（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第三章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ3.1 函數(shù)及其表示講義（含解析）.docx
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3.1 函數(shù)及其表示 最新考綱 考情考向分析 1.了解函數(shù)、映射的概念． 2.了解函數(shù)的定義域、值域及三種表示法(解析法、圖象法和列表法)． 3.了解簡單的分段函數(shù)，會用分段函數(shù)解決簡單的問題. 以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域；分段函數(shù)以及函數(shù)與其他知識的綜合是高考熱點，題型既有選擇、填空題，又有解答題，中等偏上難度. 1．函數(shù)與映射 函數(shù) 映射 兩個集合A，B 設A，B是兩個非空數(shù)集 設A，B是兩個非空集合 對應關系 f：A→B 如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應 如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 函數(shù)記法 函數(shù)y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函數(shù)的有關概念 (1)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域． (3)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法． 3．分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)． 概念方法微思考 請你概括一下求函數(shù)定義域的類型？ 提示 (1)f(x)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)集合； (2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義域為使被開方式非負的實數(shù)的集合； (3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合； (4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}； (5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1； (6)正切函數(shù)y＝tanx的定義域為. 題組一 思考辨析 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)對于函數(shù)f：A→B，其值域就是集合B.( ) (2)函數(shù)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)．( √ ) (3)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等．( ) (4)函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個交點．( √ ) (5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應是從A到B的映射．( ) (6)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的．( ) 題組二 教材改編 2．[P74T7(2)]函數(shù)f(x)＝＋log2(6－x)的定義域是________． 答案 [－3,6) 3．[P25B組T1]函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對應的y值的范圍是________． 答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 題組三 易錯自糾 4．已知f(x)＝若f(a)＝2，則a的值為( ) A．2 B．－1或2 C．1或2 D．1或2 答案 B 解析 當a≥0時，2a－2＝2，解得a＝2；當a<0時，－a2＋3＝2，解得a＝－1.綜上，a的值為－1或2.故選B. 5．已知函數(shù)f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，則x0的值為______． 答案 2 解析 當x≥0時，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即x＝4，解得x0＝2.當x<0時，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－x＝4，無解，所以x0＝2. 6．若有意義，則函數(shù)y＝x2－6x＋7的值域是____________． 答案 [－1，＋∞) 解析 因為有意義，所以x－4≥0，即x≥4. 又因為y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2， 所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. 所以其值域為[－1，＋∞)． 題型一 函數(shù)的概念 1．若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是( ) 答案 B 解析 A中函數(shù)的定義域不是[－2,2]，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是[0,2]，故選B. 2．有以下判斷： ①f(x)＝與g(x)＝表示同一函數(shù)； ②f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)； ③若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝0. 其中正確判斷的序號是________． 答案?、? 解析 對于①，由于函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x∈R且x≠0}，而函數(shù)g(x)＝的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)，故①不正確；對于②，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應關系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)，故②正確； 對于③，由于f＝－＝0， 所以f＝f(0)＝1，故③不正確． 綜上可知，正確的判斷是②. 思維升華函數(shù)的值域可由定義域和對應關系唯一確定；當且僅當定義域和對應關系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)．值得注意的是，函數(shù)的對應關系是就結果而言的(判斷兩個函數(shù)的對應關系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應關系算出的函數(shù)值是否相同)． 題型二 函數(shù)的定義域問題 命題點1 求函數(shù)的定義域 例1 (1)(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝lg (1－)的定義域為( ) A．(2,3) B．(2,3] C．[2,3) D．[2,3] 答案 C 解析 由得2≤x＜3，所以函數(shù)f(x)＝lg(1－)的定義域為[2,3)，故選C. (2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2 018]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是( ) A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017] C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018] 答案 B 解析 使函數(shù)f(x＋1)有意義，則0≤x＋1≤2018，解得－1≤x≤2017，故函數(shù)f(x＋1)的定義域為[－1，2 017]．所以函數(shù)g(x)有意義的條件是解得－1≤x＜1或1＜x≤2017.故函數(shù)g(x)的定義域為[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究 本例(2)中，若將“函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0,2 018]”，改為“函數(shù)f(x－1)的定義域為[0,2 018]，”則函數(shù)g(x)＝的定義域為________________． 答案 [－2,1)∪(1,2 016] 解析 由函數(shù)f(x－1)的定義域為[0,2 018]． 得函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－1,2 017]， 令則－2≤x≤2016且x≠1. 所以函數(shù)g(x)的定義域為[－2,1)∪(1,2 016]． 命題點2 已知函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍 例2 (1)若函數(shù)y＝的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 要使函數(shù)的定義域為R，則mx2＋4mx＋3≠0恒成立， ①當m＝0時，顯然滿足條件； ②當m≠0時，由Δ＝(4m)2－4m3＜0，得0＜m＜， 由①②得0≤m＜. (2)若函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|1≤x≤2}，則a＋b的值為________． 答案?。? 解析 函數(shù)f(x)的定義域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集為{x|1≤x≤2}， 所以解得 所以a＋b＝－－3＝－. 思維升華(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時可借助于數(shù)軸，要特別注意端點值的取舍． (2)求抽象函數(shù)的定義域 ①若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a
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