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考點(diǎn)測(cè)試33 一元二次不等式及其解法
高考概覽
考綱研讀
1．會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型
2．通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系
3．會(huì)解一元二次不等式
一、基礎(chǔ)小題
1．不等式2x2－x－3＞0的解集是( )
A．－，1
B．(－∞，－1)∪，＋∞
C．－1，
D．－∞，－∪(1，＋∞)
答案 B
解析 2x2－x－3＞0可因式分解為(x＋1)(2x－3)＞0，解得x＞或x＜－1，∴不等式2x2－x－3＞0的解集是(－∞，－1)∪，＋∞．故選B．
2．若不等式ax2＋bx－2<0的解集為，則ab＝( )
A．－28 B．－26 C．28 D．26
答案 C
解析 ∵－2，是方程ax2＋bx－2＝0的兩根，
∴∴∴ab＝28．
3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．[－4,4] B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4．故選D．
4．關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 由x2－2ax－8a2＝0的兩個(gè)根為x1＝－2a，x2＝4a，得6a＝15，所以a＝．
5．若函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A．{k|0＜k≤1} B．{k|k＜0或k＞1}
C．{k|0≤k≤1} D．{k|k＞1}
答案 C
解析 當(dāng)k＝0時(shí)，8＞0恒成立；當(dāng)k≠0時(shí)，只需即則0＜k≤1．綜上，0≤k≤1．
6．不等式|x2－x|<2的解集為( )
A．(－1,2) B．(－1,1) C．(－2,1) D．(－2,2)
答案 A
解析 由|x2－x|<2，得－2
320，即x2－28x＋192<0，解得120時(shí)，f(x)＝－2≤1顯然成立，故不等式的解集為[－3，－1]∪(0，＋∞)．
10．設(shè)a∈R，關(guān)于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0的解集有下列四個(gè)命題：
①原不等式的解集不可能為?；②若a＝0，則原不等式的解集為(2，＋∞)；③若a<－，則原不等式的解集為；④若a>0，則原不等式的解集為－∞，－∪(2，＋∞)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 原不等式等價(jià)于(ax＋1)(x－2)>0．當(dāng)a＝0時(shí)，不等式化為x－2>0，得x>2．當(dāng)a≠0時(shí)，方程(ax＋1)(x－2)＝0的兩根分別是2和－，若a<－，解不等式得－0，解不等式得x<－或x>2．故①為假命題，②③④為真命題．
11．若不等式－3≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，則a的值是( )
A．2或－1 B．
C． D．2
答案 A
解析 令f(x)＝x2－2ax＋a，即f(x)＝(x－a)2＋a－a2，因?yàn)椋?≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，所以a－a2＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1．故選A．
12．已知三個(gè)不等式：①x2－4x＋3<0，②x2－6x＋8<0，③2x2－9x＋m<0．要使同時(shí)滿足①②的所有x的值滿足③，則m的取值范圍為________．
答案 m≤9
解析 由①②得29
答案 C
解析 由得
解得則有f(－1)＝c－6，由00的解集為________(用區(qū)間表示)．
答案 (－4,1)
解析 不等式－x2－3x＋4>0等價(jià)于x2＋3x－4<0，解得－40的解集為{x|－30的解集為( )
A．x－＜x＜－
B．xx＞－或x＜－
C．{x|－3＜x＜2}
D．{x|x＜－3或x＞2}
答案 A
解析 由題意得解得a＝－1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a＞0為－6x2－5x－1＞0，即(3x＋1)(2x＋1)＜0，所以解集為x－＜x＜－．故選A．
18．(2018貴陽(yáng)一模)已知函數(shù)f(x)＝ln (x2－4x－a)，若對(duì)任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
答案 D
解析 依題意得函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，令函數(shù)g(x)＝x2－4x－a，則函數(shù)g(x)的值域取遍一切正實(shí)數(shù)，因此對(duì)方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4．故選D．
19．(2018湖南湘潭一中模擬)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．－∞，－ D．－∞，－∪(1，＋∞)
答案 C
解析?、佼?dāng)m＝－1時(shí)，不等式化為2x－6<0，即x<3，顯然不對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立．②當(dāng)m≠－1時(shí)，由題意得所以m<－．故選C．
20．(2018河北石家莊二中月考)在R上定義運(yùn)算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，則滿足x☆(x－2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
答案 B
解析 根據(jù)定義得x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－20，所以將不等式變形為m<，即不等式m<對(duì)于任意x∈[1,3]恒成立，所以只需求在[1,3]上的最小值即可．記g(x)＝，x∈[1,3]，記h(x)＝x2－x＋1＝x－2＋，顯然h(x)在x∈[1,3]上為增函數(shù)．所以g(x)在[1,3]上為減函數(shù)，所以g(x)min＝g(3)＝，所以m<．故選A．
22．(2018江西八校聯(lián)考)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，且y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(2x－1)－f(x＋1)>0的解集為( )
A．－∞，－∪(2，＋∞)
B．－，2
C．－∞，∪(2，＋∞)
D．，2
答案 D
解析 ∵y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，∴y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱．又∵f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，∴由f(2x－1)－f(x＋1)>0得f(2x－1)>f(x＋1)，∴|2x－1－2|<|x＋1－2|，∴(2x－3)2<(x－1)2，即3x2－10x＋8<0，(x－2)(3x－4)<0，解得0，
即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，
所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的條件下，
因?yàn)椋剑絤－2，
所以＋＝2－
＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.
得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.
所以m的取值范圍是{m|00時(shí)，解關(guān)于x的不等式：ax2＋n＋1>(m＋1)x＋2ax；
(2)是否存在實(shí)數(shù)a∈(0，1)，使得關(guān)于x的函數(shù)y＝f(ax)－3ax＋1(x∈[1，2])的最小值為－5？若存在，求實(shí)數(shù)a的值；若不存在，說明理由．
解 (1)由不等式mx2－2x－3≤0的解集為[－1，n]知關(guān)于x的方程mx2－2x－3＝0的兩根為－1和n，
且m>0，由根與系數(shù)關(guān)系得
解得所以原不等式化為(x－2)(ax－2)>0.
①當(dāng)00且2<，解得x<2或x>；
②當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式化為(x－2)2>0，解得x∈R且x≠2；
③當(dāng)a>1時(shí)，原不等式化為(x－2)x－>0且2>，解得x<或x>2；
綜上所述，當(dāng)01時(shí)，原不等式的解集為x.
(2)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，由(1)得m＝1，
f(x)＝x2－2x－3，
y＝f(ax)－3ax＋1＝a2x－(3a＋2)ax－3，
令ax＝t(a2≤t≤a)，則y＝t2－(3a＋2)t－3(a2≤t≤a)，對(duì)稱軸為t＝，因?yàn)閍∈(0，1)，
所以a2
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第五章
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