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專題03利用導數研究函數的性質第三季
1．設函數在定義域上是單調函數，且，若不等式對恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
據此可知函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
函數的最小值為，
結合恒成立的結論可知：的取值范圍是.
本題選擇D選項.
2．定義在函數上的函數滿足，，則關于x的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
令，則，
∵，
∴，
∴函數在上單調遞增．
又，
∴．
結合題意，不等式可轉化為，
即，
∴，
解得，
原不等式的解集為．
故選B．
3．已知函數的值域與函數的值域相同，則的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
，
時，；時，，
在上遞增，在上遞減，
，即的值域為，
，則，
在上遞增，在上遞減，
要使的值域為，
則，，
又，的范圍是，故選C.
4．若函數在上為增函數，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
依題意可得對x恒成立，令x+1=t(1
0時，
解得.
當a<0時，g(0)=，-=， t恒成立.
綜上，的取值范圍為.
故選B.
5．定義在上的偶函數的導函數為，若對任意的實數，都有恒成立，則使成立的實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
當時,由可知：兩邊同乘以得：.
設：
則，恒成立：
∴在單調遞減，
由
∴
即
即；
當時，函數是偶函數，同理得：
綜上可知：實數的取值范圍為，
故選：C.
6．已知函數（是自然對數的底數）有極小值0，則其極大值是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
7．若函數在上為增函數，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
依題意可得.
因為的增函數，故在上恒成立，
當時，，令，則
即，
令，則，故，解得.
當，則，令，則
即，該不等式在恒成立.
綜上，，故選D.
8．已知曲線與直線相切，且滿足條件的值有且只有3個，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由題意得：，設切點，
則其切線的斜率為，
所以切線方程為，又點在切線上，
∴，即，
由題意得，方程有三個不同的實數解，記，
則，當時，令，解得或，令，解得，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，∵，，∴要使方程有三個不同的實數解，
則，解得，實數的取值范圍是，故選B
9．已知函數f(x)＝－x2－2x，g(x)＝，若方程g(f(x))－a＝0有4個不等的實數根，求實數a的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，解得，
由，解得或，
則，
設,當時，則，
當或時，，
函數變成，
當時，；
當時，得，因此為函數的極值點，，
作出的圖象如圖所示，
當時，
由圖可知當 時，由兩個根：，
有兩個根，有兩個根，
方程的實數根的個數有4個，
故的取值范圍是，故選B.
10．若關于x的方程有三個不等的實數解，，，且，其中，為自然對數的底數，則的值為
A． B．e C． D．
【答案】A
【解析】
由關于x的方程，
令，則有
，
令函數，
，
在遞增，在遞減，
其圖象如下：
要使關于x的方程關于x的方程有3個不相等的實數解，，，
且，
結合圖象可得關于t的方程一定有兩個實根，，
且，，
，
，
可得，
故選：A．
11．已知函數，，若方程在有四個不同的解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因為函數，都是偶函數，
所以方程在有四個不同的解，
只需在上，的圖象在兩個不同的交點，
不合題意，
當時，,當，
即交點橫坐標在上，
假定兩函數的圖象在點處相切，
即兩函數的圖象在點處有相同的切線，
則有，則有，解得，
則有，
可得，則有，解得，
因為越小開口越大，
所以要使得， 在上，恰有兩個不同的交點，
則的取值范圍為，
此時，的圖象在四個不同的交點，
方程在有四個不同的解，
所以的取值范圍是，故選A.
12．已知函數f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R.若不等式f(x)≥x對所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，則實數a的取值范圍是( )
A．[e，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，e2) D．[e2，＋∞)
【答案】B
令，則h′(x)＝>0，
所以h(x)在區(qū)間(e，e2]上單調遞增，
故h(x)max＝h(e2)=．
所以a≥.
所以實數a的取值范圍是[，＋∞)．
故選B.
13．設函數，其中,若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
設,
由題意知存在唯一的整數，使得在直線的下方，
當時， ，當時，，
當時，取最小值，
又，直線恒過定點且斜率為m，
故且
解得，故選A.
14．設函數，其中，，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
設，
由題意知,存在唯一的整數使得在直線的下方，
，
∴當時，，當時，，
∴當時，取最小值，
當時，，當時，，
直線恒過定點且斜率為，故且，解得,故選：B．
15．如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對接而成，該封閉幾何體內部放入一個小圓柱體，且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
小圓柱的高分為上下兩部分，上部分同大圓柱一樣為5，下部分深入底部半球內設為h (0h5)，小圓柱的底面半徑設為r (0r5)，由于和球的半徑構成直角三角形，即+，所以小圓柱體積，(0h5)，求導，當0h時，體積單調遞增，當h5時，體積單調減。所以當h=時，小圓柱體積取得最大值，，故選B.
16．已知數列的前項和為，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
構造函數，
所以在上遞增，，
可得，令，
，
，
化為，
，
即，故選B.
17．已知函數，在函數圖象上任取兩點，若直線的斜率的絕對值都不小于5，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
則對恒成立，則，即，
解之得或.
又，所以.
18．已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點，PA=PB=PC=2，，點B在AC上的射影為D，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如下圖，由題意，，，
取的中點為，則為三角形的外心，且為在平面上的射影，所以球心在的延長線上，設，則，
所以，即，所以.
故，
過作于，設()，則,
設，則，故，
所以，則，
所以的面積，
令，則，
因為，所以當時，，即此時單調遞增；當時，，此時單調遞減。
所以當時，取到最大值為，即的面積最大值為。
當的面積最大時，三棱錐體積取得最大值為.
故選D.
19．已知函數，若函數在區(qū)間上有三個零點，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵函數g（x）=f（x）-ax在區(qū)間上有三個零點，
∴y=f（x）與y=ax在區(qū)間上有三個交點；
由函數y=f（x）與y=ax的圖象可知， ；
f（x）=lnx，（x＞1）， ，
設切點坐標為（t，lnt），
則 ，
解得：t=e．
∴ ．
則直線y=ax的斜率
故選：D．
20．設0＜m≤2，已知函數，對于任意x1，x2∈[m-2，m]，都有|f(x1)-f(x2)|≤1，則實數m的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
設,
函數，對于任意，都有，
等價于在上，，
求導
時，
在為減函數，
因為，
，
在上為減函數，
，
，
，
得或，又，
即實數的范圍是，故選B.
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