2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx
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2.3反證法與放縮法 預(yù)習(xí)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo)及范圍 1.掌握用反證法證明不等式的方法. 2.了解放縮法證明不等式的原理,并會(huì)用其證明不等式. 二、預(yù)習(xí)要點(diǎn) 教材整理1 反證法 先假設(shè),以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)的結(jié)論,以說明不正確,從而證明原命題成立,我們把這種證明問題的方法稱為反證法. 教材整理2 放縮法 證明不等式時(shí),通過把不等式中的某些部分的值或,簡(jiǎn)化不等式,從而達(dá)到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法. 三、預(yù)習(xí)檢測(cè) 1.如果兩個(gè)正整數(shù)之積為偶數(shù),則這兩個(gè)數(shù)( ) A.兩個(gè)都是偶數(shù) B.一個(gè)是奇數(shù),一個(gè)是偶數(shù) C.至少一個(gè)是偶數(shù) D.恰有一個(gè)是偶數(shù) 2.若|a-c|<h,|b-c|<h,則下列不等式一定成立的是( ) A.|a-b|<2h B.|a-b|>2h C.|a-b|<h D.|a-b|>h 3.A=1+++…+與(n∈N+)的大小關(guān)系是________. 探究案 一、合作探究 題型一、利用反證法證“至多”“至少”型命題 例1已知f(x)=x2+px+q,求證: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=2; (2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于. 【精彩點(diǎn)撥】 (1)把f(1),f(2),f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結(jié)論. (2)假設(shè)結(jié)論不成立,推出矛盾,得結(jié)論. [再練一題] 1.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,ac+bd>1.求證:a,b,c,d中至多有三個(gè)是非負(fù)數(shù). 題型二、利用放縮法證明不等式 例2已知an=2n2,n∈N*,求證:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<. 【精彩點(diǎn)撥】 針對(duì)不等式的特點(diǎn),對(duì)其通項(xiàng)進(jìn)行放縮、列項(xiàng). [再練一題] 2.求證:1+++…+<2-(n≥2,n∈N+). 題型三、利用反證法證明不等式 例3已知△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證:∠B<90. 【精彩點(diǎn)撥】 本題中的條件是三邊間的關(guān)系=+,而要證明的是∠B與90的大小關(guān)系.結(jié)論與條件之間的關(guān)系不明顯,考慮用反證法證明. [再練一題] 3.若a3+b3=2,求證:a+b≤2. 二、隨堂檢測(cè) 1.實(shí)數(shù)a,b,c不全為0的等價(jià)條件為( ) A.a(chǎn),b,c均不為0 B.a(chǎn),b,c中至多有一個(gè)為0 C.a(chǎn),b,c中至少有一個(gè)為0 D.a(chǎn),b,c中至少有一個(gè)不為0 2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反證法求證a>0,b>0,c>0時(shí)的假設(shè)為( ) A.a(chǎn)<0,b<0,c<0 B.a(chǎn)≤0,b>0,c>0 C.a(chǎn),b,c不全是正數(shù) D.abc<0 3.要證明+<2,下列證明方法中,最為合理的是( ) A.綜合法 B.放縮法 C.分析法 D.反證法 參考答案 預(yù)習(xí)檢測(cè): 1.【解析】 假設(shè)這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù),則這兩個(gè)數(shù)的積也是奇數(shù),這與已知矛盾,所以這兩個(gè)數(shù)至少有一個(gè)為偶數(shù). 【答案】 C 2.【解析】 |a-b|=|(a-c)-(b-c)|≤|a-c|+|b-c|<2h. 【答案】 A 3.【解析】 A=+++…+≥==. 【答案】 A≥ 隨堂檢測(cè): 1.【解析】 實(shí)數(shù)a,b,c不全為0的含義即a,b,c中至少有一個(gè)不為0,其否定則是a,b,c全為0,故選D. 【答案】 D 2.【解析】 a>0,b>0,c>0的反面是a,b,c不全是正數(shù),故選C. 【答案】 C 3.【解析】 由分析法的證明過程可知選C. 【答案】 C- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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