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壓軸題提分練(三) 1．(2018合肥模擬)已知橢圓E：＋＝1，點A、B、C都在橢圓E上，O為坐標原點，D為AB中點，且＝2. (1)若點C的坐標為，求直線AB的方程； (2)求證：△ABC面積為定值． 解析：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，∵＝2， ∴D， 將A，B代入橢圓方程中，可得化簡可得 ＋＝0， ∴kAB＝＝－＝－＝－， ∴直線lAB的方程為x＋2y＋2＝0. (2)證明：設C(m，n)，∴D， ①當直線AB的斜率不存在時，n＝0，由題意可得C(2，0)，A，B或C(－2,0)， A，B，此時S△ABC＝33＝； ②當直線AB的斜率存在時，n≠0，由(1)kAB＝－＝－， ∴AB：y＋＝－(x＋)，即直線AB：y＝－x－＝－x－， 即3mx＋4ny＋6＝0，?3x2＋3mx＋3－4n2＝0， ∴x1＋x2＝－m，x1x2＝1－，∵＝2 ， |AB|＝ ＝ ＝， O到AB的距離d＝， S△ABC＝3S△OAB＝3＝.∴S△ABC為定值． 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為6x－2y－1＝0，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，g(x)＝aex(a，b，c∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求b，c的值； (2)若?x0∈(0,2]，使g(x0)＝f′(x0)成立，求a的取值范圍． 解析：(1)由題意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c， ∴f′(1)＝2b＋c＋3＝3. 又f(1)＝b＋c＋1，點(1，f(1))在直線6x－2y－1＝0上，∴6－2(b＋c＋1)－1＝0， 故b＝－，c＝3. (2)∵g(x0)＝f′(x0)， ∴aex0＝3x－3x0＋3， ∴a＝. 令h(x)＝， 則h′(x)＝， 令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2. 當x變化時，h(x)與h′(x)在x∈(0,2]上的變化情況如下表所示： x (0,1) 1 (1,2) 2 h′(x) － 0 ＋ 0 h(x)   ∴h(x)在x∈(0,2]上有極小值h(1)＝， 又h(2)＝，h(0)＝3>， ∴h(x)在x∈(0,2]上的取值范圍為[，3)， ∴a的取值范圍為[，3)．