(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第31練 幾何證明選講、不等式選講試題 理.docx
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第31練 幾何證明選講、不等式選講 [明晰考情] 1.命題角度:三角形及相似三角形的判定與性質(zhì);圓的相交弦定理,切割線定理;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定;含絕對值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質(zhì)求最值以及幾個重要不等式的應(yīng)用.2.題目難度:中檔難度. 考點一 三角形相似的判定及應(yīng)用 方法技巧 證明三角形相似可以結(jié)合圓的某些性質(zhì)、定理,要注意等量的代換. 1.(2016江蘇)如圖,在△ABC中,已知∠ABC=90,BD⊥AC,D為垂足,E是BC的中點,求證:∠EDC=∠ABD. 證明 在△ADB和△ABC中, 因為∠ABC=90,BD⊥AC,∠A為公共角, 所以△ADB∽△ABC, 所以∠ABD=∠C. 在Rt△BDC中,因為E是斜邊BC的中點, 所以ED=EC,從而∠EDC=∠C, 所以∠EDC=∠ABD. 2.(2017江蘇)如圖,AB為半圓O的直徑,直線PC切半圓O于點C,AP⊥PC,P為垂足. (1)求證:∠PAC=∠CAB; (2)求證:AC2=APAB. 證明 (1)因為PC切半圓O于點C, 所以∠PCA=∠CBA. 因為AB為半圓O的直徑, 所以∠ACB=90. 因為AP⊥PC,所以∠APC=90, 因此∠PAC=∠CAB. (2)由(1)知,△APC∽△ACB, 故=, 即AC2=APAB. 3.(2018蘇州模擬)如圖,AB,AC與圓O分別切于點B,C,點P為圓O上異于點B,C的任意一點,PD⊥AB于點D,PE⊥AC于點E,PF⊥BC于點F.求證:PF2=PDPE. 證明 連結(jié)PB,PC,因為∠PCF,∠PBD分別為圓弧BP上的圓周角和弦切角, 所以∠PCF=∠PBD. 因為PD⊥BD,PF⊥FC, 所以△PDB∽△PFC, 故=. 同理,∠PBF=∠PCE,又PE⊥EC,PF⊥FB, 所以△PFB∽△PEC,故=, 所以=,即PF2=PDPE. 4.如圖,AB,AC是⊙O的切線,ADE是⊙O的割線,求證:BECD=BDCE. 證明 因為AB是⊙O的切線, 所以∠ABD=∠AEB. 又因為∠BAD=∠EAB,所以△BAD∽△EAB, 所以=. 同理,=. 因為AB,AC是⊙O的切線, 所以AB=AC. 因此=, 即BECD=BDCE. 考點二 圓有關(guān)定理、性質(zhì)的應(yīng)用 方法技巧 和圓有關(guān)的計算證明問題,要靈活運用圓和三角形的性質(zhì),以目標為導(dǎo)向,根據(jù)需要找角、線段長度的關(guān)系,適時進行等量代換. 5.(2018江蘇)如圖,圓O的半徑為2,AB為圓O的直徑,P為AB延長線上一點,過P作圓O的切線,切點為C.若PC=2,求BC的長. 證明 如圖,連結(jié)OC. 因為PC與圓O相切, 所以O(shè)C⊥PC. 又因為PC=2,OC=2, 所以O(shè)P==4. 又因為OB=2,從而B為Rt△OCP斜邊的中點, 所以BC=2. 6.(2018南京模擬)如圖,CD是圓O的切線,切點為D,CA是過圓心O的割線且交圓O于點B,DA=DC,求證:CA=3CB. 證明 如圖,連結(jié)OD,因為DA=DC, 所以∠DAO=∠C. 在圓O中,AO=DO, 所以∠DAO=∠ADO, 所以∠DOC=2∠DAO=2∠C. 因為CD為圓O的切線, 所以∠ODC=90, 從而∠DOC+∠C=90, 即2∠C+∠C=90, 故∠C=30, 所以O(shè)C=2OD=2OB, 所以CB=OB,所以CA=3CB. 7.(2018蘇州模擬)如圖,圓O的直徑AB=4,C為圓周上一點,BC=2,過C作圓O的切線l,過點A作l的垂線AD,AD分別與直線l和圓O交于點D,E,求線段AE的長. 解 在Rt△ABC中,因為AB=4,BC=2, 所以∠ABC=60. 因為l為過點C的切線, 所以∠DCA=∠ABC=60. 因為AD⊥DC,所以∠DAC=30. 連結(jié)OE,在△AOE中, 因為∠EAO=∠DAC+∠CAB=60,且OE=OA, 所以AE=AO=AB=2. 8.如圖,AB切⊙O于點B,直線AO交⊙O于D,E兩點,BC⊥DE,垂足為C. (1)證明:∠CBD=∠DBA; (2)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直徑. (1)證明 因為DE為⊙O的直徑, 所以∠BED+∠EDB=90, 又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90, 從而∠CBD=∠BED. 又AB切⊙O于點B,所以∠DBA=∠BED, 所以∠CBD=∠DBA, (2)解 由(1)知BD平分∠CBA,則==3, 又BC=,從而AB=3. 所以AC==4,所以AD=3. 由切割線定理得AB2=ADAE,即AE==6, 故DE=AE-AD=3,即⊙O的直徑為3. 考點三 不等式的證明 方法技巧 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等;依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,也可以直接使用柯西不等式進行證明. 9.已知m,n是正數(shù),證明:+≥m2+n2. 證明 ∵+-m2-n2=+==, 又m,n均為正數(shù), ∴+-m2-n2=≥0, ∴+≥m2+n2. 10.設(shè)a,b,c均為正數(shù),abc=1.求證:++≥++. 證明 由a,b,c為正數(shù),根據(jù)算術(shù)—幾何平均不等式, 得+≥,+≥,+≥ . 將此三式相加,得2≥++, 即++≥++. 由abc=1,則有=1. 所以++≥++=++, 當且僅當a=b=c=1時等號成立. 11.已知a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1. 求證:≥8. 證明 要證≥8成立, 只需證≥8成立. ∵a+b+c=1, ∴只需證≥8成立,即≥8,又a,b,c>0, ∴只需證 ≥≥8成立,而≥8顯然成立, ∴≥8成立. 12.已知a,b,c都是實數(shù),求證: a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca. 證明 ∵a,b,c∈R, ∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. 將以上三個不等式相加,得 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), ① 即a2+b2+c2≥ab+bc+ca. ② 在不等式①的左右兩端同時加上a2+b2+c2,得 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2, 即a2+b2+c2≥(a+b+c)2. ③ 在不等式②的左右兩端同時加上2(ab+bc+ca),得 (a+b+c)2≥3(ab+bc+ca), 即(a+b+c)2≥ab+bc+ca. ④ 由③④得a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca. 考點四 柯西不等式 方法技巧 利用柯西不等式證明不等式或求最值時,要先根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征對式子變形,使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu). 13.(2017江蘇)已知a,b,c,d為實數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd≤8. 證明 由柯西不等式,得(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), 因為a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)2≤64,因此ac+bd≤8. 14.(2018鹽城模擬)已知正數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=2,求x2+y2+z2的最小值. 解 由柯西不等式,可得(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2, 因為x+2y+3z=2, 所以x2+y2+z2≥,當且僅當x=,y=,z=時等號成立, 所以x2+y2+z2的最小值為. 15.已知實數(shù)a,b,c滿足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,求證:-≤c≤1. 證明 因為a+2b+c=1,a2+b2+c2=1, 所以a+2b=1-c,a2+b2=1-c2. 由柯西不等式知(12+22)(a2+b2)≥(a+2b)2, 當且僅當=,即b=2a時等號成立. 即5(1-c2)≥(1-c)2,整理得3c2-c-2≤0, 解得-≤c≤1. 所以-≤c≤1. 16.(2018蘇州模擬)已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=1,若|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2對一切實數(shù)a,b,c成立,求實數(shù)x的取值范圍. 解 因為a,b,c∈R,a2+b2+c2=1, 由柯西不等式得(a-b+c)2≤(a2+b2+c2)(1+1+1)=3, 當且僅當===時等號成立. 因為|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2對一切實數(shù)a,b,c恒成立,所以|x-1|+|x+1|≥3. 當x<-1時,-2x≥3,解得x≤-; 當-1≤x≤1時,2≥3不成立; 當x>1時,2x≥3,解得x≥. 綜上,實數(shù)x的取值范圍為∪. 1.如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O外一點,且AC=AB,BC交⊙O于點D.已知BC=4,AD=6,AC交⊙O于點E,求四邊形ABDE的周長. 解 ∵AB是⊙O的直徑, ∴AD⊥BC,又∵AB=AC, ∴D為BC的中點, ∵BC=4,AD=6, ∴AB=AC=2,cos C=, 由ACCE=CDCB,得CE=,AE=, ∵DE2=CE2+CD2-2CECDcos C=4,∴DE=2. ∴四邊形ABDE的周長l=4+. 2.(2018南京、鹽城模擬)如圖,已知AB為⊙O的直徑,直線DE與⊙O相切于點E,AD垂直DE于點D,若DE=4,求切點E到直徑AB的距離. 解 如圖,過點E作EF⊥AB交AB于點F,連結(jié)AE,OE,因為直線DE與⊙O相切于點E,所以DE⊥OE,因為AD⊥DE交DE于點D,所以AD∥OE,所以∠DAE=∠OEA. ① 在⊙O中,OE=OA,所以∠OEA=∠OAE. ② 由①②得∠DAE=∠OAE,即∠DAE=∠FAE, 又∠ADE=∠AFE,AE=AE, 所以△ADE≌△AFE,所以DE=FE, 又DE=4,所以FE=4, 即點E到直徑AB的距離為4. 3.已知x,y,x均為正數(shù),求證:++≥++. 證明 ∵x,y,z都是正數(shù), ∴+=≥. 同理可得+≥,+≥. 將上述三個不等式兩邊分別相加,并除以2, 得++≥++(當且僅當x=y(tǒng)=z時,等號成立). 4.(2108江蘇七市聯(lián)考)已知a,b,c是正實數(shù),且a+b+c=5,求證:a2+2b2+c2≥10. 證明 由柯西不等式得[a2+(b)2+c2]≥(a+b+c)2, 因為a+b+c=5,所以(a2+2b2+c2)≥25. 所以a2+2b2+c2≥10, 當且僅當a=2b=c>0時取等號.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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