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綜合檢測一(標(biāo)準(zhǔn)卷)
考生注意：
1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．
2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上．
3．本次考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．
4．請?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整．
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．已知集合M＝{2,3,4,5}，N＝{x|x2－5x＋4<0}，則M∩N為( )
A．{2,3,4,5} B．{2,3}
C．{3,4,5} D．{2,3,4}
答案 B
解析 ∵N＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1
0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A和B分別為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．且滿足∠AFB＝120，過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為( )
A.B．1C.D.
答案 D
解析 如圖所示，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AQ，BP，垂足分別為Q，P，設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，由拋物線的定義，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，由余弦定理得：|AB|2＝a2＋b2－2abcos120＝a2＋b2＋ab，整理得|AB|2＝(a＋b)2－ab，因?yàn)閍b≤2，則(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－2＝(a＋b)2，即|AB|2≥(a＋b)2，所以≥＝3，所以≥，即≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，即|AF|＝|BF|時(shí)取等號，故選D.
12．已知函數(shù)f(x)＝，t∈R，若對任意的x∈[1,2]，f(x)>－xf′(x)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A．(－∞，) B.
C．(－∞，3) D.
答案 B
解析 ∵f′(x)＝，
∴對任意的x∈[1,2]，f′(x)x＋f(x)＞0恒成立?對任意的x∈[1,2]，＞0恒成立
?對任意的x∈[1,2]，2x2－2tx＋1＞0恒成立?t＜＝x＋＝x＋恒成立，令g(x)＝x＋，
又g(x)＝x＋在[1,2]上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(1)＝，
∴t＜.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影為3，則a與b的夾角為________．
答案
解析 ∵b在a上的投影為3，∴|b|cos〈a，b〉＝|b|＝＝3，m＝，cos〈a，b〉＝＝＝，∵0≤〈a，b〉≤π，∴向量a與b的夾角為.
14．定義在R上函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)<－的解集為________．
答案
解析 當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝2x－1<－，∴2x1時(shí)，f(x)＝|x－3|－1<－?0)，若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是____________．
答案 ∪[1，＋∞)
解析 f′(x)＝－4x＋，
若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0
在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，則h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，
又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.
三、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足b2＋c2＝bc＋a2.
(1)求角A的大??；
(2)若等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1cosA＝1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，求的前n項(xiàng)和Sn.
解 (1)∵b2＋c2＝bc＋a2，
∴cosA＝＝＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)設(shè){an}的公差為d，由已知得a1＝＝2，且a＝a2a8，
∴(2＋3d)2＝(2＋d)(2＋7d)．又d不為零，∴d＝2，
∴an＝2n，
∴＝＝－，
∴Sn＝＋＋…＋
＝1－＝.
18．(12分)為選拔選手參加“全市高中數(shù)學(xué)競賽”，某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)競賽”活動(dòng)，為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60)，[90,100]的數(shù)據(jù))．
(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
(2)在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“全市高中數(shù)學(xué)競賽”，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90,100]內(nèi)的概率．
解 (1)由題意可知，樣本容量n＝＝50，
y＝＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
(2)由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80,90)內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2.抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．
其中2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)都不在[90,100]內(nèi)的情況有10種，分別為：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．
∴所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90,100]內(nèi)的概率P＝1－＝.
19．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB＝2AD＝2，PD＝BD＝AD，且PD⊥底面ABCD.
(1)證明：BC⊥平面PBD；
(2)若Q為PC的中點(diǎn)，求三棱錐A－PBQ的體積．
(1)證明 ∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
∵AD∥BC，∴BC⊥BD.
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.
∵PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD，
∴BC⊥平面PBD.
(2)解 三棱錐A－PBQ的體積VA－PBQ與三棱錐A－QBC的體積相等，
而VA－QBC＝VQ－ABC＝VP－ABC＝VP－ABCD＝1＝.
∴三棱錐A－PBQ的體積VA－PBQ＝.
20．(12分)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)和橢圓C2：＋y2＝1的離心率相同，且點(diǎn)(，1)在橢圓C1上．
(1)求橢圓C1的方程；
(2)設(shè)P為橢圓C2上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線交橢圓C1于A，C兩點(diǎn)，且P恰為弦AC的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，試問△AOC的面積是否為常數(shù)，若是，請求出此常數(shù)，若不是，請說明理由．
解 (1)由題知，＋＝1，且＝，即a2＝4，b2＝2，
橢圓C1的方程為＋＝1.
(2)是． ①當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，必有P(，0)，此時(shí)|AC|＝2，S△AOC＝.
②當(dāng)直線AC的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，點(diǎn)P(x0，y0)，則AC：y－y0＝k(x－x0)，直線AC與橢圓C1聯(lián)立，得(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－4＝0，設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，
則x0＝＝－，即x0＝－2ky0，
又x＋2y＝2，∴y＝，
S△AOC＝
＝
＝
＝|y0|＝.
綜上，△AOC的面積為常數(shù).
21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，且≥e2，求證：(x1－x2)f′(x1＋x2)>.
(1)解 函數(shù)f(x)＝lnx＋ax，a∈R的定義域?yàn)閧x|x>0}，f′(x)＝＋a，
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)＝＋a>0,0－，∴f(x)在上單調(diào)遞減．
(2)證明 ∵lnx1＋ax1＝0，lnx2＋ax2＝0，
∴l(xiāng)nx2－lnx1＝a(x1－x2)，
(x1－x2)f′(x1＋x2)＝(x1－x2)＝＋a(x1－x2)
＝＋ln＝＋ln，
令＝t(t≥e2)，令φ(t)＝＋lnt，則φ′(t)＝>0，
∴φ(t)在[e2，＋∞)上單調(diào)遞增，φ(t)≥φ(e2)＝1＋>1＋＝.
請?jiān)诘?2～23題中任選一題作答．
22．(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，0≤α<π)．
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，求α.
解 (1)曲線C：ρ＝，即ρsin2θ＝4cosθ，
于是有ρ2sin2θ＝4ρcosθ，
化為直角坐標(biāo)方程為y2＝4x.
(2)方法一 ?(2＋tsinα)2＝4(2＋tcosα)，
即t2sin2α＋(4sinα－4cosα)t－4＝0.
由AB的中點(diǎn)為M(2,2)，得t1＋t2＝0，有4sinα－4cosα＝0，所以k＝tanα＝1，
由0≤α<π得α＝.
方法二 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
?(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∵y1＋y2＝4，∴k＝tanα＝＝1，
由0≤α<π得α＝.
方法三 設(shè)A，B(y10)，且f(x－2)≥0的解集為[－3，－1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9.
(1)解 依題意f(x－2)＝m－|x＋2|≥0，即|x＋2|≤m?－m－2≤x≤－2＋m，
∴m＝1.
(2)證明 ∵＋＋＝1(a，b，c>0)，
∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝3＋＋＋≥9，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c，即a＝3，b＝，c＝1時(shí)取等號．
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