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專題跟蹤訓練(十九) 數(shù)列的通項與求和 一、選擇題 1．(2018安徽淮南一模)已知{an}中，an＝n2＋λn，且{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞) [解析]　∵{an}是遞增數(shù)列，∴?n∈N*，an＋1>an， ∴(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn， 化簡得λ>－(2n＋1)，∴λ>－3.故選C. [答案]　C 2．(2018信陽二模)已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝則數(shù)列{an}的前20項和為(　　) A．1121 B．1122 C．1123 D．1124 [解析]　由題意可知，數(shù)列{a2n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項和為＋101＋2＝1123.選C. [答案]　C 3．(2018石家莊一模)已知正項數(shù)列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，則它的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝n [解析]　因為(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，所以[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0.又{an}為正項數(shù)列，所以(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0，即＝， 則當n≥2時，an＝…a1＝…1＝.又∵a1＝1也適合，∴an＝，故選B. [答案]　B 4．(2018廣東茂名二模)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且?n∈N*都有2Sn＝3an＋4，則Sn＝(　　) A．2－23n B．43n C．－43n－1 D．－2－23n－1 [解析]　∵2Sn＝3an＋4，∴2Sn＝3(Sn－Sn－1)＋4(n≥2)，變形為Sn－2＝3(Sn－1－2)，又n＝1時，2S1＝3S1＋4，解得S1＝－4，∴S1－2＝－6.∴數(shù)列{Sn－2}是等比數(shù)列，首項為－6，公比為3.∴Sn－2＝－63n－1，可得Sn＝2－23n.故選A. [答案]　A 5．(2018河北石家莊一模)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則a2018的值為(　　) A．2 B．－3 C．－ D. [解析]　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，同理可得：a3＝－，a4＝，a5＝2，…，可得an＋4＝an，則a2018＝a5044＋2＝a2＝－3.故選B. [答案]　B 6．數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)，則an＝(　　) A．10n－2 B．10n－1 C．102n－1 D．22n－1 [解析]　因為數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)， 所以log2an＋1＝2log2an， 即＝2. 又a1＝2，所以log2a1＝log22＝1. 故數(shù)列{log2an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． 所以log2an＝2n－1，即an＝22n－1. [答案]　D 二、填空題 7．(2018河南新鄉(xiāng)三模)若數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，則an＝________. [解析]　∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3， ∴an＋1－an＝3n－1，∴當n≥2時，an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝， ∵a1＝1，∴an＝.a1＝1也適合，∴an＝. [答案]　 8．已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項公式為________． [解析]　因為點Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上， 所以4an－an＋1＋1＝0. 所以an＋1＋＝4. 因為a1＝3，所以a1＋＝. 故數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列． 所以an＋＝4n－1，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－1－. [答案]　an＝4n－1－ 9．(2018山西大同模擬)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n(2n－1)cos＋1(n∈N*)，其前n項和為Sn，則S60＝________. [解析]　由題意可得，當n＝4k－3(k∈N*)時，an＝a4k－3＝1；當n＝4k－2(k∈N*)時，an＝a4k－2＝6－8k；當n＝4k－1(k∈N*)時，an＝a4k－1＝1；當n＝4k(k∈N*)時，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8， ∴S60＝815＝120. [答案]　120 三、解答題 10．(2018鄭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和Sn，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)由已知條件得＝1＋(n－1)2＝2n－1， ∴Sn＝2n2－n. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3. 當n＝1時，a1＝S1＝1，而41－3＝1，∴an＝4n－3. (2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)， 當n為偶數(shù)時， Tn＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n－3)＝4＝2n， 當n為奇數(shù)時，n＋1為偶數(shù)， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1. 綜上，Tn＝ 11．(2018南昌市二模)已知數(shù)列{an}滿足＋＋＋…＋＝n2＋n. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解]　(1)＋＋＋…＋＝n2＋n①， ∴當n≥2時，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1②， ①－②得，＝2n(n≥2)，∴an＝n2n＋1(n≥2)． 又當n＝1時，＝1＋1，a1＝4也適合an＝n2n＋1，∴an＝n2n＋1. (2)由(1)得，bn＝＝n(－2)n， ∴Sn＝1(－2)1＋2(－2)2＋3(－2)3＋…＋n(－2)n③， －2Sn＝1(－2)2＋2(－2)3＋3(－2)4＋…＋(n－1)(－2)n＋n(－2)n＋1④， ③－④得，3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1， ∴Sn＝－. 12．(2018北京海淀模擬)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)∵Sn＝2an－a1， ∴當n≥2時，Sn－1＝2an－1－a1， ∴an＝2an－2an－1，化為an＝2an－1. 由a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列得，2(a2＋1)＝a1＋a3， ∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2. ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2. ∴an＝2n. (2)∵an＝2n，∴Sn＝＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2. ∴bn＝＝＝. ∴數(shù)列{bn}的前n項和 Tn＝ ＝.