(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.1 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)講義(含解析).docx
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5.1 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 最新考綱 考情考向分析 1.了解角、角度制與弧度制的概念,掌握弧度與角度的換算. 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義. 以理解任意角三角函數(shù)的概念、能進(jìn)行弧度與角度的互化和扇形弧長、面積的計(jì)算為主,常與向量、三角恒等變換相結(jié)合,考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí).題型以選擇題為主,低檔難度. 1.角的概念 (1)任意角:①定義:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形;②分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角. (2)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S={β|β=k360+α,k∈Z}. (3)象限角:使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么,角的終邊在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限. 2.弧度制 (1)定義:把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,用符號(hào)rad表示,讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0. (2)角度制和弧度制的互化:180=πrad,1=rad,1rad=. (3)扇形的弧長公式:l=|α|r,扇形的面積公式:S=lr=|α|r2. 3.任意角的三角函數(shù) 任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)時(shí), 則sinα=y(tǒng),cosα=x,tanα=(x≠0). 三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表: 三角函數(shù) 定義域 第一象限符號(hào) 第二象限符號(hào) 第三象限符號(hào) 第四象限符號(hào) sinα R + + - - cosα R + - - + tanα + - + - 4.三角函數(shù)線 如下圖,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過P作PM⊥x軸,垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn)T. 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線;有向線段OM為余弦線;有向線段AT為正切線 概念方法微思考 1.總結(jié)一下三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律. 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中,若取點(diǎn)P(x,y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),怎樣定義角α的三角函數(shù)? 提示 設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r,則sinα=,cosα=,tanα=(x≠0). 題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)銳角是第一象限的角,第一象限的角也都是銳角.( ) (2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).( √ ) (3)不相等的角終邊一定不相同.( ) (4)若α為第一象限角,則sinα+cosα>1.( √ ) 題組二 教材改編 2.[P10A組T7]角-225=______弧度,這個(gè)角在第______象限. 答案?。《? 3.[P15T2]若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)Q,則sinα=____,cosα=________. 答案 ?。? 4.[P10A組T6]一條弦的長等于半徑,這條弦所對(duì)的圓心角大小為____弧度. 答案 題組三 易錯(cuò)自糾 5.集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是( ) 答案 C 解析 當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),2nπ+≤α≤2nπ+,此時(shí)α表示的范圍與≤α≤表示的范圍一樣;當(dāng)k=2n+1 (n∈Z)時(shí),2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此時(shí)α表示的范圍與π+≤α≤π+表示的范圍一樣,故選C. 6.已知點(diǎn)P在角θ的終邊上,且θ∈[0,2π),則θ的值為( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限,所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanθ==-,又θ∈,所以θ=. 7.在0到2π范圍內(nèi),與角-終邊相同的角是________. 答案 解析 與角-終邊相同的角是2kπ+(k∈Z),令k=1,可得與角-終邊相同的角是. 8.函數(shù)y=的定義域?yàn)開_________________. 答案 (k∈Z) 解析 ∵2cosx-1≥0,∴cosx≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示), ∴x∈(k∈Z). 題型一 角及其表示 1.下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 ( ) A.2kπ+45(k∈Z) B.k360+(k∈Z) C.k360-315(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 答案 C 解析 與角的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確. 2.設(shè)集合M=,N=,那么( ) A.M=NB.M?NC.N?MD.M∩N=? 答案 B 解析 由于M中,x=180+45=k90+45=(2k+1)45,2k+1是奇數(shù);而N中,x=180+45=k45+45=(k+1)45,k+1是整數(shù),因此必有M?N,故選B. 3.終邊在直線y=x上,且在[-2π,2π)內(nèi)的角α的集合為______________________. 答案 解析 如圖,在坐標(biāo)系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是,在[0,2π)內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個(gè):,π; 在[-2π,0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè):-π,-π,故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為. 4.若角α是第二象限角,則是第________象限角. 答案 一或三 解析 ∵α是第二象限角, ∴+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, ∴+kπ<<+kπ,k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),是第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),是第三象限角. 綜上,是第一或第三象限角. 思維升華 (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角. (2)確定kα,(k∈N*)的終邊位置的方法 先寫出kα或的范圍,然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在位置. 題型二 弧度制及其應(yīng)用 例1已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長為l.若α=,R=10cm,求扇形的面積. 解 由已知得α=,R=10cm, ∴S扇形=αR2=102=(cm2). 引申探究 1.若例題條件不變,求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積. 解 l=αR=10=(cm), S弓形=S扇形-S三角形 =lR-R2sin =10-102=(cm2). 2.若例題條件改為:“若扇形周長為20cm”,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大? 解 由已知得,l+2R=20,則l=20-2R(0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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