2019高考數(shù)學(xué) 選擇題 專題04 不等式的證明 理.doc
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專題04 不等式的證明 知識(shí)通關(guān) 1．基本不等式 （1）定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a，b>0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立. 用語言可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù). （3）定理3：如果a，b，c為正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 用語言可以表述為：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù). （4）算術(shù)平均—幾何平均定理(基本不等式的推廣)：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，，an，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2==an時(shí)，等號(hào)成立. 2．柯西不等式 （1）二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立. （2）柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)α是零向量或β是零向量或存在實(shí)數(shù)k使α=kβ時(shí)，等號(hào)成立. （3）二維形式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么. （4）一般形式的柯西不等式：設(shè)是實(shí)數(shù),則()() ≥，當(dāng)且僅當(dāng)ai=0或bi=0(i=1,2,,n)或存在一個(gè)數(shù)k使得ai=kbi(i=1,2,,n)時(shí)，等號(hào)成立. 3．不等式證明的方法 （1）比較法 比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種. 名稱 作差比較法 作商比較法 理論依據(jù) a＞b?a－b＞0 a＜b?a－b＜0 a＝b?a－b＝0 b＞0，＞1?a＞b b＜0，＞1?a＜b （2）綜合法與分析法 ①綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ? ②分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫分析法．即“執(zhí)果索因”的方法． （3）反證法和放縮法 ①反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是間接證明的一種基本方法． ②放縮法：證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到到證明的目的.我們把這種方法稱為放縮法. 基礎(chǔ)通關(guān) 1．比較法證明不等式最常用的是差值比較法，其基本步驟是：作差—變形—判斷差的符號(hào)—下結(jié)論.其中“變形”是證明的關(guān)鍵，一般通過因式分解或配方將差式變形為幾個(gè)因式的積或配成幾個(gè)代數(shù)式平方和的形式，當(dāng)差式是二次三項(xiàng)式時(shí)，有時(shí)也可用判別式來判斷差值的符號(hào). 2．綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч?，其證明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)式是“∵，∴”或“?”．解題時(shí)，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． 3．當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆． 題組一 比較法證明不等式 作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對(duì)差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號(hào)．在使用作商比較法時(shí)，要注意說明分母的符號(hào)． 【例1】已知函數(shù)，M為不等式的解集. （1）求M； （2）證明：當(dāng)a，b時(shí)，. 【解析】（1） 當(dāng)時(shí)，由得解得； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，由得解得. 所以的解集. （2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，， 從而， 因此 題組二 分析法證明不等式 分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，具體過程如下：→→→→得到一個(gè)明顯成立的條件. 【例2】已知函數(shù). （1）求不等式的解集A； （2）若，試證明：. 【解析】（1）若，則，解得，無解； 若，則，解得，故； 若，則，解得，故. 綜上所述，不等式的解集A為. 題組三 反證法證明不等式 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾等．矛盾是在推理過程中發(fā)現(xiàn)的，不是推理之前設(shè)計(jì)的． 【例3】設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝.證明： （1）a＋b≥2； （2）a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立． 【解析】由a＋b＝＝，a>0，b>0，得ab＝1. （1）由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. （2）假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立， 則由a2＋a<2及a>0，得0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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