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4.4　解三角形 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 1.正弦、余弦定理的應(yīng)用 1.理解正弦定理與余弦定理的推導(dǎo)過程 2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題 2016天津,3 利用余弦定理解三角形 ★★★ 2015天津,13 利用余弦定理解三角形 三角形面積公式 2014天津,12 2014天津文,16 正弦定理、余弦定理 2.解三角形的綜合應(yīng)用 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題 2018天津,15 2017天津,15 利用正弦定理、余弦定理解三角形 三角恒等變換 ★★★ 分析解讀　　1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面幾何圖形中有關(guān)量的問題時,需要綜合應(yīng)用兩個定理及三角形有關(guān)知識.2.正弦定理和余弦定理應(yīng)用比較廣泛,也比較靈活,在高考中常與面積或取值范圍結(jié)合進行考查.3.利用數(shù)學(xué)建模思想,結(jié)合三角形的知識,解決實際生活中的相關(guān)問題.本節(jié)內(nèi)容在高考中常以解答題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)在選擇題和填空題中. 破考點 【考點集訓(xùn)】 考點一　正弦、余弦定理的應(yīng)用 1.在△ABC中,a=1,∠A=π6,∠B=π4,則c=(　　) A.6+22　　　　B.6-22　　　　C.62　　　　D.22 答案　A　 2.在△ABC中,∠A=π3,BC=3,AB=6,則∠C=　　　　. 答案　π4 3.在△ABC中,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,則cosC=　　　　. 答案　-14 考點二　解三角形的綜合應(yīng)用 4.在△ABC中,a=1,b=7,且△ABC的面積為32,則c=　　　　. 答案　2或23 5.在△ABC中,a=5,c=7,cosC=15,則b=　　　　,△ABC的面積為　　　　. 答案　6;66 6.在△ABC中,a=3,∠C=2π3,△ABC的面積為334,則b=　　　　;c=　　　　. 答案　1;13 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　三角形形狀的判斷 1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,則△ABC的形狀是(　　) A.等腰三角形　　　　B.直角三角形　　　　C.等腰直角三角形　　　　D.等腰三角形或直角三角形 答案　D　 2.在△ABC中,若tanAtanB=a2b2,則△ABC的形狀是(　　) A.直角三角形　　　　B.等腰或直角三角形　　　　C.等腰三角形　　　　D.不能確定 答案　B　 方法2　解三角形的常見題型及求解方法 3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.若A=π3,a=3,b=1,則c=　　　　. 答案　2 4.(2014課標(biāo)Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為　　　　. 答案　3 5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos2B+cosB=0. (1)求角B的值; (2)若b=7,a+c=5,求△ABC的面積. 解析　(1)由已知得2cos2B-1+cosB=0, 即(2cosB-1)(cosB+1)=0. 解得cosB=12或cosB=-1. 因為0b,a=5,c=6,sinB=35. (1)求b和sinA的值; (2)求sin2A+π4的值. 解析　(1)在△ABC中,因為a>b,所以A>B,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=13. 由正弦定理得sinA=asinBb=31313. 所以,b的值為13,sinA的值為31313. (2)由(1)及a0,所以c=3. 故△ABC的面積為12bcsinA=332. 解法二:由正弦定理,得7sinπ3=2sinB, 從而sinB=217, 又由a>b,知A>B, 所以cosB=277. 故sinC=sin(A+B)=sinB+π3 =sinBcosπ3+cosBsinπ3=32114. 所以△ABC的面積為12absinC=332. 8.(2015湖南,17,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA. (1)證明:sinB=cosA; (2)若sinC-sinAcosB=34,且B為鈍角,求A,B,C. 解析　(1)證明:由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=cosA. (2)因為sinC-sinAcosB=sin[180-(A+B)]-sinAcosB =sin(A+B)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB =cosAsinB, 所以cosAsinB=34. 由(1)知sinB=cosA,因此sin2B=34. 又B為鈍角,所以sinB=32,故B=120. 由cosA=sinB=32知A=30. 從而C=180-(A+B)=30. 綜上所述,A=30,B=120,C=30. 評析本題考查了正弦定理,三角恒等變換,考查了運算求解能力,熟練、準(zhǔn)確地應(yīng)用公式是求解關(guān)鍵. C組　教師專用題組 考點一　正弦、余弦定理的應(yīng)用 1.(2017山東,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是(　　) A.a=2b　　　　B.b=2a C.A=2B　　　　D.B=2A 答案　A　 2.(2015廣東,11,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=3,sinB=12,C=π6,則b=　　　　. 答案　1 3.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=3π4,AB=6,AC=32,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長. 解析　設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(32)2+62-2326cos3π4=18+36-(-36)=90,所以a=310. 又由正弦定理得sinB=bsin∠BACa=3310=1010, 由題意知00, ∴2cosB=-1,可得cosB=-12, ∵B是三角形的內(nèi)角,即B∈(0,π), ∴B=2π3. (2)∵3sinA2+π6cosA2+π6-sin2A2+π6=1126, ∴32sinA+π3-121-cosA+π3=1126, ∴3sinA+π3+cosA+π3=2413, ∴sinA+π3+π6=1213,即cosA=1213, ∵A為三角形的內(nèi)角,即A∈(0,π), ∴sinA=1-cos2A=513. ∵B=2π3, ∴cosC=cosπ3-A=cosπ3cosA+sinπ3sinA=121213+32513=12+5326. 15.(2018天津耀華中學(xué)第一次月考,15)已知函數(shù)f(x)=2sin2x-2sin2x-π6,x∈R. (1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期; (2)已知在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且b=3,c=4,fB2+π6=b+c2a,求邊a的值. 解析　(1)∵f(x)=2sin2x-2sin2x-π6 =1-cos2x-1-cos2x-π6 =cos2x-π3-cos2x =12cos2x+32sin2x-cos2x =sin2x-π6, ∴函數(shù)y=f(x)的最小正周期T=2πω=π. (2)∵fB2+π6=b+c2a, ∴sinB+π6=b+c2a,即32sinB+12cosB=b+c2a,∴3asinB+acosB=b+c, ∴由正弦定理可得3sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC,又A+B+C=π,∴3sinAsinB=sinB+cosAsinB, ∵sinB>0, ∴3sinA-cosA=1,即sinA-π6=12, ∵0

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