《2018年高中數(shù)學 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題學案 蘇教版選修5.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2018年高中數(shù)學 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題學案 蘇教版選修5.doc(20頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
3.3
第一課時 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
預習課本P81~86,思考并完成以下問題
(1)如何確定二元一次不等式所確定的平面區(qū)域?
(2)如何畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?
(3)如何用不等式組表示平面區(qū)域?
1.一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當我們在坐標系中畫不等式Ax+By+C≥0所表示的平面區(qū)域時,此區(qū)域應包括邊界直線,則把邊界直線畫成實線.
[點睛] 確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時,經(jīng)常采用“直線定界,特殊點定域”的方法.
2.由于對直線Ax+By+C=0同一側的所有點(x,y),把它的坐標(x,y)代入Ax+By+C,所得的符號都相同,所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0,y0)作為測試點,由Ax0+By0+C的符號即可判斷Ax+By+C>0表示的直線是Ax+By+C=0哪一側的平面 區(qū)域.
1.不等式2x-y-6>0表示的平面區(qū)域在直線2x-y-6=0的________.
解析:作直線2x-y-6=0,將原點(0,0)代入檢驗.
答案:右下方
2.△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,4),B(-2,0),C(2,0),則△ABC內(nèi)任意一點(x,y)所滿足的條件為________.
解析:將點(0,0)代入直線AB:2x-y+4=0,得4>0,代入直線AC:2x+y-4=0,得-4<0,故可知△ABC的內(nèi)部位于x軸的上方,故
答案:
3.點(1,3)和點(-4,2)在直線2x+y+m=0的兩側,則m的取值范圍是________.
解析:∵(1,3)和(-4,2)在2x+y+m=0的兩側,
∴(21+3+m)[2(-4)+2+m]<0,
即(m+5)(m-6)<0,即-5
0(<0)表示的區(qū)域不包括直線ax+by+c=0,該直線要畫成虛線.
(2)測試點選取要恰當.一般地選原點(0,0),(0,1)或(1,0),如果測試點的坐標滿足不等式,則所求區(qū)域為包括測試點的直線一側,否則在直線的另一側,最后將區(qū)域用陰影表示出來.
[活學活用]
1.圖中的平面區(qū)域(陰影部分),用不等式表示為________.
解析:直線過(4,0),兩點,
故直線為2x+3y-8=0,
則陰影部分表示為2x+3y-8≥0.
答案:2x+3y-8≥0
2.已知點A(0,0),B(1,1),C(2,0),D(0,2),其中不在不等式2x+y<4所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是________.
解析:代入驗證知C(2,0)不在平面區(qū)域內(nèi).
答案:C(2,0)
二元一次不等式組表示的平面區(qū)域
[典例] 畫出不等式組表示的平面區(qū)域.
[解] 不等式x-y+5≥0表示直線x-y+5=0上及右下方的點的集合;x+y+1≥0表示直線x+y+1=0上及右上方的點的集合;x≤3表示直線x=3上及左方的點的集合.所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.
不等式組對應的平面區(qū)域的邊界就是各個不等式所對應的直線,邊界虛實要畫清,測試點可以選一個,也可以選多個,最后把區(qū)域用陰影部分表示出來.
不等式(組)所表示的平面區(qū)域的應用
題點一:求平面區(qū)域面積
1.已知點M(x,y)的坐標滿足不等式組則此不等式組確定的平面區(qū)域的面積S=________.
解析:作出不等式組
表示的平面區(qū)域,如圖所示,則此平面區(qū)域為△ABC及其內(nèi)部,且點A(2,0),B(0,1),C(2,1),于是,S=21=1.
答案:1
題點二:由面積求參數(shù)值
2.在平面直角坐標系中,不等式組(a為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積是9,那么a的值為________.
解析:在平面直角坐標系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域,注意到直線x+y=0與直線x-y+4=0的交點坐標是(-2,2),點(-2,2)到直線x=a(其中a>-2)的距離為a+2.易知直線x=a與x+y=0,x-y+4=0的交點坐標分別是(a,-a),(a,4+a).結合圖形及題意知[(4+a)+a](a+2)=9,即(a+2)2=9.又易知a>-2,因此a=1.
答案:1
題點三:確定區(qū)域內(nèi)整點的個數(shù)
3.由滿足上題中的a所確定的區(qū)域內(nèi)的整點有________個.
解析:滿足上題中的a所確定的平面區(qū)域如圖中的△ABC的內(nèi)部(包括邊界).△ABC三個頂點為A(-2,2),B(1,5),C(1,-1).
則在直線x=1上的整點有7個.
在直線x=0上的整點有5個,
在直線x=-1上的整點有3個,
在直線x=-2上的整點有1個,
故共有7+5+3+1=16個.
答案:16
(1)求區(qū)域面積的2個注意點
①求平面區(qū)域的面積,先要畫出不等式組表示的區(qū)域,然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積.
②求面積時,注意與坐標軸垂直的直線及區(qū)域端點坐標,這樣易求底與高,必要時分割區(qū)域為特殊圖形.
(2)求區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)的方法
①畫出滿足不等式組的區(qū)域.
②作出直線x=n(n∈Z),觀察x=n上有滿足不等式組的區(qū)域內(nèi)的多少個整點.
③求出所有整點的和.
層級一 學業(yè)水平達標
1.若點P(a,3)在y<-2x+3表示的區(qū)域內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:點P(a,3)在y<-2x+3表示的區(qū)域內(nèi),則3<-2a+3,解得a<0.
答案:(-∞,0)
2.點A(0,0),B(2,1),C(3,0),D(0,4)在不等式x+2y-3>0表示的平面區(qū)域內(nèi)的有________.
解析:把各點坐標逐一代入不等式檢驗知B,D點符合不等式.
答案:B,D
3.圖中陰影部分表示的區(qū)域滿足不等式____________.
解析:把原點(0,0)代入檢測可知,陰影部分表示的區(qū)域滿足不等式2x+2y-1≥0.
答案:2x+2y-1≥0
4.若直線y=2x上存在點(x,y)滿足不等式組則實數(shù)m的最大值為________.
解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.所以,若直線y=2x上存在點(x,y)滿足不等式組,則3-m≥2m,即m≤1.故實數(shù)m的最大值為1.
答案:1
5.由直線x+y+2=0,x+2y+1=0和2x+y+1=0圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式組表示為________.
解析:畫出三條直線,并用陰影表示三角形區(qū)域,如圖所示.
取原點(0,0),將x=0,y=0代入x+y+2得2>0,代入x+2y+1得1>0;代入2x+y+1得1>0.
結合圖形可知,三角形區(qū)域用不等式組可表示為
答案:
6.設關于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0,y0)滿足x0-2y0=2,則m的取值范圍是________.
解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示:要使平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0,y0)滿足x0-2y0=2,必須使點A位于直線x-2y-2=0的右下側,即m-2(-m)-2>0,∴m>.
答案:
7.在平面區(qū)域{(x,y)||x|≤2,|y|≤2}上恒有ax+3by≤4,則動點P(a,b)所形成平面區(qū)域的面積為________.
解析:由條件可知,已知區(qū)域是以(-2,-2),(-2,2),(2,2),(2,-2)為頂點的正方形內(nèi)部及邊界,
從而動點P(a,b)所形成平面區(qū)域是一個菱形,所求面積為S=42=.
答案:
8.設不等式組表示的平面區(qū)域為M,若函數(shù)y=k(x+1)+1的圖象經(jīng)過區(qū)域M,則實數(shù)k的取值范圍是________.
解析:作出平面區(qū)域,如圖所示.因為函數(shù)的圖象是過點P(-1,1),且斜率為k的直線l,由圖知,當直線l過點A(1,2)時,k取最大值;當直線l過點B(3,0)時,k取最小值-,故k∈.
答案:
9.畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域.
(1)2x-y-6≥0;
(2)
解:(1)如圖,先畫出直線2x-y-6=0,
取原點O(0,0)代入2x-y-6中,
∵20-10-6=-6<0,
∴與點O在直線2x-y-6=0同一側的所有點(x,y)都滿足2x-y-6<0,因此2x-y-6≥0表示直線下方的區(qū)域(包含邊界)(如圖中陰影部分所示).
(2)不等式x+y≤5表示直線x+y-5=0及左下方的區(qū)域.
不等式x-2y>3表示直線x-2y-3=0右下方的區(qū)域.
不等式x+2y≥0表示直線x+2y=0及右上方的區(qū)域.
所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.
10.已知不等式組表示的平面區(qū)域為Ⅰ,求當a從-2連續(xù)變化到1時,動直線x+y-a=0掃過Ⅰ中的那部分區(qū)域的面積.
解:如圖所示,Ⅰ為△BOE所表示的區(qū)域,而動直線x+y=a掃過Ⅰ中的那部分區(qū)域為四邊形BOCD,而B(-2,0),O(0,0),C(0,1),D,E(0,2),△CDE為直角三角形.
∴S四邊形BOCD=22-1=.
層級二 應試能力達標
1.直線x+2y-1=0上方的區(qū)域可用不等式________表示.
解析:作圖知,原點(0,0)在直線下方,所以直線上方區(qū)域不包括原點(0,0),把(0,0)代入得0+0-1=-1<0,所以直線上方的區(qū)域應用不等式x+2y-1>0表示.
答案:x+2y-1>0
2.若mx+ny-6>0(mn≠0)所表示的區(qū)域不含第三象限的點,則點(m,n)在第________象限.
解析:由題意知,直線mx+ny-6=0在兩軸上的截距均大于0,∴m>0,n>0,∴點(m,n)在第一象限.
答案:一
3.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形,則a的取值范圍是____________.
解析:如圖,當直線y=a位于直線y=5和y=7之間(不含y=7)時滿足條件,故5≤a<7.
答案:[5,7)
4.在平面直角坐標系中,若不等式組(a為常數(shù)),所表示的平面區(qū)域的面積等于2,則a的值為________.
解析:由題意知不等式組所表示的平面區(qū)域為如圖所示的一個三角形區(qū)域,設其為△ABC,
則A(1,0),B(0,1),C(1,1+a),且a>-1,
∵S△ABC=2,∴(1+a)1=2,∴a=3.
答案:3
5.若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+分為面積相等的兩部分,則k的值是________.
解析:由圖可知,不等式組所表示的平面區(qū)域為△ABC邊界及內(nèi)部,y=kx+恰過C,y=kx+將區(qū)域平均分成面積相等的兩部分,故過AB的中點D,所以=k+,k=.
答案:
6.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標為________.
解析:畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,區(qū)域圖形為直角三角形(不包括x軸和y軸),∴x的整數(shù)值只有1,2.
當x=1時,代入4x+3y≤12,得y≤,∴整點坐標為(1,2),(1,1).
當x=2時,代入4x+3y≤12,得y≤,
∴整點坐標為(2,1).
綜上所述,平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標為(1,1),(1,2)和(2,1).
答案:(1,1),(1,2)和(2,1)
7.已知點P(1,-2)及其關于原點對稱點均在不等式2x+by+1>0表示的平面區(qū)域內(nèi),求b的取值范圍.
解:點P(1,-2)關于原點對稱點P′(-1,2).
由題意知解得1.
答案:(1,+∞)
4.若變量x,y滿足約束條件則z=x-2y的最大值為________.
解析:如圖,畫出約束條件表示的可行域,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過x+y=0與x-y-2=0的交點A(1,-1)時,取到最大值3.
答案:3
5.如圖所示,點(x,y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運動,那么2x-y的最小值為________.
解析:由圖知,目標函數(shù)在點A(1,1)時,2x-y=1;
在點B(,)時,2x-y=2->1;
在點C(,1)時,2x-y=2-1>1;
在點D(1,0)時,2x-y=2-0=2>1,故最小值為1.
答案:1
6.已知實數(shù)x,y滿足若z=y(tǒng)-ax取得最大值時的最優(yōu)解(x,y)有無數(shù)個,則a的值為________.
解析:依題意,在坐標平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示.要使z=y(tǒng)-ax取得最大值時的最優(yōu)解(x,y)有無數(shù)個,則直線z=y(tǒng)-ax必平行于直線y-x+1=0,于是有a=1.
答案:1
7.如果實數(shù)x,y滿足條件那么z=4-x2y的最大值為________.
解析:可行域為如圖所示的陰影部分,A,B,C三點的坐標分別為(-1,0),(-2,-1),(0,-1),直線y=2x+t過點B(-2,-1)時,t取得最大值3,故z=4-x2y=2-2x+y的最大值為8.
答案:8
8.設變量x,y滿足約束條件且不等式x+2y≤14恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,顯然a≥8,否則可行域無意義.由圖可知x+2y在點(6,a-6)處取得最大值2a-6,由2a-6≤14得,a≤10.
答案:[8,10]
9.直線l:x=my+n(n>0)過點A(4,4),若可行域的外接圓直徑為.求實數(shù)n的值.
解:作出可行域如圖所示,過原點的直線OA的傾斜角為60,由直線l:x=my+n(n>0)過點A(4,4),可得4=4m+n.又由可解得兩直線的交點坐標即為A(4,4),
又點B坐標為(n,0),
∴=,
∴AB=7,
∴(4-n)2+(4)2=49,
∴n=3或5.
10.已知x,y滿足條件:求:
(1)4x-3y的最大值和最小值;
(2)x2+y2的最大值和最小值.
解:(1)作出不等式組
表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.
其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2),
設z=4x-3y.直線4x-3y=0經(jīng)過原點(0,0).
作一組與4x-3y=0平行的直線l:4x-3y=t.
則當l過C點時,t值最??;當l過B點時,t值最大.
∴z最大值=4(-1)-3(-6)=14,
z最小值=4(-3)-32=-18.
故4x-3y的最大值為14,最小值為-18.
(2)設u=x2+y2,則為點(x,y)到原點(0,0)的距離.結合不等式組所表示的區(qū)域,不難知道:點B到原點距離最大;而當(x,y)在原點時,距離為0.
∴u最大值=(-1)2+(-6)2=37,u最小值=0,
∴x2+y2的最大值為37,最小值為0.
層級二 應試能力達標
1.設D為不等式組所表示的平面區(qū)域,區(qū)域D上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為________.
解析:作出可行域,如圖中陰影部分所示,則根據(jù)圖形可知,點B(1,0)到直線2x-y=0的距離最小,d==<1,故最小距離為.
答案:
2.若實數(shù)x,y滿足則z=3x+2y的最小值是________.
解析:由已知不等式組作可行域如圖陰影部分所示.
令x+2y=k,
則y=-x+,
問題由求k的最小值轉化為求直線y=-x+的縱截距的最小值.
顯然當直線y=-x+過原點O時,截距最小,
此時kmin=0,
z=3x+2y的最小值為1.
答案:1
3.已知x,y滿足不等式組且z=2x+y的最大值是最小值的3倍,則a=________.
解析:依題意可知a<1.作出可行域如圖所示,z=2x+y在A點和B點處分別取得最小值和最大值.由得A(a,a),由得B(1,1).∴zmax=3,zmin=3a.
∴a=.
答案:
4.設二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M,使函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是________.
解析:作二元一次不等式組的可行域如圖所示,由題意得A(1,9),C(3,8).當y=ax過A(1,9)時,a取最大值,此時a=9;當y=ax過C(3,8)時,a取最小值,此時a=2,
∴2≤a≤9.
答案:[2,9]
5.設變量x,y滿足約束條件則滿足函數(shù)y=2x-t的t最大值為________.
解析:由約束條件作出可行域如圖所示,可知(x,y)是由點A(1,0),B(2,1),C(2,-1)三點組成的三角形區(qū)域,令t=2x-y,即當經(jīng)過C(2,-1)時,t有最大值5.
答案:5
6.若變量x,y滿足約束條件且z=5y-x的最大值為a,最小值為b,則loga(-b)=________.
解析:由線性約束條件得可行域為如圖所示的陰影部分.由z=5y-x,得y=+.
由圖知目標函數(shù)y=+,過點A(8,0)時,zmin=5y-x=50-8=-8,即b=-8.
目標函數(shù)y=+過點B(4,4)時,zmax=5y-x=54-4=16,即a=16.所以loga(-b)=log168=.
答案:
7.某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個,生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘,生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘,生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘,已知總生產(chǎn)時間不超過10小時.若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元,生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元,生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元.
(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤ω(元);
(2)怎樣分配生產(chǎn)任務才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?
解:(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100-x-y,
所以利潤ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.
(2)約束條件為
整理得
目標函數(shù)為ω=2x+3y+300,
作出可行域,如圖所示,
作初始直線l0:2x+3y=0,平移l0,當l0經(jīng)過點A時,ω有最大值,
由得
∴最優(yōu)解為A(50,50),此時ωmax=550元.
故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個,騎兵50個,傘兵0個時利潤最大,且最大利潤為550元.
8.已知x,y滿足約束條件
(1)求目標函數(shù)z=2x+y的最大值和最小值;
(2)若目標函數(shù)z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,求a的值;
(3)求z=的取值范圍.
解:作可行域如圖所示.
(1)作直線l:2x+y=0,并平移此直線,當平移直線過可行域內(nèi)的A點時,z取最小值;當平移直線過可行域內(nèi)的B點時,z取得最大值.
由得A.
由得B(5,3).
∴zmax=25+3=13,zmin=21+=.
(2)一般情況下,當z取得最大值時,直線所經(jīng)過的點都是唯一的,但若直線平行于邊界直線,即直線z=ax+y平行于直線3x+5y=30時,線段BC上的任意一點均使z取得最大值,此時滿足條件的點即最優(yōu)解有無數(shù)個.
又kBC=-,∴-a=-.∴a=.
(3)z==,可看作區(qū)域內(nèi)的點(x,y)與點D(-5,-5)連線的斜率,
由圖可知,kBD≤z≤kCD.由得C.
∴kBD==,kCD==,
∴z=的取值范圍是.
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