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專題強化三 帶電粒子在疊加場和組合場中的運動
命題點一 帶電粒子在疊加場中的運動
1.帶電粒子在疊加場中無約束情況下的運動
(1)洛倫茲力、重力并存
①若重力和洛倫茲力平衡,則帶電粒子做勻速直線運動.
②若重力和洛倫茲力不平衡,則帶電粒子將做復(fù)雜的曲線運動,因洛倫茲力不做功,故機械能守恒,可由此求解問題.
(2)電場力、洛倫茲力并存(不計重力的微觀粒子)
①若電場力和洛倫茲力平衡,則帶電粒子做勻速直線運動.
②若電場力和洛倫茲力不平衡,則帶電粒子將做復(fù)雜的曲線運動,因洛倫茲力不做功,可用動能定理求解問題.
(3)電場力、洛倫茲力、重力并存
①若三力平衡,一定做勻速直線運動.
②若重力與電場力平衡,一定做勻速圓周運動.
③若合力不為零且與速度方向不垂直,將做復(fù)雜的曲線運動,因洛倫茲力不做功,可用能量守恒定律或動能定理求解問題.
2.帶電粒子在疊加場中有約束情況下的運動
帶電粒子在疊加場中受輕桿、輕繩、圓環(huán)、軌道等約束的情況下,常見的運動形式有直線運動和圓周運動,此時解題要通過受力分析明確變力、恒力做功情況,并注意洛倫茲力不做功的特點,運用動能定理、能量守恒定律結(jié)合牛頓運動定律求解.
例1 如圖1,在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy,其第一象限存在著正交的勻強電場和勻強磁場,電場強度的方向水平向右,磁感應(yīng)強度的方向垂直紙面向里.一帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的微粒從原點出發(fā),沿與x軸正方向的夾角為45的初速度進(jìn)入復(fù)合場中,正好做直線運動,當(dāng)微粒運動到A(l,l)時,電場方向突然變?yōu)樨Q直向上(不計電場變化的時間),粒子繼續(xù)運動一段時間后,正好垂直于y軸穿出復(fù)合場.不計一切阻力,求:
圖1
(1)電場強度E的大??;
(2)磁感應(yīng)強度B的大?。?
(3)微粒在復(fù)合場中的運動時間.
答案 (1) (2) (3)(+1)
解析 (1)微粒到達(dá)A(l,l)之前做勻速直線運動,對微粒受力分析如圖甲:
所以,Eq=mg,得:E=
(2)由平衡條件:qvB=mg
電場方向變化后,微粒所受重力與電場力平衡,微粒在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動,軌跡如圖乙:qvB=m
由幾何知識可得:r=l
聯(lián)立解得:v=,
B=
(3)微粒做勻速直線運動的時間:t1==
做勻速圓周運動的時間:t2==
在復(fù)合場中的運動時間:t=t1+t2=(+1).
變式1 如圖2,空間某區(qū)域存在勻強電場和勻強磁場,電場方向豎直向上(與紙面平行),磁場方向垂直于紙面向里,三個帶正電的微粒a、b、c電荷量相等,質(zhì)量分別為ma、mb、mc,已知在該區(qū)域內(nèi),a在紙面內(nèi)做勻速圓周運動,b在紙面內(nèi)向右做勻速直線運動,c在紙面內(nèi)向左做勻速直線運動.下列選項正確的是( )
圖2
A.ma>mb>mc B.mb>ma>mc
C.mc>ma>mb D.mc>mb>ma
答案 B
解析 設(shè)三個微粒的電荷量均為q,
a在紙面內(nèi)做勻速圓周運動,說明洛倫茲力提供向心力,重力與電場力平衡,即
mag=qE①
b在紙面內(nèi)向右做勻速直線運動,三力平衡,則
mbg=qE+qvB②
c在紙面內(nèi)向左做勻速直線運動,三力平衡,則
mcg+qvB=qE③
比較①②③式得:mb>ma>mc,選項B正確.
變式2 (2019屆效實中學(xué)期中)一帶電液滴在互相垂直的勻強電場和勻強磁場中做半徑為R的圓周運動,如圖3所示,已知電場強度為E,方向豎直向下,磁感應(yīng)強度為B,方向水平(圖中垂直紙面向里),重力加速度為g.運動中液滴所受浮力、空氣阻力都不計,求:
圖3
(1)液滴是順時針運動還是逆時針運動;
(2)液滴運動的速度多大;
(3)若液滴運動到最低點A時分裂成兩個完全相同的液滴,其中一個仍在原平面內(nèi)做半徑R1=3R的圓周運動,繞行方向不變,且圓周的最低點仍是A點,則另一個液滴怎樣運動?
答案 見解析
解析 (1)、(2)帶電液滴所受電場力向上且與重力平衡,知液滴帶負(fù)電,液滴所受洛倫茲力提供向心力,由左手定則結(jié)合題圖知液滴順時針運動.
即Eq=mg,qvB=m
解得v=
(3)分裂后的液滴電荷量、質(zhì)量均減半,電場力與重力仍平衡,依據(jù)上面運算可得,分裂后第一個液滴的繞行速度大小v1===3v,方向向左.
分裂后第二個液滴的速度設(shè)為v2,分裂前后水平方向動量守恒,以液滴分裂前的速度方向為正方向
mv=mv1+mv2,解得v2=-v
即分裂后第二個液滴速度大小為v,方向向右,所受電場力與重力仍平衡,在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動,繞行方向為順時針,A點是圓周最高點,圓周半徑R2=R.
命題點二 帶電粒子在組合場中的運動
1.帶電粒子在組合場中運動的分析思路
第1步:分階段(分過程)按照時間順序和進(jìn)入不同的區(qū)域分成幾個不同的階段;
第2步:受力分析和運動分析,主要涉及兩種典型運動,如下:
←←←→→→
第3步:用規(guī)律
→→→→
→
2.解題步驟
(1)找關(guān)鍵點:確定帶電粒子在場區(qū)邊界的速度(包括大小和方向)是解決該類問題的關(guān)鍵.
(2)畫運動軌跡:根據(jù)受力分析和運動分析,大致畫出粒子的運動軌跡圖,有利于形象、直觀地解決問題.
模型1 磁場與磁場組合
例2 人類研究磁場的目的之一是通過磁場控制帶電粒子的運動.如圖4所示是通過磁場控制帶電粒子運動的一種模型.在0≤x<d和d
0)的粒子,其速率有兩種,分別為v1=、v2=.(不考慮粒子的重力以及粒子之間的相互作用)
圖4
(1)求兩種速率的粒子在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中做圓周運動的半徑R1和R2.
(2)求兩種速率的粒子從x=2d的邊界射出時,兩出射點的距離Δy的大?。?
(3)在x>2d的區(qū)域添加另一勻強磁場,使得從x=2d邊界射出的兩束粒子最終匯聚成一束,并平行y軸正方向運動.在圖中用實線畫出粒子的大致運動軌跡(無需通過計算說明),用虛線畫出所添加磁場的邊界線.
答案 (1)d 2d (2)4(-1)d (3)見解析圖
解析 (1)根據(jù)qvB=m可得:R=
又因為粒子速率有兩種,分別為:v1=,v2=
解得:R1=d,R2=2d
(2)圖甲為某一速率的粒子運動的軌跡示意圖,
輔助線如圖所示,根據(jù)幾何關(guān)系可知:
速率為v1的粒子射出x=2d邊界時的縱坐標(biāo)為:y1=2(R1-)=d
速率為v2的粒子射出x=2d邊界時的縱坐標(biāo)為:y2=2(R2-)=2(2-)d
聯(lián)立可得兩出射點距離的大?。害=y(tǒng)1-y2=4(-1)d
(3)兩個粒子運動軌跡如圖乙中實線所示,磁場邊界如圖中傾斜虛線所示,可以使得從x=2d邊界射出的兩束粒子最終匯聚成一束,并平行y軸正方向運動.
模型2 電場與磁場組合
例3 (2016浙江4月選考22)如圖5為離子探測裝置示意圖.區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ長均為L=
0.10m,高均為H=0.06m.區(qū)域Ⅰ可加方向豎直向下、電場強度為E的勻強電場;區(qū)域Ⅱ可加方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場,區(qū)域Ⅱ的右端緊貼著可探測帶電粒子位置的豎直屏.質(zhì)子束沿兩板正中間以速度v=1.0105m/s水平射入,質(zhì)子荷質(zhì)比近似為=1.0108C/kg.(忽略邊界效應(yīng),不計重力)
圖5
(1)當(dāng)區(qū)域Ⅰ加電場、區(qū)域Ⅱ不加磁場時,求能在屏上探測到質(zhì)子束的外加電場的最大值Emax;
(2)當(dāng)區(qū)域Ⅰ不加電場、區(qū)域Ⅱ加磁場時,求能在屏上探測到質(zhì)子束的外加磁場的最大值Bmax;
(3)若區(qū)域Ⅰ加電場E小于(1)中的Emax,質(zhì)子束進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ和離開區(qū)域Ⅱ的位置等高,求區(qū)域Ⅱ中的磁場B與區(qū)域Ⅰ中的電場E之間的關(guān)系式.
答案 (1)200V/m (2)5.510-3T (3)B=
解析 (1)質(zhì)子在電場中做類平拋運動
vy=at=,tanα==
質(zhì)子恰好能到達(dá)區(qū)域Ⅱ右下端時,外加電場最大,
此時有tanα=,得Emax==200V/m.
(2)質(zhì)子在磁場中運動有qvB=m,即R=
根據(jù)幾何關(guān)系有:R2-(R-)2=L2時,外加磁場最大
得Bmax=≈5.510-3T.
(3)質(zhì)子運動軌跡如圖所示.
設(shè)質(zhì)子進(jìn)入磁場時的速率為v′,則
sinα====
由幾何關(guān)系知sinα===,得B=.
變式3 (2017浙江4月選考23)如圖6所示,在xOy平面內(nèi),有一電子源持續(xù)不斷地沿x軸正方向每秒發(fā)射出N個速率均為v的電子,形成寬為2b、在y軸方向均勻分布且關(guān)于x軸對稱的電子流.電子流沿x方向射入一個半徑為R、中心位于原點O的圓形勻強磁場區(qū)域,磁場方向垂直xOy平面向里,電子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后均從P點射出,在磁場區(qū)域的正下方有一對平行于x軸的金屬平行板K和A,其中K板與P點的距離為d,中間開有寬度為2l且關(guān)于y軸對稱的小孔.K板接地,A與K兩板間加有正負(fù)、大小均可調(diào)的電壓UAK,穿過K板小孔到達(dá)A板的所有電子被收集且導(dǎo)出,從而形成電流.已知b=R,d=l,電子質(zhì)量為m,電荷量為e,忽略電子間的相互作用.
圖6
(1)求磁感應(yīng)強度B的大??;
(2)求電子從P點射出時與負(fù)y軸方向的夾角θ的范圍;
(3)當(dāng)UAK=0時,每秒經(jīng)過極板K上的小孔到達(dá)極板A的電子數(shù);
(4)畫出電流i隨UAK變化的關(guān)系曲線.
答案 見解析
解析 軌跡示意圖
(1)“磁聚焦”模型要求:R=,解得B=.
(2)b=R,由幾何關(guān)系知:
θ在關(guān)于y軸左、右對稱的60(含)范圍內(nèi).
(3)要進(jìn)入小孔,電子到達(dá)P點時與y軸負(fù)方向的夾角φ≤45
則:==≤
則當(dāng)UAK=0時每秒到達(dá)A板的電子數(shù):N0=N.
(4)①當(dāng)UAK≥0時,進(jìn)入小孔的電子全部能到A板
i1=N0e=Ne
②設(shè)當(dāng)UAK=U1時,φ1=45對應(yīng)的電子剛好到達(dá)A板
則eU1=0-m(vcosφ1)2,解得UAK=-
即在區(qū)間(-,0)之間,i2=N0e=Ne
③當(dāng)UAK反向繼續(xù)增大時,將出現(xiàn)有電子(該臨界角度為α)
剛好打到A板上,而φ>α的電子打不到A板
i=Ne,eUAK=0-m(vcosα)2
解得:i=Ne.
i=0時,UAK=-.
綜上所述:i-UAK圖線如圖所示
變式4 如圖7所示,O′PQ是關(guān)于y軸對稱的四分之一圓,在PQNM區(qū)域有均勻輻向電場,PQ與MN間的電壓為U.一初速度為零的帶正電的粒子從PQ上的任一位置經(jīng)電場加速后都會從O′進(jìn)入半徑為R、中心位于坐標(biāo)原點O的圓形勻強磁場區(qū)域,磁場方向垂直xOy平面向外,大小為B,粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后都能平行于x軸射出.在磁場區(qū)域右側(cè)有一對平行于x軸且到x軸距離都為R的金屬平行板A和K,金屬板長均為4R,其中K板接地,A與K兩板間加有電壓UAK>0,忽略極板電場的邊緣效應(yīng),不計重力.已知金屬平行板左端連線與磁場圓相切,O′在y軸上.
圖7
(1)求帶電粒子的比荷;
(2)求帶電粒子進(jìn)入右側(cè)電場時的縱坐標(biāo)范圍;
(3)若無論帶電粒子從PQ上哪個位置出發(fā)都能打到K板上,則電壓UAK至少為多大?
答案 (1) (2)-R~R (3)U
解析 (1)由動能定理可知qU=mv2
由已知條件可知,帶電粒子在磁場中運動的半徑R0=R
洛倫茲力提供粒子在磁場中做圓周運動的向心力,
qvB=m.聯(lián)立解得=
(2)如圖,沿QN方向入射的帶電粒子,在磁場中做圓周運動的圓心為O1,由幾何關(guān)系知,對應(yīng)的圓心角為135,離開磁場的出射點a在y軸上的投影與O′的距離為
Δy=R+R
a點的縱坐標(biāo)ya=R
同理可得,沿PM方向入射的帶電粒子離開磁場的出射點b的縱坐標(biāo)yb=-R
故帶電粒子進(jìn)入右側(cè)電場時的縱坐標(biāo)范圍為:
-R~R
(3)只要沿QN方向入射的帶電粒子能打在K板上,則從其他位置入射的粒子也一定打在K板上,則在電場中
E=
F=qE=ma
Δy=R+R=at2
應(yīng)滿足4R≥vt
解得UAK≥U.
1.如圖1甲所示,水平放置的平行金屬板M、N之間存在豎直向上的勻強電場和垂直于紙面的交變磁場(如圖乙所示,垂直紙面向里為正),磁感應(yīng)強度B0=50 T,已知兩板間距離d=0.3 m,電場強度E=50 V/m,M板中心有一小孔P,在P正上方h=5 cm處的O點,一帶電油滴自由下落,穿過小孔后進(jìn)入兩板間,若油滴在t=0時刻進(jìn)入兩板間,最后恰好從N板邊緣水平飛出.已知油滴的質(zhì)量m=10-4 kg,電荷量q=+210-5C(不計空氣阻力,重力加速度g取10 m/s2,取π=3).求:
圖1
(1)油滴在P點的速度大??;
(2)N板的長度;
(3)交變磁場的變化周期.
答案 (1)1m/s (2)0.6m (3)0.3s
解析 (1)由機械能守恒定律,得mgh=mv2
解得v=1m/s
(2)進(jìn)入場區(qū)時,因為mg=10-3N,方向向下,
而Eq=10-3N,方向向上.
所以,重力與電場力平衡,油滴做勻速圓周運動,
所以B0qv=
解得R=0.1m
因d=0.3m,則若使油滴從N板邊緣水平飛出,需在場內(nèi)做三次圓弧運動.
所以,N板的長度L=6R.
解得L=0.6m
(3)油滴在磁場中運動的周期T0==
由(2)分析知交變磁場的周期T=T0
聯(lián)立解得T=0.3s.
2.(2019屆東陽中學(xué)模擬)如圖2所示,半徑r=0.06m的半圓形無場區(qū)的圓心在坐標(biāo)原點O處,半徑R=0.1m、磁感應(yīng)強度大小B=0.075T的圓形有界磁場區(qū)的圓心坐標(biāo)為(0,0.08m),平行金屬板MN的極板長L=0.3m、間距d=0.1m,極板間所加電壓U=6.4102V,其中N極板收集的粒子全部中和吸收.一位于O處的粒子源向第Ⅰ、Ⅱ象限均勻地發(fā)射速度大小v=6105m/s的帶正電粒子,經(jīng)圓形磁場偏轉(zhuǎn)后,從第Ⅰ象限出射的粒子速度方向均沿x軸正方向.若粒子重力不計、比荷=108C/kg、不計粒子間的相互作用力及電場的邊緣效應(yīng).sin37=0.6,cos37=0.8.求:
圖2
(1)粒子在磁場中的運動半徑R0;
(2)從坐標(biāo)(0,0.18m)處射出磁場的粒子,其在O點入射方向與y軸的夾角θ;
(3)N板收集到的粒子占所有發(fā)射粒子的比例η.
答案 見解析
解析 (1)粒子在磁場中做勻速圓周運動,由qvB=
得R0==0.08m
(2)如圖所示,從y=0.18m處出射的粒子對應(yīng)入射方向與y軸的夾角為θ,軌跡圓心與y軸交于(0,0.10m)處,
由幾何關(guān)系可得:sinθ=0.8,故θ=53
(3)如圖所示,令恰能從下極板右端出射的粒子剛進(jìn)入電場時的縱坐標(biāo)為y:
則y=at2,a=,L=vt,
聯(lián)立解得y==0.08m
設(shè)此粒子入射時與x軸正方向夾角為α,則有:
y=rsinα+R0-R0cosα
可知tanα=即α=53
比例η=100%≈29.4%.
3.某高中物理課程基地擬采購一批實驗器材,增強學(xué)生對電偏轉(zhuǎn)和磁偏轉(zhuǎn)研究的動手能力,其核心結(jié)構(gòu)原理可簡化為如圖3所示.AB、CD間的區(qū)域有豎直向上的勻強電場,在CD的右側(cè)有一與CD相切于M點的圓形有界勻強磁場,磁場方向垂直于紙面.一帶正電粒子自O(shè)點以水平初速度v0正對P點進(jìn)入該電場后,從M點飛離CD邊界,再經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后又從N點垂直于CD邊界回到電場區(qū)域,并恰能返回O點.已知O、P間距離為d,粒子質(zhì)量為m,電荷量為q,電場強度大小E=,粒子重力不計.試求:
圖3
(1)粒子從M點飛離CD邊界時的速度大?。?
(2)P、N兩點間的距離;
(3)圓形有界勻強磁場的半徑和磁感應(yīng)強度的大?。?
答案 (1)2v0 (2)d (3)d
解析 (1)據(jù)題意,作出帶電粒子的運動軌跡,如圖所示:
粒子從O到M點時間:t1=
粒子在電場中的加速度:a==
P、M兩點間的距離為:PM=at12=d.
粒子在M點時豎直方向的分速度:vy=at1=v0
粒子在M點時的速度:v==2v0
速度偏轉(zhuǎn)角的正切值:tanθ==,故θ=60;
(2)粒子從N到O點時間:t2=
粒子從N到O點過程豎直方向的位移:y=at22
故P、N兩點間的距離為:PN=y(tǒng)=d
(3)設(shè)粒子在磁場中運動的半徑為R,由幾何關(guān)系得:Rcos60+R=PN+PM=d
可得半徑:R=d
由qvB=m,即:R=
解得:B=
由幾何關(guān)系確定區(qū)域半徑為:R′=2Rcos30
即R′=d.
4.如圖4,靜止于A處的離子經(jīng)電壓為U的加速電場加速后沿圖中圓弧虛線通過靜電分析器,從P點垂直CN進(jìn)入矩形區(qū)域的有界勻強電場,電場方向水平向左.靜電分析器通道內(nèi)有均勻輻向分布的電場,已知圓弧所在處場強為E0,方向如圖所示;離子質(zhì)量為m、電荷量為q;=2d、=3d,離子重力不計.
圖4
(1)求圓弧虛線對應(yīng)的半徑R的大小;
(2)若離子恰好能打在NQ的中點,求矩形區(qū)域QNCD內(nèi)勻強電場場強E的值;
(3)若撤去矩形區(qū)域QNCD內(nèi)的勻強電場,換為垂直紙面向里的勻強磁場,要求離子能最終打在QN上,求磁場磁感應(yīng)強度B的取值范圍.
答案 (1) (2) (3) ≤B<
解析 (1)離子在加速電場中加速,根據(jù)動能定理,
有:qU=mv2
離子在輻向電場中做勻速圓周運動,知離子帶正電,電場力提供向心力,
根據(jù)牛頓第二定律,有qE0=
聯(lián)立解得:R=
(2)離子做類平拋運動,若恰好能打在NQ的中點,則
d=vt,3d=at2
由牛頓第二定律得:qE=ma,
聯(lián)立解得:E=
(3)離子在勻強磁場中做勻速圓周運動,洛倫茲力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律,有
qvB=,則r=
離子能打在QN上,則離子運動徑跡的邊界如圖中Ⅰ和Ⅱ.
由幾何關(guān)系知,離子能打在QN上,必須滿足:d<r≤2d,則有≤B<.
5.(2018寧波市十校聯(lián)考)一個放射源水平放出α、β、γ三種射線,垂直射入如圖5所示磁場,區(qū)域Ⅰ和Ⅱ的寬度均為d,各自存在著垂直紙面的勻強磁場,兩區(qū)域的磁感應(yīng)強度大小B相等,方向相反(粒子運動不考慮相對論效應(yīng)).已知電子質(zhì)量me=9.110-31kg,α粒子質(zhì)量mα=6.710-27kg,電子電荷量q=1.610-19C,≈1+(|x|<1時).
圖5
(1)若要篩選出速率大于v1的所有β粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ,求磁場寬度d與B和v1的關(guān)系(用題中所給字母表示即可);
(2)若B=0.0273T,v1=0.1c(c是光速),計算d;α粒子的速率為0.001c,計算α粒子離開區(qū)域Ⅰ時的偏移距離(答案均保留三位有效數(shù)字);
(3)當(dāng)d滿足第(1)小題所給關(guān)系時,請給出速率在v1
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浙江選考2020版高考物理大一輪復(fù)習(xí)
第九章
磁場
專題強化三
帶電粒子在疊加場和組合場中的運動學(xué)案
浙江
2020
高考
物理
一輪
復(fù)習(xí)
第九
專題
強化
帶電
粒子
疊加
組合
中的
運動學(xué)
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