《2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題39 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題39 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法.doc（26頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

專題39 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在證明等式、證明不等式、證明整除性問題、歸納猜想證明等．本專題主要舉例說明利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題. 1、數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍：關(guān)于正整數(shù)的命題（例如數(shù)列，不等式，整除問題等），則可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明 2、第一數(shù)學(xué)歸納法：通過假設(shè)成立，再結(jié)合其它條件去證成立即可.證明的步驟如下： （1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證（是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立 （2）歸納假設(shè)：假設(shè)成立，證明當(dāng)時(shí)，命題也成立 （3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：時(shí)，命題均成立 3、第一歸納法要注意的地方： （1）數(shù)學(xué)歸納法所證命題不一定從開始成立，可從任意一個(gè)正整數(shù)開始，此時(shí)歸納驗(yàn)證從開始 （2）歸納假設(shè)中，要注意，保證遞推的連續(xù)性 （3）歸納假設(shè)中的，命題成立，是證明命題成立的重要條件.在證明的過程中要注意尋找與的聯(lián)系 4、第二數(shù)學(xué)歸納法：在第一數(shù)學(xué)歸納法中有一個(gè)細(xì)節(jié)，就是在假設(shè)命題成立時(shí)，可用的條件只有，而不能默認(rèn)其它的時(shí)依然成立.第二數(shù)學(xué)歸納法是對第一歸納法的補(bǔ)充，將歸納假設(shè)擴(kuò)充為假設(shè)，命題均成立，然后證明命題成立.可使用的條件要比第一歸納法多，證明的步驟如下： （1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證（是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立 （2）歸納假設(shè)：假設(shè)成立，證明當(dāng)時(shí)，命題也成立 （3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：時(shí)，命題均成立. 5.注意點(diǎn)：對于歸納猜想證明類問題，有三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).一是歸納結(jié)論不正確；二是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，確認(rèn)n的初始值n0不準(zhǔn)確；三是在第二步證明中，忽視應(yīng)用歸納假設(shè). 【經(jīng)典例題】 例1.【2018屆重慶市第一中學(xué)5月月考】已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為______. 【答案】 【解析】分析：由題意首先求得，然后利用題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定最小值即可. 詳解：由題意結(jié)合， 以下用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明： 當(dāng)時(shí)，結(jié)論是成立的， 假設(shè)當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，則， 由題意可知：， 結(jié)合假設(shè)有：，解得：， 綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式是正確的. 據(jù)此可知：，， 利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得：， 則， 結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或時(shí)，取得最小值， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 由于，據(jù)此可知的最小值為. 點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于合理利用歸納推理得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法． 例2. 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足Sn＝2an－2 (n∈N*) （1）求的值，并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的猜想． 【答案】（1）；（2）見解析. 當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2a4－2，∴a4＝16. 由此猜想： (n∈N*)． (2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2，猜想成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，猜想成立，即， 那么n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak ∴ak＋1=2ak， 這表明n＝k＋1時(shí)，猜想成立， 由①②知猜想 成立． 點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉. 例3．已知數(shù)列滿足：，. （Ⅰ）試求數(shù)列，，的值； （Ⅱ）請猜想的通項(xiàng)公式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明之. 【答案】（Ⅰ） ， ， . （Ⅱ），證明見解析. 由此猜想. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之： 當(dāng) 時(shí)，，結(jié)論成立； 假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即有， 則對于時(shí)， ∴當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立. 綜上，可得對， 成立 點(diǎn)睛：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題的步驟及其需要注意的問題： 1、第一步：歸納奠基（即驗(yàn)證時(shí)成立）； 第二步：歸納遞推（即假設(shè)時(shí)成立，驗(yàn)證時(shí)成立）； 3、兩個(gè)條件缺一不可，在驗(yàn)證時(shí)成立時(shí)一定要用到歸納假設(shè)時(shí)的結(jié)論，最后得到的形式應(yīng)與前面的完全一致. 例4.【2018屆浙江省溫州市高三9月一?！恳阎獢?shù)列中，，（）．　 （1）求證：； （2）求證：是等差數(shù)列； （3）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： ． 【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析. 【解析】試題分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法可證明；（2）化簡，由可得是等差數(shù)列；（3）由（2）可得，從而可得，先證明，利用放縮法及等比數(shù)列求和公式可證結(jié)論. （2）由，得， 所以， 即， 即， 所以，數(shù)列是等差數(shù)列． （3）由（2）知，， ∴， 因此， 當(dāng)時(shí)，， 即時(shí)，， 所以時(shí)，， 顯然，只需證明，即可． 當(dāng)時(shí)， ． 例5.已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處切線斜率為，，已知，求證： （2）在（1）的條件下，求證： 【答案】見解析 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，成立 假設(shè)成立，則時(shí) 時(shí)，不等式成立 （2） 由（1）可知 例6．【浙江省紹興市2018屆5月調(diào)測】已知數(shù)列中. （1）證明：； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：． 【答案】（1）見解析；（2）見解析 詳解：（1）數(shù)學(xué)歸納法：①當(dāng)時(shí)，，，顯然有. ②假設(shè)當(dāng)，結(jié)論成立，即， 那么，， 即， 綜上所述成立. （2）由（1）知：，， 即 ，； 點(diǎn)睛：解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的關(guān)鍵是從題設(shè)中提煉出數(shù)列的基本條件，綜合函數(shù)與不等式的知識求解；數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn)． 例7．【福建省南平市2018屆5月檢查】己知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)的最小值為-1，，數(shù)列滿足，，記，表示不超過的最大整數(shù)．證明：． 【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）見解析. 詳解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)? 1、當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)； 2、當(dāng)時(shí)，令得，即在上為增函數(shù)； 同理可得在上為減函數(shù). （Ⅱ）Q有最小值為-1，\由（Ⅰ）知函數(shù)的最小值點(diǎn)為， 即，則， 令， 當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù) 所以當(dāng)時(shí) ∵，∴.（未證明，直接得出不扣分） 則.由得， 從而.∵，∴. 猜想當(dāng)時(shí)，. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確. 1、當(dāng)時(shí)，猜想正確. 2、假設(shè)時(shí)，猜想正確. 即時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，有， 由（Ⅰ）知是上的增函數(shù)， 則，即， 例8.已知函數(shù)，在原點(diǎn)處切線的斜率為，數(shù)列滿足為常數(shù)且，． （1）求的解析式； （2）計(jì)算，并由此猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想． 【答案】（1）；（2） ；（3）證明見解析． （2），則， ，， 由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為． （3）①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立， ②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即， 則當(dāng)時(shí)，， 即當(dāng)時(shí)，猜想成立．由①②知，對一切正整數(shù)都成立． 例9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng) (其中且)記是數(shù)列的前項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論. 【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，證明見解析. 詳解：(1) 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d, 由題意得,∴bn=3n－2 . (2)證明：由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga［(1+1)(1+)…(1+ )］ 而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1 的大小 比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小 取n=1，有(1+1)= 取n=2，有(1+1)(1+ 推測 (1+1)(1+)…(1+)＞ (*) ①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立 ②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞ 則當(dāng)n=k+1時(shí)， , 即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立 由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立 于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞logabn+1 ,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1 . 例10.【2018年浙江省高考模擬】已知數(shù)列滿足： . 證明：當(dāng)時(shí)， （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析 由數(shù)列的遞推式，以及（2）的結(jié)論可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可證明，再結(jié)合已知可得，即可證明不等式成立. 詳解：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)， 成立 假設(shè)時(shí)，成立，那么時(shí)，假設(shè)， 則，矛盾 所以，故得證 所以，故 （2）由 得 設(shè) 則 （3）由（2）得，則 所以 又，所以，所以，故 所以，所以 【精選精練】 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由時(shí)等式成立推證時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)為__________ . 【答案】 點(diǎn)睛：項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律. 2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為______________． 【答案】 【解析】試題分析：由題意得：“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為6，因此第n項(xiàng)為 x+kw 3．已知數(shù)列中，且. （1）求，，； （2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明； （3）若，且，求. 【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）. （2）由此猜想. 下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明： ①當(dāng)時(shí)，由（1）知成立； ②假設(shè)，結(jié)論成立，即成立. 則當(dāng)時(shí)，有，即 即時(shí)，結(jié)論也成立； 由①②可知，的通項(xiàng)公式為. （3）由（2）知， . 4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，. （1）計(jì)算，，，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論. 【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 【解析】分析：（1）計(jì)算，，，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想. （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論. 由此猜想， （2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明， ①當(dāng)時(shí)，顯然成立， ②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即， 由題意得， ∴， ∴， ∴當(dāng)時(shí)猜想也成立， 由①和②，可知猜想成立，即. 點(diǎn)睛：（1）在利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，一定要注意利用前面的時(shí)的假設(shè)，否則就是偽數(shù)學(xué)歸納法，是錯(cuò)誤的.（2）看到或，要注意聯(lián)想到項(xiàng)和公式解題. 5．已知數(shù)列滿足，. （1）計(jì)算，，，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論. 【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 由此猜想； （2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明， ①當(dāng)時(shí)，顯然成立， ②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即， 由題意得，∴當(dāng)時(shí)猜想也成立； 由①和②，可知猜想成立，即. 6．已知數(shù)列滿足且. （1）計(jì)算、、的值，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法對你的結(jié)論進(jìn)行證明． 【答案】（1），；（2）證明見解析. 【解析】試題分析：（1）由,，將代入上式計(jì)算出、、的值，根據(jù)共同規(guī)律猜想即可；（2）對于，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.①當(dāng)時(shí)，證 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立， 由①②得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 7．在數(shù)列中，，，，， ． （）計(jì)算，，的值． （）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 【答案】（1），，；（2），證明見解析. （）由（）可猜想：，證明：當(dāng)時(shí)，，等式成立，假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，等式也成立，綜上所述，對任意自然數(shù)，． 8．已知數(shù)列數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn為其前n項(xiàng)和． (1)求S1，S2，S3，S4的值； (2)猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 【答案】(1)S1＝－1，S2＝2，S3＝－3，S4＝4；(2)答案見解析. 【解析】試題分析：(Ⅰ)根據(jù)，代入計(jì)算，可求的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明，檢驗(yàn)時(shí)等式成立，假設(shè)時(shí)命題成立，證明時(shí)命題也成立即可. 試題解析：(1)依題意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4； (2)猜想：Sn＝(－1)nn. 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，猜想顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即Sk＝(－1)kk， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＝(－1)kk＋ak＋1＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(k＋1)． 即n＝k＋1時(shí)，猜想也成立． 故由①和②可知，猜想成立. 【方法點(diǎn)睛】本題考查歸納推理以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題.由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識功能，對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)十分有用,觀察、實(shí)驗(yàn)、對有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法是科學(xué)研究的最基本的方法之一.通過不完全歸納法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法加以證明才能應(yīng)用. 9．設(shè)， ，令， ， . （1）寫出， ， 的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. 【答案】(1)a1＝1，a2＝，a3＝；a4＝，猜想an＝ （n∈N+）；(2)證明見解析. 試題解析： （1）∵a1＝1， ∴a2＝f（a1）＝f（1）＝， a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝， 猜想an＝ （n∈N+）； （2）證明：①易知，n＝1時(shí)，猜想正確. ②假設(shè)n＝k時(shí)猜想正確，即ak＝， 則ak＋1＝f（ak）＝=. 這說明n＝k＋1時(shí)猜想正確. 由①②知，對于任何n∈N+，都有an＝. 點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)． 10.【2017浙江，22】已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）． 證明：當(dāng)時(shí)， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1? xn≤； （Ⅲ）≤xn≤． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析． 【解析】 （Ⅱ）由得 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，不等式及其應(yīng)用，同時(shí)考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題．本題主要應(yīng)用：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）由遞推關(guān)系證明． 11．【2018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考】已知無窮數(shù)列的首項(xiàng)， . （Ⅰ）證明： ； （Ⅱ） 記， 為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：對任意正整數(shù)， . 【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析. 【解析】試題分析; （I）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法推理論證， （Ⅱ）由已知，即，可得數(shù)列為遞增數(shù)列. 又 ，易知為遞減數(shù)列， 試題解析：（Ⅰ）證明：①當(dāng)時(shí)顯然成立； ②假設(shè)當(dāng) 時(shí)不等式成立，即， 那么當(dāng)時(shí)， ，所以， 即時(shí)不等式也成立. 綜合①②可知， 對任意成立. （Ⅱ），即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列. 又 ，易知為遞減數(shù)列， 所以也為遞減數(shù)列， 所以當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ，成立； 當(dāng)時(shí)， 綜上，對任意正整數(shù)， 12．已知，. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若是展開式中所有無理項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，數(shù)列是各項(xiàng)都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學(xué)歸納法證明:. 【答案】（1）. （2）165.（3）見解析. 所以 . （3）因?yàn)?，所以要得無理項(xiàng)，必為奇數(shù)， 所以， 要證明， 只要證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，左邊=右邊， 當(dāng)時(shí)，， ∴時(shí)，不等式成立. 綜合（Ⅰ）（Ⅱ）可知對一切均成立. ∴不等式成立 . 點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、初等函數(shù)求導(dǎo)公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于難題.利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的步驟是:(1)驗(yàn)證時(shí)結(jié)論成立；（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論正確，證明時(shí)結(jié)論正確（證明過程一定要用假設(shè)結(jié)論）；（3）得出結(jié)論.