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考點測試39 數(shù)學歸納法
高考概覽
考綱研讀
1．了解數(shù)學歸納法的原理
2．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題
一、基礎小題
1．在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗第一個值n0等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 C
解析 邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形．
2．用數(shù)學歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＝，a≠1，n∈N*”，在驗證n＝1時，左邊是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案 B
解析 當n＝1時，代入原式有左邊＝1＋a．故選B．
3．對于不等式≤n＋1(n∈N*)，某學生的證明過程如下：
①當n＝1時，≤1＋1，不等式成立．
②假設n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即≤k＋1，則n＝k＋1時，＝<＝＝(k＋1)＋1．所以當n＝k＋1時，不等式成立．
上述證法( )
A．過程全都正確
B．n＝1檢驗不正確
C．歸納假設不正確
D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
答案 D
解析 n＝1的驗證及歸納假設都正確，但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒有使用歸納假設，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學歸納法的證題要求，故選D．
4．利用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋
(n∈N*)成立，其初始值至少應取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8．故選B．
7．下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是( )
A．6＋67k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
答案 D
解析?、佼攌＝1時，顯然只有3(2＋7k)能被9整除．
②假設當k＝n(n∈N*)時，命題成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，
這就是說，k＝n＋1時命題也成立．
由①②可知，命題對任何k∈N*都成立．故選D．
8．設f(n)＝＋＋…＋，n∈N＋，那么f(n＋1)－f(n)＝( )
A． B．
C．＋ D．－
答案 D
解析 f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋＋－－－…－＝＋－＝－．
9．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假使n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3正確(k∈N*)
B．假使n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1正確(k∈N*)
C．假使n＝k時正確，再推n＝k＋1正確(k∈N*)
D．假使n≤k(k≥1)時正確，再推n＝k＋2時正確(k∈N*)
答案 B
解析 因為n為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學歸納法證題的步驟，第二步應先假設第k個正奇數(shù)也成立，本題即假設n＝2k－1正確，再推第k＋1個正奇數(shù)，即n＝2k＋1正確．
10．已知1＋23＋332＋433＋…＋n3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a，b，c的值為( )
A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝
C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a，b，c
答案 A
解析 ∵等式對一切n∈N*均成立，∴n＝1，2，3時等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝．
11．在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過計算a2，a3，a4，猜想an的表達式是________．
答案 an＝
解析 因為Sn＝n(2n－1)an，當n＝2，3，4時，得出a2＝，a3＝，a4＝．
a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝．
∴an＝．
12．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用數(shù)學歸納法證明f(2n)>時，f(2k＋1)－f(2k)＝________．
答案?。?
解析 ∵f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，f(2k)＝1＋＋＋…＋，
∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋．
二、高考小題
本考點在近三年高考中未涉及此題型．
三、模擬小題
13．(2018山東淄博質檢)設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是( )
A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k＋1成立
答案 D
解析 當f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，說明如果當k＝n時，f(n)≥n＋1成立，那么當k＝n＋1時，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當k＝4時，f(4)≥5成立，那么當k≥4時，f(k)≥k＋1也成立．
一、高考大題
1．(2017浙江高考)已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)(n∈N*)．
證明：當n∈N*時，
(1)00．
當n＝1時，x1＝1>0．
假設n＝k時，xk>0，
那么n＝k＋1時，
若xk＋1≤0，則00．
因此xn>0(n∈N*)．
所以xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)>xn＋1．
因此00(x>0)，
函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)≥f(0)＝0，
因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln (1＋xn＋1)
＝f(xn＋1)≥0，
故2xn＋1－xn≤(n∈N*)．
(3)因為xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，
所以xn≥．
由≥2xn＋1－xn得－≥2>0，
所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，
故xn≤．
綜上，≤xn≤(n∈N*)．
2．(2015江蘇高考)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，設Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}．令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù)．
(1)寫出f(6)的值；
(2)當n≥6時，寫出f(n)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．
解 (1)f(6)＝13．
(2)當n≥6時，
f(n)＝(t∈N*)．
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n＝6時，f(6)＝6＋2＋＋＝13，結論成立；
②假設n＝k(k≥6)時結論成立，那么n＝k＋1時，Sk＋1在Sk的基礎上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：
a．若k＋1＝6t，則k＝6(t－1)＋5，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
b．若k＋1＝6t＋1，則k＝6t，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
c．若k＋1＝6t＋2，則k＝6t＋1，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
d．若k＋1＝6t＋3，則k＝6t＋2，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
e．若k＋1＝6t＋4，則k＝6t＋3，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
f．若k＋1＝6t＋5，則k＝6t＋4，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立．
綜上所述，結論對滿足n≥6的自然數(shù)n均成立．
二、模擬大題
3．(2018常德月考)設a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*．
(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式；
(2)用數(shù)學歸納法證明你的結論．
解 (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；
a3＝f(a2)＝＝；
a4＝f(a3)＝＝．
猜想an＝(n∈N*)．
(2)證明：①易知，n＝1時，猜想正確．
②假設n＝k(k∈N*)時猜想正確，即ak＝，
則ak＋1＝f(ak)＝＝
＝＝．
這說明，n＝k＋1時猜想正確．
由①②知，對于任何n∈N*，都有an＝．
4．(2018福建三明月考)已知xi>0(i＝1，2，3，…，n)，我們知道(x1＋x2)＋≥4成立．
(1)求證：(x1＋x2＋x3)＋＋≥9；
(2)同理我們也可以證明出(x1＋x2＋x3＋x4)＋＋＋≥16．由上述幾個不等式，請你猜測一個與x1＋x2＋…＋xn和＋＋…＋(n≥2，n∈N*)有關的不等式，并用數(shù)學歸納法證明．
解 (1)證法一：(x1＋x2＋x3)＋＋
≥33＝9．
證法二：(x1＋x2＋x3)＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9．
(2)猜想(x1＋x2＋…＋xn)＋＋…＋，
≥n2(n≥2，n∈N*)．
證明如下：
①當n＝2時，由已知得猜想成立．
②假設當n＝k時，猜想成立，即
(x1＋x2＋…＋xk)＋＋…＋≥k2，
則當n＝k＋1時，
(x1＋x2＋…＋xk＋xk＋1)＋＋…＋＋
＝(x1＋x2＋…＋xk)＋＋…＋
＋(x1＋x2＋…＋xk)
＋xk＋1＋＋…＋＋1
≥k2＋(x1＋x2＋…＋xk)
＋xk＋1＋＋…＋＋1
＝k2＋＋＋＋＋…
＋＋＋1≥k2＋2＋2＋…＋＋1
＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，
所以當n＝k＋1時原式成立．
結合①②可知，猜想成立．
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