2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標系與參數(shù)方程課時訓(xùn)練 選修4-4.doc
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選修44 坐標系與參數(shù)方程 第1課時 坐 標 系 1. (1) 將點M的極坐標化成直角坐標; (2) 將點N的直角坐標(4,-4)化成極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:(1) ∵ x=4cos π=4cos =4=-2,y=4sin π=4sin =2,∴ 點M的直角坐標是(-2,2). (2) ∵ ρ==8,tan θ==-,θ∈[0,2π),又點(4,-4)在第四象限,∴ θ=,∴ 點N的極坐標為. 2. 已知圓C的極坐標方程為ρ2+2ρsin-4=0,求圓心的極坐標. 解:以極坐標系的極點為直角坐標系的原點O,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系xOy. ∵ 圓C的極坐標方程為ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0, ∴ 圓C的直角坐標方程為x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6. ∴ 圓心的直角坐標為(1,-1),則其極坐標為. 3. (2017省揚中等七校聯(lián)考)在極坐標系中,已知點P,直線l:ρcos=2,求點P到直線l的距離. 解:點P的直角坐標為(3, ), 直線l的普通方程為x-y-4=0, 從而點P到直線l的距離為=. 4. 已知點P(-1+cos α,sin α)(其中α∈[0,2π)),點P的軌跡記為曲線C1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,點Q在曲線C2:ρ=上. (1) 求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程; (2) 當(dāng)ρ≥0,0≤θ<2π時,求曲線C1與曲線C2的公共點的極坐標. 解:(1) 曲線C1:(x+1)2+y2=2,極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-1=0,曲線C2的直角坐標方程為y=x-1. (2) 曲線C1與曲線C2的公共點的坐標為(0,-1),極坐標為. 5. 在極坐標系中,求圓ρ2-4ρsin θ-5=0截直線θ=(ρ∈R)所得線段長. 解:以極點O為原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy.則圓ρ2-4ρsin θ-5=0化為普通方程為x2+y2-4y-5=0,即x2+(y-2)2=9.直線θ=(ρ∈R)化為普通方程為y=x,即x-y=0.圓心(0,2)到直線x-y=0的距離為d==1,于是所求線段長為2=4. 6. (2017金陵中學(xué)質(zhì)檢)在極坐標系中,已知圓C的極坐標方程為ρ2-4ρcos+7=0,直線l的極坐標方程為3ρcos θ-4ρsin θ+a=0.若直線l與圓C相切,求實數(shù)a的值. 解:圓C和直線l的直角坐標方程分別為(x-2)2+(y-2)2=1,3x-4y+a=0. 因為圓C與直線l相切, 所以d==1,解得a=-3或a=7. 7. 在極坐標系中,已知圓A的圓心為(4,0),半徑為4,點M為圓A上異于極點O的動點,求弦OM中點的軌跡的極坐標方程. 解:由題意知,圓A的極坐標方程為ρ=8cos θ, 設(shè)弦OM中點為N(ρ,θ),則M(2ρ,θ), 因為點M在圓A上,所以2ρ=8cos θ,即ρ=4cos θ. 又點M異于極點O,所以ρ≠0, 所以弦OM中點的軌跡的極坐標方程為ρ=4cos θ(ρ≠0). 8. 在極坐標系中,設(shè)直線θ=與曲線ρ2-10ρcos θ+4=0相交于A,B兩點,求線段AB中點的極坐標. 解:(解法1)將直線θ=化為普通方程,得y=x, 將曲線ρ2-10ρcos θ+4=0化為普通方程,得x2+y2-10x+4=0, 聯(lián)立并消去y,得2x2-5x+2=0, 解得x1=,x2=2, 所以AB中點的橫坐標為=,縱坐標為 , 化為極坐標為. (解法2)聯(lián)立直線l與曲線C的方程,得 消去θ,得ρ2-5ρ+4=0,解得ρ1=1,ρ2=4, 所以線段AB中點的極坐標為,即. (注:將線段AB中點的極坐標寫成(k∈Z)亦可) 9. 在極坐標系中,已知三點A(4,0),B,C. (1) 若A,B,C三點共線,求ρ的值; (2) 求過O(坐標原點),A,B三點的圓的極坐標方程. 解:(1) 由題意知點A,B的直角坐標分別為A(4,0),B(0,-4),所以直線AB的方程是x-y-4=0.因為點C的直角坐標為,所以--4=0,所以ρ=4(+1). (2) 因為A(4,0),B(0,-4),O(0,0),所以過O,A,B三點的圓的標準方程為(x-2)2+(y+2)2=8,整理得x2+y2-4x+4y=0,即極坐標方程為ρ2-4ρcos θ+4ρsin θ=0,整理得ρ=4cos θ-4sin θ. 10. 在極坐標系中,設(shè)圓C經(jīng)過點P,圓心是直線ρsin=與極軸的交點,求圓C的極坐標方程. 解:因為圓心為直線ρsin=與極軸的交點,所以令θ=0,得ρ=1,即圓心是(1,0).又圓C經(jīng)過點P,所以圓的半徑r==1,所以圓過原點,所以圓C的極坐標方程是ρ=2cos θ. 11. 在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(a>b>0,φ為參數(shù)),且曲線C上的點M(2,)對應(yīng)的參數(shù)φ=.以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1) 求曲線C的普通方程; (2) 若A(ρ1,θ),B是曲線C上的兩點,求+的值. 解:(1) 將M(2,)及對應(yīng)的參數(shù)φ=代入(a>b>0,φ為參數(shù)),得所以 所以曲線C的普通方程為+=1. (2) 曲線C的極坐標方程為+=1,將A(ρ1,θ),B代入得+=1,+=1,所以+=. 第2課時 參 數(shù) 方 程 1. 已知在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρcos θ+3=0.點P在直線l上,點Q在曲線C上,求PQ的取值范圍. 解:直線l的普通方程為4x-3y+8=0; 曲線C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=1, 曲線C是圓心為(2,0),半徑為1的圓. 圓心到直線的距離d==, 所以PQ的取值范圍是. 2. 已知直線l的參數(shù)方程為曲線C的極坐標方程為ρ=4sin θ,試判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系. 解:直線l的普通方程為2x-y-2=0; 曲線C的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4,它表示圓. 由圓心到直線l的距離d== <2,得直線l與曲線C相交. 3. 在平面直角坐標系xOy中,求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點,且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程. 解:由題意知,橢圓的長半軸長為a=5,短半軸長為b=3,從而c=4,所以右焦點為(4,0).將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程得x-2y+2=0,故所求的直線的斜率為,因此所求的直線方程為y=(x-4),即x-2y-4=0. 4. 在平面直角坐標系xOy中,已知直線C1:(t為參數(shù))與橢圓C2:(θ為參數(shù),a>0)的一條準線的交點位于y軸上,求實數(shù)a的值. 解:直線C1:2x+y=9, 橢圓C2:+=1(0<a<3), 準線:y=. 由=9,得a=2. 5. 在直角坐標系xOy中,已知曲線C1的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2的極坐標方程是ρ=2,求曲線C1與C2的交點在直角坐標系中的直角坐標. 解:由 消去t得曲線C1的普通方程為y=x(x≥0); 由ρ=2,得ρ2=4,得曲線C2的直角坐標方程是x2+y2=4. 聯(lián)立解得 故曲線C1與C2的交點坐標為(,1). 6. 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù), a>0),在以坐標原點為極點, x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2∶ρ=4cos θ. (1)求曲線C1的普通方程,并將C1的方程化為極坐標方程; (2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. 解:(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2,將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可解得1-a2=0,根據(jù)a>0,得到a=1,當(dāng)a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上,所以a=1. 7. 在直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ-2cos θ-6sin θ+=0,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1) 求曲線C的普通方程; (2) 若直線l與曲線C交于A,B兩點,點P的坐標為(3,3),求PA+PB的值. 解:(1) 曲線C的極坐標方程為ρ-2cos θ-6sin θ+=0, 可得ρ2-2ρcos θ-6ρsin θ+1=0, 可得x2+y2-2x-6y+1=0, 曲線C的普通方程:x2+y2-2x-6y+1=0. (2) 由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 把它代入圓的方程整理得 t2+2t-5=0,∴ t1+t2=-2,t1t2=-5. 又PA=|t1|,PB=|t2|,PA+PB=|t1|+|t2|==2. ∴ PA+PB的值為2. 8. 在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.直線l的極坐標方程為ρsin=,橢圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1) 求直線l的直角坐標方程與橢圓C的普通方程; (2) 若直線l與橢圓C交于A,B兩點,求線段AB的長. 解:(1) 由ρsin= ,得ρ(cos θ-sin θ)=,即x-y=,化簡得y=x-, 所以直線l的直角坐標方程是y=x-. 由+=cos2t+sin2t=1,得橢圓C的普通方程為+=1. (2) 聯(lián)立直線方程與橢圓方程,得 消去y,得+(x-1)2=1, 化簡得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=, 所以A(0,-),B或A,B(0,- ), 則AB==. 9. 在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù),r>0),以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρsin=1,若圓C上的點到直線l的最大距離為3,求r的值. 解:圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù),r>0),消去參數(shù)θ得 +=r2(r>0),所以圓心C,半徑為r. 直線l的極坐標方程為ρsin=1, 化為普通方程為x+y-=0. 圓心C到直線x+y-=0的距離為d==2.∵ 圓C上的點到直線l的最大距離為3,即d+r=3,∴ r=3-d=3-2=1. 10. 已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點. (1) 求M的軌跡的參數(shù)方程; (2) 將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點. 解:(1) 由題意有,P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α), M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù),0<α<2π). (2) M點到坐標原點的距離為d==(0<α<2π), 當(dāng)α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標原點. 11. 若以直角坐標系xOy的原點O為極點,x軸正半軸為極軸,選擇相同的長度單位建立極坐標系,得曲線C的極坐標方程是ρsin2θ=6cos θ. (1) 將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,并指出曲線是什么曲線; (2) 若直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與曲線C相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解:(1) 由ρsin2θ=6cos θ,得ρ2sin2θ=6ρcos θ,所以曲線C的直角坐標方程為y2=6x,曲線是以原點為頂點,為焦點的拋物線. (2) 化簡得t2-4t-12=0,則t1+t2=4,t1t2=-12,所以AB=|t1-t2|==8.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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