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壓軸小題組合練(C) 1.已知函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋3tx＋c的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，m)，則m＋t等于(　　) A.4B.5C.6D.7 答案　C 解析　由f(x)＝x3－6x2＋3tx＋c得f′(x)＝3x2－12x＋3t.因為函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋3tx＋c的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，m)，所以不等式x2－4x＋t<0的解集為(1，m)，所以1，m是方程x2－4x＋t＝0的兩個實數(shù)根，所以1＋m＝4，即m＝3，t＝1m＝3，所以m＋t＝6. 2.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為(　　) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－，1,3} D.{－2－，1,3} 答案　D 解析　當x≥0時，g(x)＝x2－4x＋3， 由g(x)＝0，得x＝1或x＝3. 當x＜0時，g(x)＝－x2－4x＋3， 由g(x)＝0，得x＝－2＋(舍)或x＝－2－. 所以g(x)的零點的集合為{－2－，1,3}. 3.在Rt△ABC中，CA＝4, CB＝3, M, N是斜邊AB上的兩個動點，且MN＝2，則的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　以C為坐標原點，CA, CB所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(4,0)，B(0,3), lAB：y＝3－x，設(shè)M，N，假設(shè)a0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l過點F2且與雙曲線有且只有一個交點，直線l與一條漸近線交于點P，且∠PF2F1＝2∠PF1F2，則雙曲線的離心率為(　　) A.B.2C.D.3 答案　B 解析　如圖，設(shè)∠PF1F2＝θ，則∠PF2F1＝2θ，由題意知，直線l與一條漸近線平行， 所以∠POF2＝∠PF2O＝2θ，所以|OP|＝|PF2|，又∠POF2＝∠PF1O＋∠OPF1，所以∠OPF1＝∠OF1P＝θ，所以|OP|＝|OF1|＝c，又|OF2|＝c，所以|OP|＝|OF2|＝c，故△POF2為正三角形， 所以2θ＝，即θ＝， 所以＝tan2θ＝，所以e＝＝2，故選B. 6.(2018江西省南昌八校聯(lián)考)已知AB是平面α的斜線段，A為斜足，若AB與平面α成60角，過定點B的動直線l與斜線AB成60角，且交α于點P，則動點P的軌跡是(　　) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 答案　D 解析　過定點B的動直線l與AB所成的角為60，則直線l的軌跡是以AB為軸的圓錐， 又因為直線AB與平面α所成的角為60，可得存在一條直線l∥平面α， 即平面α與圓錐的一條母線平行， 由平面α截圓錐的表面所得的軌跡為一個拋物線，即點P的軌跡為拋物線. 7.如圖，AB∩α＝B，直線AB與平面α所成的角為75，點A是直線AB上一定點，動直線AP與平面α交于點P，且滿足∠PAB＝45，則點P在平面α內(nèi)的軌跡是(　　) A.雙曲線的一支 B.拋物線的一部分 C.圓 D.橢圓 答案　D 解析　用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線. 此題中平面α上的動點P滿足∠PAB＝45，可理解為P在以AB為軸的圓錐的側(cè)面上，再由斜線段AB與平面α所成的角為75，可知P的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義.故可知動點P的軌跡是橢圓. 8.(2017全國Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A.3 B.2 C. D.2 答案　A 解析　建立如圖所示的平面直角坐標系，則C點坐標為(2,1). 設(shè)BD與圓C切于點E， 連接CE，則CE⊥BD. ∵CD＝1，BC＝2， ∴BD＝＝， EC＝＝＝， 即圓C的半徑為， ∴P點的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝. 設(shè)P(x0，y0)，則(θ為參數(shù))， 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0). ∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝x0＝1＋cosθ，λ＝y(tǒng)0＝1＋sinθ. 兩式相加，得 λ＋μ＝1＋sinθ＋1＋cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3， 當且僅當θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3. 故選A. 9.(2018西安質(zhì)檢)已知橢圓＋y2＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，在長軸A1A2上任取一點M，過M作垂直于A1A2的直線交橢圓于P，則使得≤0的M點的概率為 (　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　因為橢圓方程為＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1，即c＝. 設(shè)P(x0，y0)，其中y0>0，則當∠F1PF2＝90時， ＝2y0＝b2tan＝tan＝1，所以y0＝.把y0＝代入橢圓方程可得x0＝.由≤0，可得∠F1PF2≥90. 所以使得≤0的M點的概率為 P＝＝＝. 10.(2018北京朝陽區(qū)模擬)某學校舉辦科技節(jié)活動，有甲、乙、丙、丁四個團隊參加“智能機器人”項目比賽，該項目只設(shè)置一個一等獎.在評獎揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學對這四個參賽團隊的獲獎結(jié)果預測如下： 小張說：“甲或乙團隊獲得一等獎”；小王說：“丁團隊獲得一等獎”；小李說：“乙、丙兩個團隊均未獲得一等獎”；小趙說：“甲團隊獲得一等獎”. 若這四位同學中只有兩位預測結(jié)果是對的，則獲得一等獎的團隊是(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案　D 解析?、偃艏撰@得一等獎，則小張、小李、小趙的預測都正確，與題意不符； ②若乙獲得一等獎，則只有小張的預測正確，與題意不符； ③若丙獲得一等獎，則四人的預測都錯誤，與題意不符； ④若丁獲得一等獎，則小王、小李的預測正確，小張、小趙的預測錯誤，符合題意，故選D. 11.在平面直角坐標系中，定義d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|為兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)之間的“折線距離”.則下列命題中： ①若A(－1,3)，B(1,0)，則有d(A，B)＝5； ②到原點的“折線距離”等于1的所有點的集合是一個圓； ③若C點在線段AB上，則有d(A，C)＋d(C，B)＝d(A，B)； ④到M(－1,0)，N(1,0)兩點的“折線距離”相等的點的軌跡是直線x＝0. 真命題的個數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　由題意①中d(A，B)＝|－1－1|＋|3－0|＝5，所以①對；②中設(shè)P(x，y)，d(P，O)＝|x－0|＋|y－0|＝1，即|x|＋|y|＝1，是一個正方形，②錯；③中，由于C點在線段AB上，由絕對值的幾何意義可知，d(A，C)＋d(C，B)＝d(A，B)，所以③對；④中，設(shè)動點P(x，y)，則d(M，P)＝d(N，P)，即|x＋1|＋|y|＝|x－1|＋|y|，解得x＝0，所以④對. 12.若直角坐標平面內(nèi)兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上；②P，Q關(guān)于原點對稱，則稱(P，Q)是函數(shù)y＝f(x)的一個“伙伴點組”(點組(P，Q)與(Q，P)看作同一個“伙伴點組”).已知函數(shù)f(x)＝有兩個“伙伴點組”，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A.(－∞，0) B.(0,1) C. D.(0，＋∞) 答案　B 解析　根據(jù)題意可知，“伙伴點組”滿足兩點：都在函數(shù)圖象上，且關(guān)于坐標原點對稱. 可作出函數(shù)y＝－ln(－x)(x<0)關(guān)于原點對稱的函數(shù)y＝lnx(x>0)的圖象， 使它與函數(shù)y＝kx－1(x>0)圖象的交點個數(shù)為2個即可. 設(shè)切點為(m，lnm)，y＝lnx的導數(shù)為y′＝， 可得km－1＝lnm，k＝，解得m＝1，k＝1， 可得函數(shù)y＝lnx(x>0)過點(1,0)的切線斜率為1， 結(jié)合圖象可知k∈(0,1)時有兩個交點，符合題意. 13.已知點A，B分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右頂點，點P是雙曲線C上異于A，B的另外一點，且△ABP是頂角為120的等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程為________. 答案　xy＝0 解析　如圖所示，過點P作PC⊥x軸，因為|AB|＝|PB|＝2a，∠PBC＝60，所以|BC|＝a，yP＝|PC|＝a，點P(2a，a)，將P代入－＝1中，得a＝b，所以其漸近線方程為xy＝0. 14.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1＝1,3Sn＝(n＋2)an，則＋＋＋…＋的值是________. 答案　 解析　∵3Sn＝(n＋2)an， ∴當n≥2時，3Sn－1＝(n＋1)an－1， ∴3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1， ∴＝， ∴an＝a1…＝1…＝(n≥2)，當n＝1時，＝1＝a1滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n∈N*)，＝＝2，∴＋＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝. 15.在半徑為2的球面上有不同的四點A，B，C，D，若AB＝AC＝AD＝2，則平面BCD被球所截得圖形的面積為________. 答案　3π 解析　過點A向平面BCD作垂線，垂足為M，則M是△BCD的外心，而外接球球心O位于直線AM上，連接BM，設(shè)△BCD所在截面圓半徑為r，∵OA＝OB＝2＝AB， ∴∠BAO＝60， 在Rt△ABM中，r＝2sin60＝， ∴所求面積S＝πr2＝3π. 16.已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，則a的取值范圍是________. 答案　[－2,2] 解析　作出f(x)的圖象如圖所示，當y＝的圖象經(jīng)過點(0,2)時，可知a＝2.當y＝＋a的圖象與y＝x＋的圖象相切時，由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，并結(jié)合圖象可得a＝2. 要使f(x)≥在R上恒成立，只需f(0)≥|a|，當a≤0時，需滿足－a≤2，即－2≤a≤0；當a>0時，需滿足a≤2，所以－2≤a≤2.