墊板做斜面．將一用橡皮筋拉著的小車放在斜面上(如圖乙)，觀察塑料墊板和橡皮筋的形變．
圖6
(1)小車重力對斜面和橡皮筋產(chǎn)生了哪些作用效果？如果沒有小車重力的作用，還會有這些作用效果嗎？
(2)請沿斜面方向和垂直于斜面方向?qū)⒅亓Ψ纸猓?
答案 (1)斜面上小車重力產(chǎn)生了兩個效果：一是使小車壓緊斜面，二是使小車沿斜面下滑，拉伸橡皮筋；不會．
(2)重力的分解如圖所示
[要點提煉]
1．力的效果分解法
(1)根據(jù)力的實際作用效果確定兩個分力的方向．
(2)根據(jù)兩個分力的方向作出力的平行四邊形．
(3)利用數(shù)學(xué)知識解三角形，分析、計算分力的大?。?
2．正交分解法
(1)正交分解的目的：當(dāng)物體受到多個力作用，并且這幾個力只共面不共線時，其合力用平行四邊形定則求解很不方便，為此先將各力正交分解，然后再合成．
(2)正交分解法求合力
①建立坐標(biāo)系：以共點力的作用點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系x軸和y軸的選擇應(yīng)使盡量多的力在坐標(biāo)軸上．
②正交分解各力，即將每一個不在坐標(biāo)軸上的力分解到x軸和y軸上，并求出各分力的大小，如圖7所示．
圖7
③分別求出x軸、y軸上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋F3x
Fy＝F1y＋F2y＋F3y
④求共點力的合力：合力大小F＝，合力的方向與x軸的夾角為α，則tan α＝.
一、按力的作用效果分解
例1 如圖8所示，輕桿與柱子之間用鉸鏈連接，桿的末端吊著一個重為30 N的物體，輕繩與水平輕桿之間的夾角為θ＝30，求輕繩和桿各受多大的力？
圖8
解析 重物對O點的拉力F＝G，產(chǎn)生兩個作用效果：一個是沿繩方向拉輕繩，一個是沿桿方向壓桿(因輕桿處于靜止時桿所受的彈力一定沿著桿，否則會引起桿的轉(zhuǎn)動)．作平行四邊形如圖所示，由幾何關(guān)系解得
F1＝＝60 N
F2＝≈52 N
答案 60 N 52 N
二、有限制條件的力的分解
例2 按下列兩種情況把一個豎直向下的180 N的力分解為兩個分力．
圖9
(1)一個分力在水平方向上，并等于240 N，求另一個分力的大小和方向．
(2)一個分力在水平方向上，另一個分力與豎直方向的夾角為30斜向下(如圖9所示)，求兩個分力的大?。?
解析 (1)力的分解如圖所示．
F2＝＝300 N
設(shè)F2與F的夾角為θ，則
tan θ＝＝，
解得θ＝53
(2)力的分解如圖所示．
F1＝Ftan 30＝180 N＝60 N
F2＝＝ N＝120 N
答案 (1)300 N 與豎直方向夾角為53
(2)水平方向分力的大小為60 N，斜向下的分力的大小為120 N
三、正交分解法
例3 在同一平面內(nèi)共點的四個力F1、F2、F3、F4的大小依次為19 N、40 N、30 N和15 N，方向如圖10所示，求它們的合力．(sin 37＝0.6，cos 37＝0.8)
圖10
解析 本題若直接運用平行四邊形定則求解，需解多個斜三角形，需多次確定各個力的合力的大小和方向，計算過程十分復(fù)雜．為此，可采用力的正交分解法求解此題．
如圖甲，建立直角坐標(biāo)系，
把各個力分解到這兩個坐標(biāo)軸上，
并求出x軸和y軸上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37－F3cos 37＝27 N，
Fy＝F2sin 37＋F3sin 37－F4＝27 N.
因此，如圖乙所示，合力：
F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.
即合力的大小約為38.2 N，方向與F1夾角為45斜向右上．
答案 38.2 N，方向與F1夾角為45斜向右上
1．力的分解：已知一個力求它的分力的過程．力的分解遵循平行四邊形定則．
2．力的分解有唯一解的條件
(1)已知兩個分力的方向．
(2)已知一個分力的大小和方向．
3．力的分解方法
(1)按力的實際作用效果分解．
(2)正交分解法求合力
以共點力的作用點為原點建立直角坐標(biāo)系(讓盡量多的力在坐標(biāo)軸上)，把不在坐標(biāo)軸上的力分解到x軸、y軸上，然后分別求出x軸和y軸上的合力Fx和Fy，則共點力的合力大小F＝，合力方向與x軸夾角為α，tan α＝.
4．矢量相加的法則
平行四邊形定則、三角形定則．
1．(力的效果分解法)將物體所受重力按力的效果進行分解，下列圖中錯誤的是( )
答案 C
解析 A項中物體重力分解為垂直于斜面使物體壓緊斜面的分力G1和沿斜面向下使物體向下滑的分力G2；B項中物體的重力分解為沿兩條細繩使細繩張緊的分力G1和G2，A、B項正確；C項中物體的重力應(yīng)分解為垂直于兩接觸面使物體壓緊兩接觸面的分力G1和G2，故C項錯誤；D項中物體的重力分解為水平向左使物體壓緊墻的分力G1和沿繩向下使繩張緊的分力G2，故D項正確．
2．(力的分解的應(yīng)用)為了行車的方便與安全，高大的橋要造很長的引橋．其主要目的是( )
A．減小過橋車輛受到的摩擦力
B．減小過橋車輛的重力
C．減小過橋車輛對引橋面的壓力
D．減小過橋車輛的重力平行于引橋面向下的分力
答案 D
解析 如圖所示，重力G產(chǎn)生的效果是使物體下滑的分力F1和使物體壓斜面的分力F2，
則F1＝Gsin θ，
F2＝Gcos θ，
傾角θ減小，F(xiàn)1減小，F(xiàn)2增大，高大的橋造很長的引橋主要目的是減小橋面的坡度，
即減小過橋車輛的重力平行于引橋面向下的分力，使行車安全，D正確．
3．(力的最小值問題)如圖11所示，力F作用于物體的O點．現(xiàn)要使作用在物體上的合力沿OO′方向，需再作用一個力F1，則F1的最小值為( )
圖11
A．F1＝Fsin α
B．F1＝Ftan α
C．F1＝F
D．F1＜Fsin α
答案 A
解析 利用矢量圖形法．根據(jù)力的三角形定則，作F1、F與合力F合的示意圖，如圖所示．
在F1的箭尾位置不變的情況下，其箭頭可在OO′線上移動，由圖可知，當(dāng)F1與OO′即F合垂直時，F(xiàn)1有最小值，其值為F1＝Fsin α.
題組一 對力的分解的理解
1．(多選)一個力F分解為兩個不為零的分力F1、F2，以下說法可能正確的是( )
A．F1、F2與F都在同一直線上
B．F1、F2都小于
C．F1或F2的大小等于F
D．F1、F2的大小都與F相等
答案 ACD
解析 根據(jù)三角形定則，合力與它的兩個分力可以構(gòu)成三角形或三力在同一直線上，知A、C、D正確．
2．把一個力分解為兩個力時( )
A．一個分力變大時，另一個分力一定要變小
B．兩個分力不能同時變大
C．無論如何分解，兩個分力不能同時小于這個力的一半
D．無論如何分解，兩個分力不能同時大于這個力的2倍
答案 C
解析 設(shè)把一個力F分解為F1、F2兩個分力，當(dāng)F1、F2在一條直線上且方向相反時，則有F＝|F1－F2|，當(dāng)F1變大時，F(xiàn)2也變大，A、B錯．F1、F2可以同時大于F的2倍，D錯．當(dāng)將F沿一條直線分解為兩個方向相同的力F1、F2時，則有F＝F1＋F2，可知F1、F2不可能同時小于F，C對．
3．(多選)下列說法中正確的是( )
A．一個2 N的力能分解為7 N和4 N的兩個分力
B．一個2 N的力能分解為7 N和9 N的兩個分力
C．一個6 N的力能分解為3 N和4 N的兩個分力
D．一個8 N的力能分解為4 N和3 N的兩個分力
答案 BC
題組二 有限制條件的力的分解
4．(多選)下列說法正確的是( )
A．已知合力大小、方向，則其分力必為確定值
B．已知合力大小、方向和一個分力的大小、方向，則另一個分力必為確定值
C．分力數(shù)目確定后，若已知各分力的大小、方向，可依據(jù)平行四邊形定則求出總的合力
D．若合力為確定值，兩分力方向已知，依據(jù)平行四邊形定則一定可以求出這兩個分力的大小
答案 BCD
解析 已知合力的大小、方向，其分力有無數(shù)組，A錯．若已知合力的大小、方向和一個分力的大小、方向，則根據(jù)平行四邊形定則，另一分力為確定值，B對．若分力確定后，可依據(jù)平行四邊形定則，求出總的合力，C對．合力為確定值，兩分力的方向已知，則兩分力是唯一的．
5．將一個有確定方向的力F＝10 N分解成兩個分力，已知一個分力有確定的方向，與F成30夾角，另一個分力的大小為6 N，則在分解時( )
A．有無數(shù)組解 B．有兩組解
C．有唯一解 D．無解
答案 B
解析 由三角形定則作圖如圖所示，由幾何知識知另一分力的最小值F2′＝Fsin 30＝10 N＝5 N，
而題中分力的大小為6 N，大于最小值5 N，小于F＝10 N，所以有兩組解．
題組三 按力的作用效果分解
6．(多選)如圖1為某同學(xué)設(shè)計的一個小實驗．他將細繩的一端系在手指上(B處)，繩的另一端系在直桿的A端，桿的另一端C頂在掌心上，組成一個“三角支架”．在桿的A端懸掛不同重物，并保持靜止．通過實驗會感受到( )
A．繩子是被拉伸的，桿是被壓縮的
B．桿對手掌施加作用力的方向沿桿由C指向A
C．繩對手指施加作用力的方向沿繩由B指向A
D．所掛重物質(zhì)量越大，繩和桿對手的作用力也越大
答案 ACD
解析 重物重力的作用效果，一方面拉緊繩，另一方面使桿壓緊手掌，所以重力可以分解為沿繩方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如圖所示．
由幾何知識得F1＝，F(xiàn)2＝Gtan θ，若所掛重物質(zhì)量變大，則F1、F2都變大，選項A、C、D正確．
7．如圖2所示，將繩子的一端系在汽車上，另一端系在等高的樹干上，兩端點間繩長為10 m．用300 N的拉力把水平繩子的中點往下拉離原位置0.5 m，不考慮繩子的重力和繩子的伸長量，則繩子作用在汽車上的力的大小為( )
圖2
A．1 500 N B．6 000 N
C．300 N D．1 500 N
答案 A
解析 拉力F產(chǎn)生兩個效果(如圖所示)，
由題意可知繩子與水平方向的夾角正弦值為
sin α＝＝0.1，
所以繩子的作用力為F繩＝＝1 500 N，
A項正確，B、C、D項錯誤．
8．如圖3所示，三段不可伸長的細繩，OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它們共同懸掛一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定在水平天花板上和豎直墻上．若逐漸增加C端所掛重物的質(zhì)量，則最先斷的繩是( )
圖3
A．必定是OA B．必定是OB
C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC
答案 A
解析 OC下懸掛重物，它對O點的拉力等于重物的重力G.OC繩的拉力產(chǎn)生兩個效果：使OB在O點受到水平向左的力F1，使OA在O點受到沿繩子方向斜向下的力F2，F(xiàn)1、F2是G的兩個分力．
由平行四邊形定則可作出力的分解圖如圖所示，
當(dāng)逐漸增大所掛物體的質(zhì)量時，哪根繩受的拉力最大則哪根最先斷．從圖中可知：表示F2的有向線段最長，F(xiàn)2分力最大，故OA繩最先斷．
題組四 力的正交分解
9．如圖4所示，甲、乙、丙三個物體質(zhì)量相同，與地面的動摩擦因數(shù)相同，受到三個大小相同的作用力F，當(dāng)它們滑動時，受到的摩擦力大小是( )
圖4
A．甲、乙、丙所受摩擦力相同
B．甲受到的摩擦力最大
C．乙受到的摩擦力最大
D．丙受到的摩擦力最大
答案 C
解析 題圖中三個物體對地面的壓力分別為N甲＝mg－Fsin θ，N乙＝mg＋Fsin θ，N丙＝mg，因它們均相對地面滑動，由f＝μN知，f乙＞f丙＞f甲，故C正確．
10．如圖5所示，質(zhì)量為m的等邊三棱柱靜止在水平放置的斜面上．已知三棱柱與斜面之間的動摩擦因數(shù)為μ，斜面的傾角為30，則斜面對三棱柱的支持力與摩擦力的大小分別為( )
圖5
A.mg和mg B.mg和mg
C.mg和μmg D.mg和mg
答案 A
解析 根據(jù)三棱柱重力mg的作用效果，可分解為沿斜面向下的分力F1和使三棱柱壓緊斜面的力F2(如圖所示)，根據(jù)幾何關(guān)系得
F1＝mgsin 30＝mg，
F2＝mgcos 30＝mg，
因為F1與三棱柱所受靜摩擦力大小相等，F(xiàn)2與斜面對三棱柱的支持力大小相等，因此，可知選項A正確．
11．兩個大人和一個小孩拉一條船沿河岸前進．兩個大人對船的拉力分別是F1和F2，其大小和方向如圖6所示．今欲使船沿河中心線行駛，求小孩對船施加的最小拉力的大小和方向．
圖6
答案 186.4 N 垂直于河中心線指向F2一側(cè)
解析 根據(jù)題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
F1y＝F1sin 60＝200 N
F2y＝F2sin 30＝160 N
所以小孩對船施加的最小拉力的大小為
F＝F1y－F2y＝(200－160) N≈186.4 N
方向為垂直于河中心線指向F2一側(cè)．
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