《2019高考數學一輪復習 第十四章 坐標系與參數方程練習 文.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019高考數學一輪復習 第十四章 坐標系與參數方程練習 文.doc（18頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第十四章　坐標系與參數方程 考綱解讀 考點 內容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預測熱度 1.坐標系 1.了解坐標系的作用及直角坐標系內的伸縮變換 2.了解極坐標的概念,會在極坐標系中刻畫點的位置,能進行極坐標與直角坐標之間的互相轉化 3.能在極坐標系中求簡單圖形的極坐標方程 Ⅱ 2017課標全國Ⅱ,22; 2017課標全國Ⅲ,22; 2016課標全國Ⅰ,23; 2015課標Ⅰ,23 解答題 ★★★ 2.參數方程 1.了解參數方程和參數的意義 2.能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程 3.理解直線參數方程中參數的幾何意義,并能用參數方程解決相關的問題 Ⅰ 2017課標全國Ⅰ,22; 2016課標全國Ⅱ,23; 2016課標全國Ⅲ,23; 2015課標Ⅱ,23 2014課標Ⅰ,23 填空題、 ★★★ 分析解讀 坐標系與參數方程是高考數學的選考部分,其中極坐標與直角坐標的互化,直線與圓的參數方程及應用是高考的重點,難度不大,題型一般為解答題,分值為10分,但部分省份可能以填空題的形式出現.本章也是對前面所學的解析幾何、平面幾何、三角函數等知識的綜合應用和進一步的深化,考查學生的轉化與化歸思想的應用. (1)消去參數t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).設P(x,y),由題設得y=k(x-2),y=1k(x+2). 消去k得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 聯立ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-2=0得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-13, 從而cos2θ=910,sin2θ=110, 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5, 所以交點M的極徑為5. 五年高考 考點一　坐標系 1.(2015湖南,12,5分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為ρ=2sin θ,則曲線C的直角坐標方程為　　　　　　. 答案　x2+y2-2y=0 2.(2014陜西,15C,5分)(坐標系與參數方程選做題)在極坐標系中,點2,π6到直線ρsinθ-π6=1的距離是　　　　. 答案　1 3.(2017課標全國Ⅱ,22,10分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos θ=4. (1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM||OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程; (2)設點A的極坐標為2,π3,點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值. 解析　(1)設P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0).由題設知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ. 由|OM||OP|=16得C2的極坐標方程為ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0).由題設知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面積S=12|OA|ρBsin∠AOB =4cos αsinα-π3 =2sin2α-π3-32≤2+3. 當α=-π12時,S取得最大值2+3. 所以△OAB面積的最大值為2+3. 4.(2016課標全國Ⅰ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數方程 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=acost,y=1+asint(t為參數,a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程; (2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. 解析　(1)消去參數t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.(2分) 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(4分) (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組 ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,(8分) 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,從而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上. 所以a=1.(10分) 5.(2013遼寧,23,10分)選修4—4:坐標系與參數方程 在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓C1,直線C2的極坐標方程分別為ρ=4sin θ,ρcosθ-π4=22. (1)求C1與C2交點的極坐標; (2)設P為C1的圓心,Q為C1與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數方程為x=t3+a,y=b2t3+1(t∈R為參數),求a,b的值. 解析　(1)圓C1的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4, 直線C2的直角坐標方程為x+y-4=0. 解x2+(y-2)2=4,x+y-4=0 得x1=0,y1=4,x2=2,y2=2. 所以C1與C2交點的極坐標為4,π2,22,π4.(6分) (注:極坐標系下點的表示不唯一.) (2)由(1)可得,P點與Q點的直角坐標分別為(0,2),(1,3),故直線PQ的直角坐標方程為x-y+2=0. 由參數方程可得y=b2x-ab2+1, 所以b2=1,-ab2+1=2, 解得a=-1,b=2.(10分) 考點二　參數方程 1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐標系中,曲線C:x=2+22t,y=1+22t(t為參數)的普通方程為　　　　　　　. 答案　x-y-1=0 2.(2017課標全國Ⅰ,22,10分)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為x=3cosθ,y=sinθ(θ為參數),直線l的參數方程為x=a+4t,y=1-t(t為參數). (1)若a=-1,求C與l的交點坐標; (2)若C上的點到l距離的最大值為17,求a. 解析　(1)曲線C的普通方程為x29+y2=1. 當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由x+4y-3=0,x29+y2=1解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425. 從而C與l的交點坐標為(3,0),-2125,2425. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0, 故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離為d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17. 當a≥-4時,d的最大值為a+917, 由題設得a+917=17, 所以a=8; 當a<-4時,d的最大值為-a+117, 由題設得-a+117=17,所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16. 3.(2016課標全國Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數方程 在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程; (2)直線l的參數方程是x=tcosα,y=tsinα(t為參數),l與C交于A,B兩點,|AB|=10,求l的斜率. 解析　(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圓C的極坐標方程為ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分) (2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ=α(ρ∈R). 設A,B所對應的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcos α+11=0.(6分) 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos2α-44.(8分) 由|AB|=10得cos2α=38,tan α=153.(9分) 所以l的斜率為153或-153.(10分) 4.(2016課標全國Ⅲ,23,10分)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=3cosα,y=sinα(α為參數).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsinθ+π4=22. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程; (2)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標. 解析　(1)C1的普通方程為x23+y2=1. C2的直角坐標方程為x+y-4=0.(5分) (2)由題意,可設點P的直角坐標為(3cos α,sin α).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值,d(α)=|3cosα+sinα-4|2=2sinα+π3-2.(8分) 當且僅當α=2kπ+π6(k∈Z)時,d(α)取得最小值,最小值為2,此時P的直角坐標為32,12.(10分) 5.(2016江蘇,21C,10分)[選修4—4:坐標系與參數方程] 在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數方程為x=1+12t,y=32t(t為參數),橢圓C的參數方程為x=cosθ,y=2sinθ(θ為參數).設直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解析　橢圓C的普通方程為x2+y24=1. 將直線l的參數方程x=1+12t,y=32t代入x2+y24=1, 得1+12t2+32t24=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-167. 所以AB=|t1-t2|=167. 6.(2015課標Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數方程 在直角坐標系xOy中,曲線C1:x=tcosα,y=tsinα(t為參數,t≠0),其中0≤α<π.在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=23cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標; (2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值. 解析　(1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-23x=0. 聯立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0,解得x=0,y=0或x=32,y=32. 所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和32,32. (2)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0), 其中0≤α<π. 因此A的極坐標為(2sin α,α),B的極坐標為(23cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sinα-π3. 當α=5π6時,|AB|取得最大值,最大值為4. 教師用書專用(7—11) 7.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐標系xOy中,若直線l1:x=2s+1,y=s(s為參數)和直線l2:x=at,y=2t-1(t為參數)平行,則常數a的值為　　　　. 答案　4 8.(2015陜西,23,10分)選修4—4:坐標系與參數方程 在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為x=3+12t,y=32t(t為參數).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,☉C的極坐標方程為ρ=23sin θ. (1)寫出☉C的直角坐標方程; (2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標. 解析　(1)由ρ=23sin θ,得 ρ2=23ρsin θ, 從而有x2+y2=23y, 所以x2+(y-3)2=3. (2)設P3+12t,32t,又C(0,3), 則|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12, 故當t=0時,|PC|取得最小值, 此時,P點的直角坐標為(3,0). 9.(2014課標Ⅰ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數方程 已知曲線C:x24+y29=1,直線l:x=2+t,y=2-2t(t為參數). (1)寫出曲線C的參數方程,直線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值. 解析　(1)曲線C的參數方程為x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數). 直線l的普通方程為2x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ,3sin θ)到l的距離為 d=55|4cos θ+3sin θ-6|, 則|PA|=dsin30=255|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角, 且tan α=43. 當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為2255. 當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為255. 10.(2014課標Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數方程 在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為ρ=2cos θ,θ∈0,π2. (1)求C的參數方程; (2)設點D在C上,C在D處的切線與直線l:y=3x+2垂直,根據(1)中你得到的參數方程,確定D的坐標. 解析　(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得C的參數方程為 x=1+cost,y=sint(t為參數,0≤t≤π). (2)設D(1+cos t,sin t). 由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓. 因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同.tan t=3,t=π3. 故D的直角坐標為1+cosπ 3,sinπ3,即32,32. 11.(2013課標全國Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數方程 已知動點P,Q都在曲線C:x=2cost,y=2sint(t為參數)上,對應參數分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點. (1)求M的軌跡的參數方程; (2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數,并判斷M的軌跡是否過坐標原點. 解析　(1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的軌跡的參數方程為x=cosα+cos2α,y=sinα+sin2α(α為參數,0<α<2π). (2)M點到坐標原點的距離d=x2+y2=2+2cosα(0<α<2π). 當α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標原點. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬基礎題組 考點一　坐標系 1.(人教A選4—4,一,3,A5,變式)已知曲線C1,C2的極坐標方程分別為ρcos θ=3,ρ=4cos θ(ρ≥0),則曲線C1與曲線C2交點的極坐標為　　　　　　　　　　　　　. 答案　23,2kπ+π6,23,2kπ-π6(k∈Z) 2.(2018衡水中學、鄭州一中12月聯考,22)已知直線l的參數方程是x=1+22t,y=22t(t為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=2cos θ. (1)求曲線C的直角坐標方程與直線l的極坐標方程; (2)若直線θ=π3與曲線C交于點A(不同于原點),與直線l交于點B,求|AB|的值. 解析　(1)ρ=2cos θ可化為ρ2=2ρcos θ, 根據極坐標與直角坐標的互化公式可得x2+y2=2x, ∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2x. 直線l的參數方程x=1+22t,y=22t(t為參數)化為普通方程為x-y-1=0, 化為極坐標方程為ρcosθ+π4=22. (2)將θ=π3代入ρ=2cos θ,可求得|OA|=1, 將θ=π3代入ρcosθ+π4=22,可求得|OB|=1+3, 根據題意可知O、A、B三點共線,且|AB|=|OA|+|OB|=2+3, ∴|AB|=2+3. 3.(2018廣東廣州12月調研,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=cosα,y=2sinα(α為參數),將曲線C1經過伸縮變換x=2x,y=y后得到曲線C2,在以原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為ρcos θ-ρsin θ-10=0. (1)說明曲線C2是哪一種曲線,并將曲線C2的方程化為極坐標方程; (2)已知點M是曲線C2上的任意一點,求點M到直線l的距離的最大值和最小值. 解析　(1)因為曲線C1的參數方程為x=cosα,y=2sinα(α為參數),伸縮變換為x=2x,y=y, 所以曲線C2的參數方程為x=2cosα,y=2sinα. 所以C2的普通方程為x2+y2=4. 表示圓心在坐標原點的圓. 所以C2的極坐標方程為ρ2=4,即ρ=2. (2)直線l的普通方程為x-y-10=0. 由(1)知曲線C2表示圓心為原點,半徑為2的圓,且圓心到直線l的距離d=|0-0-10|2=52, 因為52>2,所以圓C2與直線l相離. 所以圓C2上的點M到直線l的距離的最大值為d+r=52+2,最小值為d-r=52-2. 4.(2017山西太原模擬,22)設直線l的參數方程為x=2+t,y=2t(t為參數),若以直角坐標系xOy的O點為極點,Ox軸為極軸,選擇相同的單位長度建立極坐標系,得曲線C的極坐標方程為ρ=8cosθsin2θ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,并指出曲線是什么曲線; (2)若直線l與曲線C交于A、B兩點,求|AB|. 解析　(1)由ρ=8cosθsin2θ得ρsin2θ=8cos θ, ∴ρ2sin2θ=8ρcos θ,∴y2=8x,∴曲線C表示頂點在原點,焦點在x軸正半軸的拋物線. (2)由x=2+t,y=2t(t為參數)得y=2x-4,代入y2=8x,得x2-6x+4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6,x1x2=4,∴|AB|=1+k2|x1-x2|=5(x1+x2)2-4x1x2=520=10. 考點二　參數方程 5.(2018山西康杰中學等六校12月聯考,22)在直角坐標系xOy中,已知點P(0,3),曲線C的參數方程為x=5cosφ,y=15sinφ(φ為參數),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為2ρcosθ-π6=3. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程; (2)設直線l與曲線C交于A,B兩點,求|PA||PB|的值. 解析　(1)由2ρcosθ-π6=3得 3ρcos θ+ρsin θ=3,即3x+y-3=0. 由x=5cosφ,y=15sinφ(φ為參數)得x25+y215=1. 所以曲線C的普通方程為x25+y215=1,直線l的直角坐標方程為3x+y-3=0. (2)由(1)知:直線l的傾斜角為2π3,所以直線l的參數方程為x=-12t,y=3+32t(t為參數), 代入曲線C的普通方程可得t2+2t-8=0. 設方程的兩根為t1,t2,則|PA||PB|=|t1t2|=8. 6.(2018河南洛陽一模,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=t,y=m+t(t參數,m∈R),以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2=33-2cos2θ(0≤θ≤π). (1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程; (2)已知點P是曲線C2上一點,若點P到曲線C1的最小距離為22,求m的值. 解析　(1)由曲線C1的參數方程消去參數t,可得C1的普通方程為x-y+m=0. 由曲線C2的極坐標方程得3ρ2-2ρ2cos2θ=3,θ∈[0,π], ∴曲線C2的直角坐標方程為x23+y2=1(0≤y≤1). (2)設曲線C2上任意一點P(3cos α,sin α),α∈[0,π], 則點P到曲線C1的距離d=|3cosα-sinα+m|2=2cosα+π6+m2. ∵α∈[0,π],∴cosα+π6∈-1,32, ∴2cosα+π6∈[-2,3], 當m+3<0時,m+3=-4,即m=-4-3; 當m-2>0時,m-2=4,即m=6. ∴m=-4-3或m=6. 7.(2017安徽黃山二模,22)已知曲線C的極坐標方程為ρ=21+sin2θ,過點P(1,0)的直線l交曲線C于A,B兩點. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程; (2)求|PA||PB|的取值范圍. 解析　(1)由ρ=21+sin2θ得ρ2(1+sin2θ)=2,故曲線C的直角坐標方程為x22+y2=1. (2)由題意知,直線l的參數方程為x=1+tcosα,y=tsinα(t為參數),將x=1+tcosα,y=tsinα代入x22+y2=1得 (cos2α+2sin2α)t2+2tcos α-1=0, 設A,B對應的參數分別為t1,t2, 則t1t2=-1cos2α+2sin2α, 則|PA||PB|=|t1t2|=1cos2α+2sin2α=11+sin2α∈12,1, ∴|PA||PB|的取值范圍為12,1. 8.(2017廣東廣州聯考,22)以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相同的長度單位,已知直線l的參數方程為x=tsinθ,y=1+tcosθ(t為參數,0<θ<π),曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=4sin θ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程; (2)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,當θ變化時,求|AB|的最小值. 解析　(1)由x=tsinθ,y=1+tcosθ(t為參數)消去t得xcos θ-ysin θ+sin θ=0. 所以直線l的普通方程為xcos θ-ysin θ+sin θ=0, 由ρcos2θ=4sin θ得(ρcos θ)2=4ρsin θ, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x2=4y, 所以曲線C的直角坐標方程為x2=4y. (2)將直線l的參數方程代入x2=4y,得t2sin2θ-4tcos θ-4=0, 設A,B兩點對應的參數分別為t1,t2, 則t1+t2=4cosθsin2θ,t1t2=-4sin2θ, 所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=16cos2θsin4θ+16sin2θ=4sin2θ, ∵0<θ<π,∴當θ=π2時,|AB|取最小值4. 9.(2016遼寧五校協作體聯考,23)已知在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為x=t-3,y=3t(t為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρcos θ=0. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程; (2)設點P是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離d的取值范圍. 解析　(1)直線l的參數方程為x=t-3,y=3t(t為參數), 將t=x+3代入y=3t,得直線l的普通方程為3x-y+33=0. 曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρcos θ=0, 將x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入即得曲線C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4. (2)設點P(2+2cos θ,2sin θ),θ∈R,則 d=|3(2+2cosθ)-2sinθ+33|2=4cosθ+π6+532, ∵θ∈R,∴d的取值范圍是53-42,53+42. B組　2016—2018年模擬提升題組 (滿分:40分　時間:40分鐘) 解答題(每小題10分,共50分) 1.(2018河南百校聯盟12月聯考,22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=k+22t,y=2k-22t(t為參數).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C2:ρ=22sinθ+π4. (1)求曲線C1的普通方程及C2的直角坐標方程; (2)設P(k,2k),若曲線C1與C2只有一個公共點Q(Q與P不重合),求|PQ|. 解析　(1)由x=k+22t,y=2k-22t(t為參數)消去參數t得曲線C1的普通方程為x+y-3k=0. 由ρ=22sinθ+π4可得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ, 由ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y得C2的直角坐標方程為x2+y2-2x-2y=0. (2)曲線C1為直線,曲線C2表示以C2(1,1)為圓心,2為半徑的圓, 若曲線C1與C2只有一個公共點Q,則圓心C2(1,1)到直線x+y-3k=0的距離為2, 即|1+1-3k|2=2,解得k=0或k=43. 當k=0時,P,Q重合于點(0,0),不滿足題意,舍去. 當k=43時,P的坐標為43,83,易知點P在直線C1上,|PC2|=43-12+83-12=263. 所以|PQ|=|PC2|2-2=223. 2.(2017豫北名校聯盟聯考,22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為x=4cosθ,y=2sinθ(θ為參數). (1)求曲線C的普通方程; (2)經過點M(2,1)(平面直角坐標系xOy中的點)作直線l交曲線C于A,B兩點,若M恰好為線段AB的三等分點,求直線l的斜率. 解析　(1)由曲線C的參數方程得cosθ=x4,sinθ=y2(θ為參數), 所以曲線C的普通方程為x216+y24=1. (2)設直線l的傾斜角為θ1, 則直線l的參數方程為x=2+tcos θ1,y=1+tsin θ1(t為參數). 代入曲線C的普通方程, 得(cos2θ1+4sin2θ1)t2+(4cos θ1+8sin θ1)t-8=0, 設A,B對應的參數分別為t1,t2, 所以t1+t2=-4cos θ1+8sin θ1cos2θ1+4sin2θ1,t1t2=-8cos2θ1+4sin2θ1. 由題意可知t1=-2t2. 所以12sin2θ1+16sin θ1cos θ1+3cos2θ1=0, 即12tan2θ1+16tan θ1+3=0. 解得tan θ1=-476. 所以直線l的斜率為-476. 3.(2017河北衡水中學二調,22)已知直線l:x=1+12t,y=32t(t為參數),曲線C1:x=cosθ,y=sinθ(θ為參數). (1)設l與C1相交于A,B兩點,求|AB|; (2)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的12,縱坐標壓縮為原來的32,得到曲線C2,設點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值. 解析　(1)l的普通方程為y=3(x-1),C1的普通方程為x2+y2=1, 聯立得方程組y=3(x-1),x2+y2=1,解得x=1,y=0或x=12,y=-32.所以l與C1的交點為A(1,0),B12,-32, 所以|AB|=-32-02+12-12=1. (2)由題意知C2的參數方程為x=12cosθ,y=32sinθ(θ為參數), 所以點P的坐標是12cosθ,32sinθ,從而點P到直線l的距離d=32cosθ-32sinθ-32=342sinθ-π4+2, 因此當sinθ-π4=-1時,d取得最小值且最小值為64(2-1). 4.(2016廣東肇慶三模,23)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=t2,y=t(t為參數),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-4=0. (1)把C1的參數方程化為極坐標方程; (2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π). 解析　(1)由曲線C1的參數方程為x=t2,y=t(t為參數),可得C1的普通方程為y2=x, 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式整理得ρsin2θ=cos θ, 即C1的極坐標方程為ρsin2θ-cos θ=0. (2)將曲線C2的極坐標方程ρ2+2ρcos θ-4=0化為直角坐標方程為x2+y2+2x-4=0, 將y2=x代入上式得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去), 當x=1時,y=1,所以C1與C2交點的平面直角坐標為A(1,1),B(1,-1), ∵ρA=1+1=2,ρB=1+1=2,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π,∴θA=π4,θB=7π4. 故C1與C2交點的極坐標為2,π4,2,7π4. C組　2016—2018年模擬方法題組 方法1　極坐標方程與直角坐標方程的互化方法 1.(2018湖北八校12月聯考,22)已知曲線C的極坐標方程為ρ2=9cos2θ+9sin2θ,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系. (1)求曲線C的普通方程; (2)A,B為曲線C上兩點,若OA⊥OB,求1|OA|2+1|OB|2的值. 解析　(1)由ρ2=9cos2θ+9sin2θ得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9, 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得曲線C的普通方程是x29+y2=1. (2)因為ρ2=9cos2θ+9sin2θ,所以1ρ2=cos2θ9+sin2θ, 設A(ρ1,α),由OA⊥OB知B點的坐標可設為ρ2,απ2, 所以1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α9+sin2α+sin2α9+cos2α=19+1=109. 2.(2017四川廣安等四市一模,22)在平面直角坐標系中,曲線C1:x=3+3cosα,y=2sinα(α為參數)經過伸縮變換x=x3,y=y2后的曲線為C2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求C2的極坐標方程; (2)設曲線C3的極坐標方程為ρsinπ6-θ=1,且曲線C3與曲線C2相交于P,Q兩點,求|PQ|的值. 解析　(1)由題意得曲線C2的參數方程為x=1+cosα,y=sinα(α為參數), 則曲線C2的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1, 所以曲線C2的極坐標方程為ρ=2cos α. (2)由(1)知曲線C2是以(1,0)為圓心,1為半徑的圓, 易知曲線C3的直角坐標方程為x-3y-2=0,表示直線, 所以曲線C2的圓心(1,0)到直線C3的距離d=|1-30-2|1+3=12,所以|PQ|=212-122=3. 3.(2017山西太原一模,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=2cosφ,y=sinφ,其中φ為參數,曲線C2:x2+y2-2y=0,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,射線l:θ=α(ρ≥0)與曲線C1,C2分別交于點A,B(均異于原點O). (1)求曲線C1,C2的極坐標方程; (2)當0<α<π2時,求|OA|2+|OB|2的取值范圍. 解析　(1)C1的普通方程為x22+y2=1, C1的極坐標方程為ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0, C2的極坐標方程為ρ=2sin θ. (2)聯立θ=α(ρ≥0)與C1的極坐標方程得|OA|2=21+sin2α, 聯立θ=α(ρ≥0)與C2的極坐標方程得|OB|2=4sin2α, 則|OA|2+|OB|2=21+sin2α+4sin2α=21+sin2α+4(1+sin2α)-4. 令t=1+sin2α, 則|OA|2+|OB|2=2t+4t-4, 當0<α<π2時,t∈(1,2). 設f(t)=2t+4t-4, 易得f(t)在(1,2)上單調遞增, ∴|OA|2+|OB|2∈(2,5). 方法2　參數方程與普通方程的互化方法 4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲線C的極坐標方程是ρ=2,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數方程為x=12t,y=2+3t(t為參數). (1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程; (2)設曲線C經過伸縮變換x=x,y=12y得到曲線C,過點F(3,0)作傾斜角為60的直線交曲線C于A,B兩點,求|FA||FB|. 解析　(1)直線l的普通方程為23x-y+2=0, 曲線C的直角坐標方程為x2+y2=4. (2)∵x=x,y=12y, ∴C的直角坐標方程為x24+y2=1. 易知直線AB的參數方程為x=3+12t,y=32t(t為參數). 將直線AB的參數方程代入x24+y2=1, 得134t2+3t-1=0, 則t1t2=-413, ∴|FA||FB|=|t1t2|=413. 方法3　與參數方程有關問題的求解方法 5.(2018四川成都七中一診,22)已知曲線C:x=2cosα,y=3sinα(α為參數)和定點A(0,3),F1、F2是此曲線的左、右焦點,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求直線AF2的極坐標方程; (2)經過點F1且與直線AF2垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點,求|MF1|-|NF1|的值. 解析　(1)x=2cosα,y=3sinα可化為x24+y23=1,表示橢圓,焦點為F1(-1,0)和F2(1,0). 經過A(0,3)和F2(1,0)的直線方程為x+y3=1,即3x+y-3=0, ∴極坐標方程為3ρcos θ+ρsin θ=3. (2)由(1)知,直線AF2的斜率為-3, 因為l⊥AF2,所以l的斜率為33, ∴l(xiāng)的傾斜角為30, ∴l(xiāng)的參數方程為x=-1+32t,y=12t(t為參數), 將其代入橢圓C的直角坐標方程,整理得13t2-123t-36=0. ∵M,N在點F1的兩側,∴|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=12313.