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模塊綜合檢測
(時(shí)間120分鐘 滿分150分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系為( )
A．f(x)>g(x) B．f(x)＝g(x)
C．f(x)
0，所以f(x)>g(x)．
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝，B＝60，那么角A等于( )
A．135 B．90
C．45 D．30
解析：選C 由正弦定理知＝，
∴sin A＝＝＝.
又a0的解集為(－∞，1)∪(m，＋∞)，則a＋m＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：選D 由題意，知1，m是方程x2－3ax＋2＝0的兩個(gè)根，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得所以a＋m＝3，故選D.
4．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于( )
A．40 B．42
C．43 D．45
解析：選B 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則2a1＋3d＝13，∴d＝3，
故a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝32＋123＝42.
5．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60，則BC邊上的高等于( )
A. B.
C. D.
解析：選B 由余弦定理得AB2＋4－2AB2cos 60＝7，解得AB＝3或AB＝－1(舍去)，設(shè)BC邊上的高為x，由三角形面積關(guān)系得BCx＝ABBCsin 60，解得x＝，故選B.
6．某汽車公司有兩家裝配廠，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型的汽車，若A廠每小時(shí)可完成1輛甲型車和2輛乙型車；B廠每小時(shí)可完成3輛甲型車和1輛乙型車．今欲制造40輛甲型車和40輛乙型車，若要使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最少，那么這兩家工廠工作的時(shí)間分別為( )
A．16,8 B．15,9
C．17,7 D．14,10
解析：選A 設(shè)A工廠工作x小時(shí)，B工廠工作y小時(shí)，總工作時(shí)數(shù)為z，則目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋y，約束條件為作出可行域如圖所示，由圖知當(dāng)直線l：y＝－x＋z過Q點(diǎn)時(shí)，z最小，解方程組得Q(16,8)，故A廠工作16小時(shí)，B廠工作8小時(shí)，可使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最少．
7．若log4(3x＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
解析：選D 由log4(3a＋4b)＝log2，得log2(3a＋4b)＝log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2＋4，b＝3＋2時(shí)取等號，故選D.
8．定義max{a，b}＝設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝max{4x＋y,3x－y}的取值范圍是( )
A．[－8,10] B．[－7,10]
C．[－6,8] D．[－7,8]
解析：選B 做出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．令4x＋y≥3x－y，得x≥－2y，當(dāng)x≥－2y時(shí)，z＝4x＋y；當(dāng)x<－2y時(shí)，z＝3x－y.在同一直角坐標(biāo)系中作出直線x＋2y＝0的圖象，如圖所示．當(dāng)(x，y)在平面區(qū)域CDEF內(nèi)運(yùn)動時(shí)(含邊界區(qū)域)，此時(shí)x≥－2y，故z＝4x＋y，可知目標(biāo)函數(shù)z＝4x＋y在D(2,2)時(shí)取到最大值10，在F(－2，1)時(shí)取到最小值－7；當(dāng)(x，y)在平面區(qū)域ABCF內(nèi)運(yùn)動時(shí)(含邊界區(qū)域但不含線段CF)，此時(shí)x<－2y，故z＝3x－y，可知目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y在B(2，－2)時(shí)取到最大值8，在F(－2,1)時(shí)z＝3x－y＝－7，所以在此區(qū)域內(nèi)－70且xy＝2，則的最小值是________，此時(shí)x＝________，y＝________.
解析：因?yàn)閤，y>0且xy＝2，由于＝＝＝＝(x＋2y)－，令x＋2y＝t，則t＝x＋2y≥2＝4，有t－在[4，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝4時(shí)有最小值4－＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)取等號．
答案：1 2 1
三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
16．(14分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通項(xiàng)an；
(2)若Sn＝242，求n.
解：(1)設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
則解得
∴通項(xiàng)an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d＝242，得12n＋2＝242，解得n＝11，或n＝－22(舍去)．故n＝11.
17．(15分)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若對于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范圍．
解：(1)因?yàn)閒(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
所以2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，
所以0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，知－＝5，＝0，
所以b＝－10，c＝0，所以f(x)＝2x2－10x.
(2)對任意的x∈[－1,1]，f(x)＋t≤2恒成立等價(jià)于對任意的x∈[－1,1]，2x2－10x＋t－2≤0恒成立．
設(shè)g(x)＝2x2－10x＋t－2，
則由二次函數(shù)的圖象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在區(qū)間[－1,1]上為減函數(shù)，
所以g(x)max＝g(－1)＝10＋t，所以10＋t≤0，即t≤－10，所以t的取值范圍為(－∞，－10]．
18．(15分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
解：(1)設(shè){an}的公差為d，則Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－n.
(2)由(1)知＝
＝，
從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為－＋－＋…＋－＝.
19．(15分)在△ABC中，BC＝6，點(diǎn)D在BC邊上，且(2AC－AB)cos A＝BCcos C.
(1)求角A的大??；
(2)若AD為△ABC的中線，且AC＝2，求AD的長；
(3)若AD為△ABC的高，且AD＝3，求證：△ABC為等邊三角形．
解：(1)由(2AC－AB)cos A＝BCcos C及正弦定理，有(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，
得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B，所以cos A＝.
因?yàn)?
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