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課時(shí)作業(yè)31　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．[2019益陽市，湘潭市高三調(diào)研]已知等比數(shù)列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則 的值為(　　) A．3 B．5 C．9 D．25 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4a7＝a5q2＝9q＝45， 所以q＝5，＝＝q2＝25.故選D. 答案：D 2．[2019湖北華師一附中聯(lián)考]在等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，則a1＝(　　) A．1 B．1 C．2 D．2 解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝＝1，故選A. 答案：A 3．[2019山東淄博模擬]已知{an}是等比數(shù)列，若a1＝1，a6＝8a3，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則T5＝(　　) A. B．31 C. D．7 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1＝1，a6＝8a3，∴q3＝8，解得q＝2.∴an＝2n－1.∴＝n－1.∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．則T5＝＝.故選A. 答案：A 4．[2019福建廈門模擬]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，則λ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：解法一　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4＋λ. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此時(shí)＝＝2. 因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以＝2，即＝2，解得λ＝－2.故選A. 解法二　依題意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8， 因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以a＝a1a3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故選A. 解法三　Sn＝2n＋1＋λ＝22n＋λ，易知q≠1，因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以Sn＝－qn，據(jù)此可得λ＝－2.故選A. 答案：A 5．[2019湖南湘潭模擬]已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若a1＝－24，a4＝－，則當(dāng)Tn取最大值時(shí)，n的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，由a1＝－24，a4＝－，可得q3＝＝，解得q＝，∴Tn＝a1a2a3…an＝(－24)nq1＋2＋…＋(n－1)＝(－24)n，當(dāng)Tn取最大值時(shí)，可得n為偶數(shù)，當(dāng)n＝2時(shí)，T2＝242＝192；當(dāng)n＝4時(shí)，T4＝2446＝；當(dāng)n＝6時(shí)，T6＝24615＝，則T66，且n為偶數(shù)時(shí)，Tn0)，因?yàn)閍2 018＝，所以a2 017＝＝，a2 019＝a2 018q＝q，則有＋＝q＋＝q＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)q2＝2，即q＝時(shí)取等號(hào)，故所求最小值為4. 答案：4 8．[2019石家莊檢測(cè)]設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2，a5，a11成等比數(shù)列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，則m＋n的值是________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，因?yàn)閍2，a5，a11成等比數(shù)列，所以a＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化簡得(m＋n＋3)(m－n)＝12，因?yàn)閙>n>0，m，n∈N*，所以或解得或(舍去)，所以m＋n＝9. 答案：9 三、解答題 9．[2017全國卷Ⅱ]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若T3＝21，求S3. 解析：設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.① (1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.② 聯(lián)立①和②解得(舍去)， 因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. (2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0. 解得q＝－5或q＝4. 當(dāng)q＝－5時(shí)，由①得d＝8，則S3＝21. 當(dāng)q＝4時(shí)，由①得d＝－1，則S3＝－6. 10．[2018全國卷Ⅲ]等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m. 解析：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，設(shè)Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. [能力挑戰(zhàn)] 11．[2019武漢市武昌區(qū)高三調(diào)研]等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，則a1的值為(　　) A．－3 B．1 C．－3或1 D．1或3 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若對(duì)任意的正整數(shù)n,3a1n＝2a1－3恒成立，則a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1， 所以Sn＝，Sn＋2＝， 代入Sn＋2＝4Sn＋3并化簡得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若對(duì)任意的正整數(shù)n該等式恒成立，則有解得或 故a1＝1或－3，故選C. 答案：C 12．[2018北京卷]“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為(　　) A.f B.f C.f D.f 解析：本題主要考查等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用． 由題意知，十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成首項(xiàng)為f，公比為的等比數(shù)列，設(shè)該等比數(shù)列為{an}，則a8＝a1q7，即a8＝f，故選D. 答案：D 13．[2018浙江卷]已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，則(　　) A．a(chǎn)1a3，a2a4 D．a(chǎn)1>a3，a2>a4 解析：本小題考查等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值，不等式的性質(zhì)和分類討論思想． 設(shè)f(x)＝lnx－x(x>0)，則f′(x)＝－1＝， 令f′(x)>0，得01， ∴f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，＋∞)上為減函數(shù)， ∴f(x)≤f(1)＝－1，即有l(wèi)nx≤x－1. 從而a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，∴a4<0，又a1>1，∴公比q<0. 若q＝－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝0，ln(a1＋a2＋a3)＝lna1>0，矛盾． 若q<－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)<0，而a2＋a3＝a2(1＋q)＝a1q(1＋q)>0，∴l(xiāng)n(a1＋a2＋a3)>lna1>0， 也矛盾．∴－10，∴a1>a3. 同理，∵＝q2<1，a2<0，∴a4>a2.選B. 答案：B