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單元檢測七 不等式、推理與證明(提升卷)
考生注意：
1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．
2．答卷前，考生務(wù)必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應(yīng)位置上．
3．本次考試時間100分鐘，滿分130分．
4．請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整．
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若a
C．|a|>－b D.>
答案 A
解析 因為a0，即>，A不成立；－a>－b>0，>，B成立；－a＝|a|>|b|＝－b，C成立；當a＝－3，b＝－1時，＝－，＝－1，故>，D成立．
2．不等式≤0的解集為( )
A.
B.
C.∪(3，＋∞)
D.∪[3，＋∞)
答案 C
解析 不等式≤0可化為
∴解得x≤－或x>3，
∴不等式≤0的解集為∪(3，＋∞)．
3．下面幾種推理過程是演繹推理的是( )
A．某校高三有8個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人
B．由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)
C．平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分
D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝，由此歸納出{an}的通項公式
答案 C
解析 因為演繹推理是由一般到特殊，所以選項C符合要求，平行四邊形對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分．
4．“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 由1＋≥0，得≥0，等價于(x－1)(x＋2)≥0，且x≠1，解得x≤－2或x>1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋≥0”能推出“(x＋2)(x－1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋≥0”，故“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的充分不必要條件，故選A.
5．若x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，則xy的最小值為( )
A．8B．14C．16D．64
答案 D
解析 ∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
∴xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，
∴xy≥64，當且僅當x＝16，y＝4時取等號，
∴xy的最小值為64，故選D.
6．已知實數(shù)a>0，b>0，＋＝1，則a＋2b的最小值是( )
A．3B．2C．3D．2
答案 B
解析 ∵a>0，b>0，＋＝1，
∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3
＝[(a＋1)＋2(b＋1)]－3
＝－3≥3＋2－3＝2，
當且僅當＝，即a＝，b＝時取等號，
∴a＋2b的最小值是2，故選B.
7．若直線l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圓C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面積相等的兩部分，則＋的最小值為( )
A．10B．8C．5D．4
答案 B
解析 由題意知，已知圓的圓心C(－4，－1)在直線l上，所以－4a－b＋1＝0，所以4a＋b＝1.所以＋＝(4a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，當且僅當＝，即a＝，b＝時，等號成立．所以＋的最小值為8.故選B.
8．在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機地取一點M，則點M恰好落在第二象限的概率為( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 如圖，不等式組所表示的平面區(qū)域為一直角三角形，其面積為3＝，其中在第二象限的區(qū)域為一直角三角形，其面積為11＝.所以點M恰好落在第二象限的概率為＝，故選C.
9．(2018河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知變量x，y滿足則z＝3y－x的取值范圍為( )
A．[1,2]B．[2,5]C．[2,6]D．[1,6]
答案 D
解析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(△ABC邊界及其內(nèi)部)．
因為z＝3y－x，所以y＝x＋z.當直線y＝x＋在y軸上的截距有最小值時，z有最小值；當在y軸上的截距有最大值時，z有最大值．由圖可知，當直線y＝x＋經(jīng)過點A(－1,0)，在y軸上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；經(jīng)過點C(0,2)時，在y軸上的截距最大，zmax＝32－0＝6.所以z＝3y－x的取值范圍為[1,6]，故選D.
10．小王計劃租用A，B兩種型號的小車安排30名隊友(大多有駕駛證，會開車)出去游玩，A與B兩種型號的車輛每輛的載客量都是5人，租金分別為1000元/輛和600元/輛，要求租車總數(shù)不超過12輛，不少于6輛，且A型車至少有1輛，則租車所需的最少租金為( )
A．1000元 B．2000元
C．3000元 D．4000元
答案 D
解析 設(shè)分別租用A，B兩種型號的小車x輛、y輛，所用的總租金為z元，則z＝1000x＋600y，其中x，y滿足不等式組(x，y∈N)，作出可行域，如圖陰影部分(包括邊界)所示．
易知當直線y＝－x＋過點D(1,5)時，z取最小值，所以租車所需的最少租金為11000＋5600＝4000(元)，故選D.
11．(2018貴州貴陽一中月考)若變量x，y滿足約束條件則t＝的取值范圍是( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 作出可行域，如圖中陰影部分所示(包括邊界)．
t＝表示可行域內(nèi)的點與點M(3,2)連線的斜率．由圖可知，當可行域內(nèi)的點與點M的連線與圓x2＋y2＝4相切時斜率分別取最大值和最小值．設(shè)切線方程為y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，則有＝2，解得k＝或k＝0，所以t＝的取值范圍是，故選B.
12．已知甲、乙兩個容器，甲容器的容量為x(單位：L)，裝滿純酒精，乙容器的容量為z(單位：L)，其中裝有體積為y(單位：L)的水(xz，每次傾倒后甲容器都有剩余，則an<，故A錯誤；對于B，若x＋y＝z，則每次操作后乙容器所含酒精都為，bn＝0，故B錯誤；對于C，若x＝1，y＝1，z＝3，則a1＝，＝，則a1>，故C錯誤；對于D，當n→＋∞時，甲乙兩容器濃度趨于相等，當x＋y≤z時，an＝，當x＋y>z時，an<，故選D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共70分)
二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．若在關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
答案 [－2,4]
解析 關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化為(x－1)(x－a)<0.當a＝1時，(x－1)2<0，無解，滿足題意；當a>1時，不等式的解集為{x|10.
因為f(x)＝2x＋＝2x＋2＋－2≥4－2＝2，所以f(x)≥2，
當且僅當2x＋2＝，即x＝0時取等號．
故f(x)的最小值為2，此時x＝0.
(2)由f(x)≥2x＋2，得≥0，所以－10，b>0，求ab的最大值；
(2)當x∈[0,1]時，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝的取值范圍．
解 (1)因為f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f＝，
所以a＋b－＝，即a＋b＝8.
因為a>0，b>0，
所以a＋b≥2，即4≥，所以ab≤16，
當且僅當a＝b＝4時等號成立，
所以ab的最大值為16.
(2)因為當x∈[0,1]時，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，
所以且2a＋3b≥3，即
作出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(含邊界)．
由圖可得經(jīng)過可行域內(nèi)的點(a，b)與點(－1，－1)的直線的斜率的取值范圍是，
所以z＝＝＋1的取值范圍是.
19．(13分)2019年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，已知該設(shè)備全年需投入固定成本2 500萬元，每生產(chǎn)x百輛新能源汽車，需另投入成本C(x)萬元，且C(x)＝由市場調(diào)研知，若每輛新能源汽車售價5萬元，則全年內(nèi)生產(chǎn)的新能源汽車當年能全部售完．
(1)求該企業(yè)2019年的利潤L(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：百輛)的函數(shù)解析式(利潤＝銷售額－成本)；
(2)2019年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．
解 (1)當01500，所以當x＝100，即2019年年產(chǎn)量為100百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為1800萬元．
20．(13分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4Sn與2an的等差中項為3(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)是否存在正整數(shù)k，使不等式k(－1)nab1；當n≥2時，bn＋1
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