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9.3　橢圓及其性質(zhì) 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 1.橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.掌握橢圓的定義,并會用橢圓的定義進行解題 2.掌握橢圓的幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,并會用待定系數(shù)法求橢圓的方程 2017北京,19 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 三角形的面積 ★☆☆ 2.橢圓的幾何性質(zhì) 1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性等),并會熟練運用 2.理解橢圓離心率的定義,并會求橢圓的離心率 2012天津文,19 橢圓的幾何性質(zhì) 直線和橢圓的方程 ★☆☆ 3.直線與橢圓的位置關(guān)系 1.掌握直線和橢圓位置關(guān)系的判斷方法 2.理解“整體代換”思想的含義,并能通過直線與橢圓的位置關(guān)系解答相應(yīng)問題 2018天津文,19 直線與橢圓的位置關(guān)系 三角形的面積 ★★★ 2014天津,18 圓的方程 分析解讀　　從高考試題來看,橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系一直是高考命題的重點和熱點,離心率問題是每年高考考查的重點,多在選擇題和填空題中出現(xiàn),主要考查學(xué)生結(jié)合橢圓定義、幾何性質(zhì)等分析問題、解決問題的能力以及運算能力,分值為5分,屬于中檔題目;在解答題中主要以直線與橢圓的位置關(guān)系為考查對象,考查面較廣,往往會和平面向量、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識相結(jié)合,在考查對橢圓基本概念和性質(zhì)理解及應(yīng)用的同時,又考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想. 破考點 【考點集訓(xùn)】 考點一　橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.“m>n>0”是“曲線mx2+ny2=1為焦點在x軸上的橢圓”的(　　) A.充分而不必要條件　　B.必要而不充分條件　　C.充分必要條件　　D.既不充分也不必要條件 答案　D　 考點二　橢圓的幾何性質(zhì) 2.(2017浙江,2,4分)橢圓x29+y24=1的離心率是(　　) A.133　　　　B.53　　　　C.23　　　　D.59 答案　B　 3.(2018課標(biāo)Ⅱ文,11,5分)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60,則C的離心率為(　　) A.1-32　　　　B.2-3　　　　　　　　C.3-12　　　　D.3-1 答案　D　 考點三　直線與橢圓的位置關(guān)系 4.(2014遼寧,20,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當(dāng)該三角形面積最小時,切點為P(如圖). (1)求點P的坐標(biāo); (2)焦點在x軸上的橢圓C過點P,且與直線l:y=x+3交于A,B兩點.若△PAB的面積為2,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程. 解析　(1)設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則切線斜率為-x0y0,切線方程為y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此時,兩個坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=124x04y0=8x0y0,由x02+y02=4≥2x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=2時x0y0有最大值,即S有最小值,因此點P的坐標(biāo)為(2,2). (2)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),點A(x1,y1),B(x2,y2).由點P在C上知2a2+2b2=1,并由x2a2+y2b2=1,y=x+3 得b2x2+43x+6-2b2=0, 又x1,x2是方程的根,因此x1+x2=-43b2,x1x2=6-2b2b2, 由y1=x1+3,y2=x2+3,得|AB|=2|x1-x2|=248-24b2+8b4b2. 由點P到直線l的距離為32及S△PAB=1232|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3, 因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6, 從而所求C的方程為x26+y23=1. 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 1.如圖,已知橢圓C的中心為原點O,F(-25,0)為C的左焦點,P為C上一點,滿足|OP|=|OF|且|PF|=4,則橢圓C的方程為(　　) A.x225+y25=1　　　　B.x230+y210=1　　　　C.x236+y216=1　　　　D.x245+y225=1 答案　C　 方法2　橢圓的離心率(取值范圍)的求法 2.已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點P,使得過點P的圓C2的兩條切線互相垂直,則橢圓C1的離心率的取值范圍是(　　) A.12,1　　　　B.22,32　　　　C.22,1　　　　D.32,1 答案　C　 3.(2013福建文,15,4分)橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=3(x+c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于　　　　. 答案　3-1 方法3　解決直線與橢圓位置關(guān)系問題的方法 4.(2014安徽文,14,5分)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2+y2b2=1(0b>0)相交于A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率等于　　　　. 答案　22 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 1.(2018天津文,19,14分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為53,|AB|=13. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點,l與直線AB交于點M,且點P,M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,求k的值. 解析　本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力. (1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有c2a2=59, 又由a2=b2+c2,可得2a=3b. 由|AB|=a2+b2=13, 從而a=3,b=2. 所以,橢圓的方程為x29+y24=1. (2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x1,y1),點M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意,x2>x1>0,點Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1. 易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程組x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4. 由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12. 當(dāng)k=-89時,x2=-9<0,不合題意,舍去; 當(dāng)k=-12時,x2=12,x1=125,符合題意. 所以,k的值為-12. 解題關(guān)鍵　第(2)問中把兩個三角形的面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點P、M的橫坐標(biāo)間的關(guān)系,進而得到關(guān)于k的方程是求解的難點和關(guān)鍵. 2.(2014天津,18,13分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,右頂點為A,上頂點為B.已知|AB|=32|F1F2|. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點,以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1,經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切.求直線l的斜率. 解析　(1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標(biāo)為(c,0).由|AB|=32|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,則c2a2=12. 所以橢圓的離心率e=22. (2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為x22c2+y2c2=1. 設(shè)P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). 由已知,有F1PF1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因為點P在橢圓上, 故x022c2+y02c2=1.② 由①和②可得3x02+4cx0=0.而點P不是橢圓的頂點, 故x0=-43c,代入①得y0=c3, 即點P的坐標(biāo)為-4c3,c3. 設(shè)圓的圓心為T(x1,y1),則x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,進而圓的半徑r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c. 設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx.由l與圓相切,可得|kx1-y1|k2+1=r,即k-2c3-2c3k2+1=53c, 整理得k2-8k+1=0,解得k=415. 所以直線l的斜率為4+15或4-15. 3.(2012天津文,19,14分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),點P55a,22a在橢圓上. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)A為橢圓的左頂點,O為坐標(biāo)原點.若點Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值. 解析　(1)因為點P55a,22a在橢圓上, 故a25a2+a22b2=1,可得b2a2=58. 于是e2=a2-b2a2=1-b2a2=38, 所以橢圓的離心率e=64. (2)設(shè)直線OQ的斜率為k,則其方程為y=kx. 設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,y0). 由條件得y0=kx0,x02a2+y02b2=1. 消去y0并整理得x02=a2b2k2a2+b2.① 由|AQ|=|AO|,A(-a,0),及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2. 整理得(1+k2)x02+2ax0=0,而x0≠0, 故x0=-2a1+k2, 代入①,整理得(1+k2)2=4k2a2b2+4. 由(1)知a2b2=85,故(1+k2)2=325k2+4, 即5k4-22k2-15=0,可得k2=5. 所以直線OQ的斜率k=5. 評析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間的距離公式等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),以及數(shù)形結(jié)合的思想方法,考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力. B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點一　橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.(2015廣東文,8,5分)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點為F1(-4,0),則m=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.9 答案　B　 2.(2017北京,19,14分)已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為32. (1)求橢圓C的方程; (2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. 解析　本題考查橢圓的方程和性質(zhì),直線的方程等知識,考查運算求解能力. (1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0). 由題意得a=2,ca=32, 解得c=3. 所以b2=a2-c2=1. 所以橢圓C的方程為x24+y2=1. (2)證明:設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n). 由題設(shè)知m≠2,且n≠0. 直線AM的斜率kAM=nm+2,故直線DE的斜率kDE=-m+2n. 所以直線DE的方程為y=-m+2n(x-m). 直線BN的方程為y=n2-m(x-2). 聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2), 解得點E的縱坐標(biāo)yE=-n(4-m2)4-m2+n2. 由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2. 所以yE=-45n. 又S△BDE=12|BD||yE|=25|BD||n|, S△BDN=12|BD||n|, 所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. 易錯警示　在設(shè)直線方程時,若設(shè)方程為y=kx+m,則要考慮斜率不存在的情況;若設(shè)方程為x=ty+n,則要考慮斜率為0的情況. 3.(2014四川文,20,13分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(-2,0),離心率為63. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,T為直線x=-3上一點,過F作TF的垂線交橢圓于P,Q.當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時,求四邊形OPTQ的面積. 解析　(1)由已知可得,ca=63,c=2,所以a=6. 又由a2=b2+c2,解得b=2, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x26+y22=1. (2)設(shè)T點的坐標(biāo)為(-3,m),則直線TF的斜率kTF=m-0-3-(-2)=-m. 當(dāng)m≠0時,直線PQ的斜率kPQ=1m,直線PQ的方程是x=my-2.當(dāng)m=0時,直線PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得x=my-2,x26+y22=1.消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判別式Δ=16m2+8(m2+3)>0, 所以y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3, x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3. 因為四邊形OPTQ是平行四邊形, 所以O(shè)P=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2). 所以x1+x2=-12m2+3=-3,y1+y2=4mm2+3=m,解得m=1. 此時,S四邊形OPTQ=2S△OPQ=212|OF||y1-y2| =24mm2+32-4-2m2+3=23. 評析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力.考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想. 考點二　橢圓的幾何性質(zhì) 1.(2018課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為(　　) A.13　　　　B.12　　　　C.22　　　　D.223 答案　C　 2.(2018課標(biāo)Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為36的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120,則C的離心率為(　　) A.23　　　　B.12　　　　C.13　　　　D.14 答案　D　 3.(2017課標(biāo)Ⅲ,10,5分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為(　　) A.63　　　　B.33　　　　C.23　　　　D.13 答案　A　 考點三　直線與橢圓的位置關(guān)系 1.(2015安徽,20,13分)設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),點O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(a,0),點B的坐標(biāo)為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為510. (1)求E的離心率e; (2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點.證明:MN⊥AB. 解析　(1)由題設(shè)條件知,點M的坐標(biāo)為23a,13b, 又kOM=510,從而b2a=510. 進而a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255. (2)證明:由N是AC的中點知,點N的坐標(biāo)為a2,-b2,可得NM=a6,5b6. 又AB=(-a,b),從而有ABNM=-16a2+56b2=16(5b2-a2). 由(1)的計算結(jié)果可知a2=5b2,所以ABNM=0,故MN⊥AB. 評析本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)及利用向量法證明線線垂直,較難. 2.(2014北京文,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4. (1)求橢圓C的離心率; (2)設(shè)O為原點.若點A在直線y=2上,點B在橢圓C上,且OA⊥OB,求線段AB長度的最小值. 解析　(1)由題意,知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1. 所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2. 因此a=2,c=2. 故橢圓C的離心率e=ca=22. (2)設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x0≠0. 因為OA⊥OB,所以O(shè)AOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0. 又x02+2y02=4, 所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2 =x0+2y0x02+(y0-2)2 =x02+y02+4y02x02+4 =x02+4-x022+2(4-x02)x02+4 =x022+8x02+4(0b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個交點為N. (1)若直線MN的斜率為34,求C的離心率; (2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 解析　(1)根據(jù)c=a2-b2及題設(shè)知Mc,b2a,2b2=3ac. 將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去). 故C的離心率為12. (2)由題意,知原點O為F1F2的中點,MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故b2a=4,即b2=4a,① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則 2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1. 代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.② 將①及c=a2-b2代入②得9(a2-4a)4a2+14a=1. 解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=27. 評析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),考查運算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力. 4.(2015江蘇,18,16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程. 解析　(1)由題意,得ca=22且c+a2c=3, 解得a=2,c=1,則b=1, 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1. (2)當(dāng)AB⊥x軸時,AB=2,又CP=3,不合題意. 當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 將直線AB的方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,則x1,2=2k22(1+k2)1+2k2,C的坐標(biāo)為2k21+2k2,-k1+2k2,且AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x2-x1)2=22(1+k2)1+2k2. 若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意. 從而k≠0,故直線PC的方程為y+k1+2k2=-1kx-2k21+2k2, 則P點的坐標(biāo)為-2,5k2+2k(1+2k2), 從而PC=2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2). 因為PC=2AB,所以2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2)=42(1+k2)1+2k2, 解得k=1. 此時直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1. 評析本題在考查橢圓基本性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程的同時,著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和方程思想. C組　教師專用題組 1.(2017課標(biāo)Ⅰ,12,5分)設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是(　　) A.(0,1]∪[9,+∞)　　　　B.(0,3]∪[9,+∞)　　　　C.(0,1]∪[4,+∞)　　　　D.(0,3]∪[4,+∞) 答案　A　 2.(2015課標(biāo)Ⅰ,5,5分)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點,則|AB|=(　　) A.3　　　　B.6　　　　C.9　　　　D.12 答案　B　 3.(2015浙江,15,4分)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F(c,0)關(guān)于直線y=bcx的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率是　　　　. 答案　22 4.(2015陜西,20,12分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為12c. (1)求橢圓E的離心率; (2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=52的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,求橢圓E的方程. 解析　(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0, 則原點O到該直線的距離d=bcb2+c2=bca, 由d=12c,得a=2b=2a2-c2, 解得離心率ca=32. (2)解法一:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.① 依題意得,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=10. 易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2, x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2. 由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12. 從而x1x2=8-2b2. 于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2). 由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3. 故橢圓E的方程為x212+y23=1. 解法二:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.② 依題意得,點A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對稱,且|AB|=10. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2, 兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知AB與x軸不垂直,則x1≠x2, 所以AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=12. 因此直線AB的方程為y=12(x+2)+1, 代入②得x2+4x+8-2b2=0. 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2. 于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2). 由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3. 故橢圓E的方程為x212+y23=1. 評析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識,巧妙利用根與系數(shù)的關(guān)系或點差法構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程是求解的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運算求解能力及方程思想的應(yīng)用能力. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1.(2019屆天津耀華中學(xué)第二次月考,7)已知橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點分別為F1,F2,點A在橢圓上,AF1F1F2=0,AF1AF2=c2,則橢圓的離心率e等于(　　) A.33　　　　B.3-12　　　　C.5-12　　　　D.22 答案　C　 2.(2018天津河西一模,6)已知三個實數(shù)2,m,8構(gòu)成一個等比數(shù)列,則圓錐曲線x2m+y22=1的離心率為(　　) A.22　　　　B.3　　　　C.22或3　　　　D.22或62 答案　C　 3.(2018天津南開中學(xué)第三次月考,8)已知點F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點,點B是短軸端點,直線BF2與橢圓C相交于另一點D.若△F1BD是等腰三角形,則橢圓C的離心率為(　　) A.13　　　　B.33　　　　C.22　　　　D.63 答案　B　 二、填空題(每小題5分,共5分) 4.(2018天津一中5月月考,13)已知點P(x,y)在橢圓x23+2y23=1上運動,則1x2+21+y2的最小值是　　　　. 答案　95 三、解答題(共40分) 5.(2019屆天津南開中學(xué)統(tǒng)練,19)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三點在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點. 解析　本題考查了圓錐曲線的方程以及圓錐曲線與直線位置關(guān)系中的定點問題. (1)由于P3,P4兩點關(guān)于y軸對稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過P3,P4兩點. 又由1a2+1b2>1a2+34b2知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2在C上. 因此1b2=1,1a2+34b2=1,解得a2=4,b2=1. 故C的方程為x24+y2=1. (2)證明:設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2. 如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別為t,4-t22,t,-4-t22. 則k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1,得t=2,不符合題設(shè). 從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1). 將y=kx+m代入x24+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1. 而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2 =kx1+m-1x1+kx2+m-1x2 =2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2, 由于k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1)4m2-44k2+1+(m-1)-8km4k2+1=0. 解得k=-m+12. 當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時,Δ>0,于是l:y=-m+12x+m, 即y+1=-m+12(x-2), 所以l過定點(2,-1). 6.(2018天津河?xùn)|一模,19)已知點(0,-1)是中心在原點,長軸在x軸上的橢圓C的一個頂點,橢圓的離心率為22,左右焦點分別為F1和F2. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)點M是線段OF2(不包括端點)上的一點,過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P、Q兩點,若△MPQ是以M為頂點的等腰三角形,求點M到直線l的距離的取值范圍. 解析　(1)由題意可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0), 由點(0,-1)是橢圓C的一個頂點,可得b=1, 由e=ca=22,a2-b2=c2, 解得a=2,c=1, 故橢圓C的方程為x22+y2=1. (2)設(shè)點M(m,0),0b>0)的右焦點為(3,0),且經(jīng)過點-1,32,點M是y軸上的一點,過點M的直線l與橢圓C交于A、B兩點. (1)求橢圓C的方程; (2)若AM=2MB,且直線l與圓O:x2+y2=425相切于點N,求|MN|的長. 解析　(1)由題意知a2-b2=c2=3,(-1)2a2+322b2=1, 解得a2=4,b2=1, 故橢圓C的方程為x24+y2=1. (2)顯然直線l的斜率存在, 設(shè)M(0,m),直線l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), ∵直線l與圓O:x2+y2=425相切, ∴|m|1+k2=25, 即m2=425(k2+1)①, 由x24+y2=1,y=kx+m,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, Δ>0恒成立, ∴x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)4k2+1, 由AM=2MB,得x1=-2x2, 解得x1=-16km1+4k2,x2=8km1+4k2, ∴x1x2=-128k2m2(1+4k2)2=4(m2-1)1+4k2, 化簡得-32k2m21+4k2=m2-1②, 把①代入②可得48k4+16k2-7=0, 解得k2=14,m2=15, 在Rt△OMN中,可得|MN|=15-425=15, 故|MN|的長為15.