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7.2　基本不等式 挖命題 【考情探究】 考點 內容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯考點 1.基本不等式的應用 1.了解基本不等式的證明過程 2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題 2018天津,13 2017天津,12 利用基本不等式求最值 指數函數 ★★☆ 2.不等式的綜合應用 1.能夠靈活運用不等式的性質求定義域、值域 2.能夠應用基本不等式求最值 3.熟練掌握運用不等式解決應用題的方法 2017天津文,8 利用基本不等式解決恒成立問題 分段函數 ★★☆ 分析解讀　　1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添項或配湊因式構造基本不等式形式的技巧,同時注意“一正、二定、三相等”的原則;2.利用基本不等式求函數最值、求參數范圍、證明不等式是高考熱點;3.不等式的性質與函數、導數、數列等內容相結合,解決與不等式有關的數學問題和實際問題是高考熱點. 破考點 【考點集訓】 考點一　基本不等式的應用 1.“a>0”是“a+2a≥22”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件　　　　C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　C　 2.若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),則a+b的最小值為(　　) A.8　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.2 答案　C　 3.已知x,y∈R+,且滿足x3+y4=1,則xy的最大值為　　　　. 答案　3 考點二　不等式的綜合應用 4.(2015山東文,14,5分)定義運算“?”:x?y=x2-y2xy(x,y∈R,xy≠0).當x>0,y>0時,x?y+(2y)?x的最小值為　　　　. 答案　2 5.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池,處理池中建一條與長邊垂直的分隔墻壁,池的深度一定,池的四周墻壁建造單價為每米400元,分隔墻壁的建造單價為每米100元,池底建造單價為每平方米60元(池壁厚度忽略不計). (1)污水處理池的長設計為多少米時,可使總造價最低? (2)如果受地形限制,污水處理池的長、寬都不能超過14.5米,那么此時污水處理池的長設計為多少米時,可使總造價最低? 解析　(1)設污水處理池的長為x米,則寬為200x米,則總造價f(x)=4002x+2200x+100200x+60200=800x+225x+12000≥1600x225x+12000=36000,當且僅當x=225x(x>0),即x=15時等號成立.故污水處理池的長設計為15米時,可使總造價最低. (2)記g(x)=x+225x.由已知得00,b>0)過點(1,2),則2a+b的最小值為　　　　. 答案　8 3.已知點A(2,0),B(0,1),若點P(x,y)在線段AB上,則xy的最大值為　　　　. 答案　12 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 1.(2017天津文,8,5分)已知函數f(x)=x2-x+3,x≤1,x+2x,x>1.設a∈R,若關于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,則a的取值范圍是(　　) A.-4716,2　　　　B.-4716,3916　　　　C.[-23,2]　　　　D.-23,3916 答案　A　 2.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為　　　　. 答案　14 3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,則a4+4b4+1ab的最小值為　　　　. 答案　4 4.(2013天津,14,5分)設a+b=2,b>0,則當a=　　　　時,12|a|+|a|b取得最小值. 答案　-2 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點一　基本不等式的應用 　(2015湖南,7,5分)若實數a,b滿足1a+2b=ab,則ab的最小值為(　　) A.2　　　　B.2　　　　C.22　　　　D.4 答案　C　 考點二　不等式的綜合應用 1.(2014重慶,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,則a+b的最小值是(　　) A.6+23　　　　B.7+23　　　　C.6+43　　　　D.7+43 答案　D　 2.(2014福建,13,4分)要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是　　　　　(單位:元). 答案　160 C組　教師專用題組 考點一　基本不等式的應用 1.(2013福建,7,5分)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是(　　) A.[0,2]　　　　B.[-2,0]　　　　C.[-2,+∞)　　　　D.(-∞,-2] 答案　D　 2.(2013山東,12,5分)設正實數x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當zxy取得最小值時,x+2y-z的最大值為(　　) A.0　　　　B.98　　　　C.2　　　　D.94 答案　C　 3.(2015重慶,14,5分)設a,b>0,a+b=5,則a+1+b+3的最大值為　　　　. 答案　32 4.(2014浙江,16,4分)已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值是　　　　. 答案　63 5.(2014遼寧,16,5分)對于c>0,當非零實數a,b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大時,1a+2b+4c的最小值為　　　　. 答案　-1 考點二　不等式的綜合應用 　(2013山東文,16,4分)定義“正對數”:ln+x=0,　　　00,b>0,則ln+(ab)=bln+a; ②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln+a+ln+b; ③若a>0,b>0,則ln+ab≥ln+a-ln+b; ④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2. 其中的真命題有　　　　.(寫出所有真命題的編號) 答案　①③④ 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2019屆天津耀華中學第二次月考,6)已知x>0,y>0且4xy-x-2y=4,則xy的最小值為(　　) A.22　　　　B.22　　　　C.2　　　　D.2 答案　D　 2.(2017天津河西二模,6)若直線ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,則1a+1b的最小值為(　　) A.32+2　　　　B.2　　　　C.14　　　　D.32+22 答案　A　 3.(2018天津河西三模,7)已知正數a,b滿足a+b=2,則a+b+1的最大值為(　　) A.3　　　　B.6+1　　　　C.6　　　　D.3+1 答案　C　 4.(2018天津河北二模,7)若正數a,b滿足:1a+1b=1,則1a-1+9b-1的最小值為(　　) A.1　　　　B.6　　　　C.12　　　　D.16 答案　B　 5.(2018天津河東一模,8)設正實數a,b,c滿足a2-3ab+4b2-c=0,則當abc取得最大值時,2a+1b-2c的最大值為(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 答案　B　 二、填空題(每小題5分,共50分) 6.(2018天津和平一模,13)已知a>0,b>0,a+b=m,其中m為常數,則y=4a+1b的最小值為　　　　. 答案　9m 7.(2017天津河東二模,12)若a>0,b>0且2a+b=4,則1ab的最小值是　　　　. 答案　12 8.(2018天津河北一模,12)已知a>0,b>0,則a2+4+4ab+4b2a+2b的最小值為　　　　. 答案　4 9.(2017天津南開三模,14)若a>0,b>0,且2a+b=1,則2ab-4a2-b2的最大值是　　　　. 答案　2-12 10.(2018天津十二區(qū)縣一模,12)已知a>b>0,則2a+3a+b+2a-b的最小值為　　　　. 答案　22+23 11.(2018天津和平二模,13)已知ab>0,a+b=3,則b2a+2+a2b+1的最小值為　　　　. 答案　32 12.(2019屆天津新華中學期中,13)已知正數x,y滿足2x+y=1,則1x+4y+1的最小值為　　　　. 答案　3+22 13.(2018天津十二區(qū)縣二模,13)已知a>b,二次三項式ax2+4x+b≥0對于一切實數x恒成立,又?x0∈R,使ax02+4x0+b=0成立,則a2+b2a-b的最小值為　　　　. 答案　42 14.(2018天津和平三模,13)已知a>2b>0,則a2+12ab+1a(a-2b)的最小值為　　　　. 答案　4 15.(2017天津濱海新區(qū)統(tǒng)考,14)如圖,已知點G是△ABC的重心,過點G作直線與AB,AC兩邊分別交于M、N兩點,且AM=a3AB,AN=b6AC,則2a-1+1b-2的最小值為　　　　. 答案　2