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課時跟蹤檢測（二） 小題考法——三角函數的圖象與性質
A組——10＋7提速練
一、選擇題
1．函數f(x)＝tan的單調遞增區(qū)間是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：選B 由kπ－<2x－
0,0<φ<π)為奇函數，A(a,0)，B(b,0)是其圖象上兩點，若|a－b|的最小值是1，則f ＝( )
A．2 B．－2
C． D．－
解析：選B ∵函數f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)為奇函數，∴φ＝，f(x)＝－4sin ωx.∵A(a,0)，B(b，0)是其圖象上兩點，|a－b|的最小值是1，∴＝1，∴ω＝π，f(x)＝－4sin πx，則f＝－4sin＝－2.
6．(2017天津高考)設函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，則( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：選A 法一：由f＝2，
得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， ①
由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)， ②
由①②得ω＝－＋(k′－2k)．
又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，ω＝.
又|φ|<π，將ω＝代入①得φ＝.選項A符合．
法二：∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故選A.
7．若把函數y＝2cos x(cos x－sin x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：選A 法一：y＝2cos x(cosx－sin x)＝2cos2x－2sin xcos x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2sin，該函數的圖象向左平移m個單位長度后，所得圖象對應的函數為y＝1＋2sin＝1＋2sin，由題意知2m＋＝＋kπ，k∈Z，解得m＝－，k∈Z，取k＝1，得到m的最小值為，故選A.
法二：y＝2cos x(cos x－sin x)＝2cos2x－2sin xcos x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2sin，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，則x＝－，k∈Z，則原函數的圖象在x軸右側且離y軸最近的一條對稱軸為直線x＝.因為原函數的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱，所以m的最小值為，故選A.
8．(2019屆高三溫州期中)設α是三角形的一個內角，在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能為負數的值的個數是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：選A ∵α是三角形的一個內角，
若0<α<，則0<<，0<2α<π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能為負數的是cos 2α與tan 2α；
若α＝，則＝，2α＝π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中為負數的是cos 2α；
若<α≤，則<≤，π<2α≤.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能為負數的是cos α與cos 2α；
若<α<π，則<<，<2α<2π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能為負數的是cos α與tan 2α.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能為負數的值的個數是2個．故選A.
9．已知x＝是函數f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)圖象的一條對稱軸，將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數g(x)的圖象，則函數g(x)在上的最小值為( )
A．－2 B．－1
C．－ D．－
解析：選B f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin.∵x＝是f(x)＝2sin圖象的一條對稱軸，∴2＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，則f(x)＝2sin，∴g(x)＝2sin＝－2sin，則g(x)在上的最小值為g＝－1，故選B.
10．(2019屆高三浙江六校聯(lián)考)已知函數f(x)＝3sin(ωx＋θ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數f(x)＝3sin(ωx＋θ)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度后得到函數g(x)的圖象，若f(x)，g(x)的圖象都經過點P ，則φ的一個可能值是( )
A. B.
C. D.
解析：選D 由函數f(x)＝3sin(ωx＋θ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得函數f(x)的最小正周期為π，則π＝，所以ω＝2，函數f(x)＝3sin(2x＋θ)的圖象向右平移φ個單位長度，得到g(x)＝3sin(2x＋θ－2φ)的圖象，因為f(x)，g(x)的圖象都經過點P，所以sin θ＝，sin(θ－2φ)＝，又－<θ<，所以θ＝，所以sin＝，所以－2φ＝2kπ＋(k∈Z)或－2φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－kπ－(k∈Z)，因為φ>0，所以結合選項知φ的一個可能值是.故選D.
二、填空題
11．已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)對任意的x都有f ＝f ，則f ＝_______.
解析：函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)對任意的x都有f ＝f ，則其圖象的一條對稱軸為x＝，所以f＝2.
答案：2
12．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在區(qū)間[2,4]上單調，且f(2)＝1，f(4)＝－1，則ω＝________，f(x)在區(qū)間上的值域是________．
解析：由題意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝，
∴f(x)＝sin.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1，
∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
由x∈，得x－∈，
∴sin∈，
即f(x)在區(qū)間上的值域為.
答案：
13．(2018金華模擬)已知函數f(x)＝4sin xsin，則函數f(x)的最小正周期T＝________，在區(qū)間上的值域為________．
解析：函數f(x)＝4sin xsin ＝4sin x＝2sin2x＋2sin xcos x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，
函數f(x)的最小正周期T＝＝π.
∵x∈，∴2x－∈.
∴－時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．
∴當cos x＝，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴當sin x＝－時，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2＝－.
答案：－
17．已知函數f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1的最大值為3，f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0,2)，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝________.
解析：∵函數f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋的最大值為3，∴＋1＋＝3，∴A＝2.根據函數圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2，可得函數的最小正周期為4，即＝4，∴ω＝.再根據f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<，∴2φ＝，φ＝.故函數f(x)的解析式為f(x)＝cos＋2＝－sinx＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝－＋22 018＝5040－sin－sin π＋4 036＝0－1－0＋4 036＝4 035.
答案：4 035
B組——能力小題保分練
1．曲線y＝2coscos和直線y＝在y軸右側的交點的橫坐標按從小到大的順序依次記為P1，P2，P3，…，則|P3P7|＝( )
A．π B．2π
C．4π D．6π
解析：選B y＝2coscos＝cos2x－sin2x＝cos 2x，故曲線對應的函數為周期函數，且最小正周期為π，直線y＝在y軸右側與函數y＝2coscos在每個周期內的圖象都有兩個交點，又P3與P7相隔2個周期，故|P3P7|＝2π，故選B.
2.已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則( )
A．f(x)的圖象關于直線x＝－對稱
B．f(x)的圖象關于點對稱
C．若方程f(x)＝m在上有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是(－2，－ ]
D．將函數y＝2sin的圖象向左平移個單位長度得到函數f(x)的圖象
解析：選C 由題圖可知，A＝2，T＝4＝π，∴ω＝＝2.又f＝2，
∴2sin＝2，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，
∴函數f(x)的解析式為f(x)＝2sin，
∴當x＝－時，2＋＝－π，
f ＝2sin(－π)＝0，
從而f(x)的圖象關于點對稱，而不是關于直線x＝－對稱，故A不正確；
當x＝－時，2＋＝－，
∴f(x)的圖象關于直線x＝－對稱，而不是關于點對稱，故B不正確；
當x∈時，2x＋∈，f(x)∈[－2, ]，結合正弦函數圖象的性質，可知若方程f(x)＝m在上有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是(－2，－ ]，故C正確；
根據圖象平移變換的法則，可知應將y＝2sin的圖象向左平移個單位長度得到f(x)的圖象，故D不正確．故選C.
3．如果兩個函數的圖象平移后能夠重合，那么稱這兩個函數互為生成函數．給出下列四個函數：
①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝(sin x＋cos x)；
③f(x)＝sin x；④f(x)＝sin x＋.
其中互為生成函數的是( )
A．①② B．①④
C．③④ D．②④
解析：選B 首先化簡題中①②兩個函數解析式可得：①f(x)＝sin，②f(x)＝2sin，可知③f(x)＝sin x的圖象要與其他函數的圖象重合，只經過平移不能完成，還必須經過伸縮變換才能實現，∴③f(x)＝sin x不與其他函數互為生成函數；同理①f(x)＝sin(④f(x)＝sin x＋)的圖象與②f(x)＝2sin的圖象也必須經過伸縮變換才能重合，而④f(x)＝sin x＋的圖象向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度即可得到①f(x)＝sin的圖象，∴①④互為生成函數，故選B.
4．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均為正常數)的最小正周期為π，且當x＝時，函數f(x)取得最小值，則( )
A．f(1)0，故可取k＝1，則φ＝，故f(x)＝Asin，所以f(－1)＝Asin<0，f(1)＝Asin>0，f(0)＝Asin＝A>0，故f(－1)最小．又sin＝sin＝sin>sin，故f(1)>f(0)．綜上可得f(－1)0)的圖象的對稱軸與函數g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱軸完全相同，則函數f(x)的圖象的對稱軸為________，φ＝________.
解析：因為函數f(x)＝2sin(ω>0)的圖象的對稱軸與函數g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱軸完全相同，故它們的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函數f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，則x＝＋，k∈Z，故函數f(x)的圖象的對稱軸為x＝＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，則x＝－，m∈Z，故函數g(x)的圖象的對稱軸為x＝－，m∈Z，故＋－＋＝，m，n，k∈Z，即φ＝(m＋n－k)π－，m，n，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－.
答案：x＝＋，k∈Z?。?
6．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的圖象與x軸的一個交點到其相鄰的一條對稱軸的距離為，若f＝，則函數f(x)在上的最小值為________．
解析：由題意得，函數f(x)的最小正周期T＝4＝π＝，解得ω＝2.
因為點在函數f(x)的圖象上，
所以Asin＝0，
解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝.
因為f＝，所以Asin＝，
解得A＝，所以f(x)＝sin.
當x∈時，2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的最小值為－.
答案：－
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