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專題02 三角函數(shù)問題 1．（2017新課標(biāo)全國Ⅰ理科）已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是 A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)圖象變換問題，首先要將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù)，利用誘導(dǎo)公式，需要重點(diǎn)記??；另外，在進(jìn)行圖象變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中也經(jīng)常出現(xiàn)，無論哪種變換，記住每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言. 2．（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A．的一個(gè)周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．在(,)單調(diào)遞減 【答案】D 【解析】函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的周期為，取，可得函數(shù)的一個(gè)周期為，選項(xiàng)A正確； 函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，即，取，可得y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，選項(xiàng)B正確； ，函數(shù)的零點(diǎn)滿足，即，取，可得的一個(gè)零點(diǎn)為，選項(xiàng)C正確； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 故選D. 【名師點(diǎn)睛】（1）求最小正周期時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為或的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為或的形式. （2）求的對(duì)稱軸，只需令，求x；求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令即可. 3．（2018新課標(biāo)全國Ⅲ理科）函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 【答案】 【解析】，，由題可知，或，解得,或，故有3個(gè)零點(diǎn). 4．（2017新課標(biāo)全國Ⅱ理科）函數(shù)()的最大值是 . 【答案】1 1．三角函數(shù)的基本概念、三角恒等變換及相關(guān)計(jì)算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用一般在選擇題、填空題中進(jìn)行考查，解答題中則結(jié)合三角恒等變換等其他知識(shí)，重點(diǎn)考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用. 2．此部分內(nèi)容在解答題中可能連續(xù)考查，也可能隔年考查，沒有什么規(guī)律，雖然結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)比較多，但一般難度不大. 指點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖象變換 三角函數(shù)的圖象變換有兩種方法： 注意是先平移變換，還是先伸縮變換，但無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個(gè)單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)閤|φ|，而不是ωx變?yōu)棣豿|φ|. 【例1】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是 A． B． C． D． 【答案】C 指點(diǎn)2：確定三角函數(shù)的解析式 1．由函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象確定A，ω，φ的題型，常常以“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)“零點(diǎn)”和第二個(gè)“零點(diǎn)”的位置．要善于抓住特殊量和特殊點(diǎn)． 2．結(jié)合圖象及性質(zhì)求解析式y(tǒng)=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 （1）求A，B，已知函數(shù)的最大值M和最小值m，則. （2）求ω，已知函數(shù)的周期T，則. （3）求φ，常用方法有： ①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)，A，ω，B已知)． ②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，具體如下： “第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)中距原點(diǎn)最近的交點(diǎn))為ωx＋φ=0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ=；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ=π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為ωx＋φ=；“第五點(diǎn)”為ωx＋φ=2π. 【例2】函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為 A． B． C． D． 【答案】D 【例3】若函數(shù) 的部分圖象如下圖所示. （1）求函數(shù)的解析式； （2）設(shè)，且，求的值. 【解析】（1）由圖得，． 由，解得， 于是由T=，得． ∵ ，即， ∴ ，k∈Z，即，k∈Z， 又，所以，即． （2）由已知，即， ∵，∴， ∴ ． ∴ = ． 指點(diǎn)3：三角函數(shù)的性質(zhì) 以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的相關(guān)性質(zhì)，如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等. 1．求三角函數(shù)的最值或值域時(shí)，可以利用三角恒等變換化為y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求解.若最高次為二次，則可利用二次函數(shù)求最值或值域的方法求解.但用此方法時(shí)需注意定義域的限制. 2．求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)時(shí)，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解． 【例4】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心完全重合，則函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（其中且，由得，則函數(shù)的對(duì)稱中心為，又的對(duì)稱中心為，∴，則， ， ，∴,由，得，則函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，故選A． 【例5】已知. （1）當(dāng)時(shí)，求的值域； （2）若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得圖象恰與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. （2）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象， 則， 設(shè)點(diǎn)是圖象上任意一點(diǎn)， 則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在的圖象上， 所以. 所以當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是. 1．已知，則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴， ∴，故選D． 2．把函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，且兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為，則的解析式為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易得， 若的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為，則周期，所以， 若為奇函數(shù)，則，即， 又因?yàn)?，所以? 則，故選B． 3．設(shè)函數(shù)，，其中，．若，，且的最小正周期大于，則 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由題意得，其中，所以， 又，所以， 所以， ，由得，故選A． 4．函數(shù)的最大值是__________． 【答案】 【解析】因?yàn)椋? 所以 即最大值是. 5．已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （2）若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，求. 【解析】（1）. 由，， 得，. ∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.