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第24練 基本初等函數、函數的應用
[明晰考情] 1.命題角度：考查二次函數、分段函數、冪函數、指數函數、對數函數的圖象與性質；以基本初等函數為依托，考查函數與方程的關系、函數零點存在性定理；能利用函數解決簡單的實際問題.2.題目難度：中檔偏難.
考點一 基本初等函數的圖象與性質
方法技巧 (1)指數函數的圖象過定點(0,1)，對數函數的圖象過定點(1,0).
(2)應用指數函數、對數函數的單調性，要注意底數的范圍，底數不同的盡量化成相同的底數.
(3)解題時要注意把握函數的圖象，利用圖象研究函數的性質.
1.已知函數f(x)＝則f(2019)等于( )
A.2018B.2C.2020D.
答案 D
解析 f(2019)＝f(2018)＋1＝…＝f(0)＋2019＝f(－1)＋2020＝2－1＋2020＝.
2.函數y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函數y＝loga|x|的圖象大致是( )
答案 B
解析 ∵y＝a|x|的值域為{y|y≥1}，
∴a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數，又函數y＝loga|x|的圖象關于y軸對稱.
因此y＝loga|x|的大致圖象應為選項B.
3.已知a＝，b＝，c＝，則( )
A.b
，所以a＝>＝b.因為y＝在(0，＋∞)上為單調遞增函數，所以a＝<＝c，即b0，
∴f(1)f(2)<0，
∴函數f(x)＝log2x－的零點在區(qū)間(1,2)內.
6.已知函數f(x)＝ln＋x3，若函數y＝f(x)＋f(k－x2)有兩個零點，則實數k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因為f(x)＝ln＋x3在區(qū)間(－1,1)上單調遞增，且是奇函數，令y＝f(x)＋f(k－x2)＝0，則f(x)＝－f(k－x2)＝f(x2－k).
由函數y＝f(x)＋f(k－x2)有兩個零點，等價于方程x2－x－k＝0在區(qū)間(－1,1)上有兩個不相等的實根，令g(x)＝x2－x－k，則滿足解得－200，得1.12n>.
兩邊取對數，得nlg1.12>lg2－lg1.3，
∴n>≈＝，∴n≥4，
∴從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.
10.已知函數f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，則實數b的取值范圍為( )
A.[1,3] B.(1,3)
C.[2－，2＋] D.(2－，2＋)
答案 D
解析 函數f(x)＝ex－1的值域為(－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3的值域為(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，則需g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，所以b2－4b＋2＜0，解得2－＜b＜2＋.
11.已知函數f(x)＝且關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是________.
答案 (1，＋∞)
解析 畫出函數y＝f(x)與y＝a－x的圖象如圖所示，所以a>1.
12.已知f(x)＝則f(x)≥－2的解集是________.
答案 ∪(0,4]
解析 當x＜0時，f(x)≥－2，即≥－2，可轉化為1＋x≤－2x，得x≤－；當x＞0時，f(x)≥－2，
即≥－2，可轉化為≥，解得0＜x≤4.
綜上可知不等式的解集為∪(0,4].
1.若函數f(x)＝ax－ka－x (a>0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函數又是增函數，則函數g(x)＝loga(x＋k)的大致圖象是( )
答案 B
解析 由題意得f(0)＝0，解得k＝1，a>1，
所以g(x)＝loga(x＋1)為(－1，＋∞)上的增函數，
且g(0)＝0，故選B.
2.如果函數y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，則a的值為( )
A. B.1
C.3 D.或3
答案 D
解析 令ax＝t(t>0)，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1
＝(t＋1)2－2.
當a>1時，因為x∈[－1,1]，所以t∈，
又函數y＝(t＋1)2－2在上單調遞增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(負值舍去)；
當00，且a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調遞減區(qū)間是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在
(－∞，2]上單調遞減，在[2，＋∞)上單調遞增，所以f(x)在(－∞，2]上單調遞增，在[2，＋∞)上單調遞減.
3.函數f(x)＝lnx＋ex(e為自然對數的底數)的零點所在的區(qū)間是( )
A.B.C.(1，e) D.(e，＋∞)
答案 A
解析 函數f(x)＝lnx＋ex在(0，＋∞)上單調遞增，
因此函數f(x)最多只有一個零點.
又f＝－2<0，
f＝ln＋＝－1>0，f(1)＝e>0，
∴函數f(x)＝lnx＋ex(e為自然對數的底數)的零點所在的區(qū)間是.
4.函數y＝(0≤x＜3)的值域是( )
A.(0,1] B.(e－3，e] C.[e－3,1] D.[1，e]
答案 B
解析 ∵y＝＝(0≤x＜3)，
當0≤x＜3時，－3＜－(x－1)2＋1≤1，
∴e－3＜≤e1，即e－3＜y≤e，
∴函數的值域是(e－3，e].
5.函數f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值為( )
A.B.C.2D.4
答案 B
解析 當a＞1時，由a＋loga2＋1＝a，得loga2＝－1，
所以a＝，與a＞1矛盾；當0＜a＜1時，由1＋a＋loga2＝a，得loga2＝－1，所以a＝.
6.已知函數f(x)＝設m>n≥－1，且f(m)＝f(n)，則mf(m)的最小值為( )
A.4B.2C.D.2
答案 D
解析 當－1≤x<1時，f(x)＝52x∈，f(0)＝5；當x≥1時，f(x)＝1＋≤5，f(4)＝，1≤m<4.mf(m)＝m＋≥2，當且僅當m＝時取等號，故選D.
7.已知函數f(x)＝(a∈R)，若函數f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，0)
C.(－1,0) D.[－1,0)
答案 D
解析 當x＞0時，f(x)＝2x－1.令f(x)＝0，解得x＝；當x≤0時，f(x)＝ex＋a，此時函數f(x)＝ex＋a在(－∞，0]上有且僅有一個零點，等價轉化為方程ex＝－a在(－∞，0]上有且僅有一個實根，而函數y＝ex在(－∞，0]上的值域為(0,1]，所以0＜－a≤1，解得－1≤a＜0.故選D.
8.函數f(x)＝的圖象如圖所示，則下列結論成立的是( )
A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0
C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 由f(x)＝及圖象可知，x≠－c，－c＞0，則c＜0；當x＝0時，f(0)＝＞0，所以b＞0；當f(x)＝0時，ax＋b＝0，所以x＝－＞0，所以a＜0，故選C.
9.已知冪函數f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數，那么n的值為________.
答案 1
解析 由于f(x)為冪函數，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，經檢驗，只有n＝1符合題意.
10.函數f(x)的定義域為實數集R，f(x)＝對于任意x∈R都有f(x＋2)＝f，若在區(qū)間[－5,3]內函數g(x)＝f(x)－mx＋m恰有三個不同的零點，則實數m的取值范圍是__________.
答案
解析 ∵f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(x)＝f(x＋4)，f(x)是以4為周期的函數，若在區(qū)間[－5,3]上函數g(x)＝f(x)－mx＋m恰有三個不同的零點，則f(x)和y＝m(x－1)的圖象在[－5,3]上有三個不同的交點，y＝m(x－1)恒過點C(1,0)，畫出函數f(x)在[－5,3]上的圖象，如圖所示，
由kAC＝－，kBC＝－，結合圖象得m∈.
11.設函數f(x)＝則函數y＝f(f(x))－1的零點個數為________.
答案 2
解析?、佼攛≤0時，y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，則x＝1，顯然與x≤0矛盾，所以當x≤0時，y＝f(f(x))－1無零點.
②當x＞0時，分兩種情況：當x＞1時，log2x＞0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，
令log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，解得x＝4；
當0＜x≤1時，log2x≤0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝－1＝x－1，
令x－1＝0，解得x＝1.
綜上，函數y＝f(f(x))－1的零點個數為2.
12.函數f(x)＝的圖象與函數g(x)＝2sinx在區(qū)間[0,4]上的所有交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.
答案
解析 如圖，畫出函數f(x)和g(x)在[0,4]上的圖象，
可知有4個交點，并且關于點(2,0)對稱，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.
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