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專題05 導(dǎo)數(shù)壓軸題的零點(diǎn)及恒成立、有解問題 1．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理科）已知函數(shù)． （1）若，證明：當(dāng)時(shí)，； （2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求． 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于． 設(shè)函數(shù)，則． 當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減． 而，故當(dāng)時(shí)，，即． ①若，即，在沒有零點(diǎn)； ②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)； ③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)， 由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以． 故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，． 2．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. 【解析】（1）的定義域?yàn)?，? （?。┤簦瑒t，所以在單調(diào)遞減. （ⅱ）若，則由得. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 又，故在有一個(gè)零點(diǎn). 設(shè)正整數(shù)滿足，則. 由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn). 綜上，的取值范圍為. 【名師點(diǎn)睛】研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大于0的點(diǎn). 3．（2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理科）設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增； （Ⅱ）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，對(duì)任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對(duì)于任意，的充要條件是即①，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，即①式成立；當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，，即；當(dāng)時(shí)，，即．綜上可知，的取值范圍是． 【名師點(diǎn)睛】(Ⅰ)先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的取值范圍討論導(dǎo)函數(shù)在和的符號(hào)即可；(Ⅱ)恒成立，等價(jià)于．由是兩個(gè)獨(dú)立的變量，可研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值為，最大值可能是或，故只需，從而得關(guān)于的不等式，因不易解出，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號(hào)，從而得解． 1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，一般出現(xiàn)在解答題的壓軸題中，難度較大，這類零點(diǎn)一般都不能直接求出數(shù)值，而是利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化思想和分離變量等求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍. 2．利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立問題或有解問題是近年來高考的熱點(diǎn)問題，這類問題往往融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)于一體，以函數(shù)知識(shí)為載體，利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值、最值，綜合性強(qiáng)，很好地考查了考生的分析問題和解決問題的能力，解決這類問題的關(guān)鍵是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及整體構(gòu)造法和參數(shù)分離法. 指點(diǎn)1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題 對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，由函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)方程有個(gè)實(shí)數(shù)根函數(shù)與軸有個(gè)交點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來，再作出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象特征從而求出參數(shù)的取值范圍.也可以根據(jù)函數(shù)的最值或極值的符號(hào)，即利用函數(shù)的性質(zhì)去確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此方法主要是通過數(shù)形結(jié)合的方法確定存在零點(diǎn)的條件. 【例1】設(shè)函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （1）若,求的單調(diào)區(qū)間; （2）若,求證:無零點(diǎn)． 【解析】（1）若,則,∴． 令,則, 當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,又, ∴當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增． ∴的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為． （2）當(dāng)時(shí),，顯然無零點(diǎn)． 當(dāng)時(shí), (i)當(dāng)時(shí),，顯然無零點(diǎn)． (ii)當(dāng)時(shí)，易證，∴, ∴． 令，則， 令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 故，從而，顯然無零點(diǎn). 綜上,無零點(diǎn)． 指點(diǎn)2：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立、有解問題 利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題、有解問題，通常采用分類討論思想或分離參變量的方法，通過函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值，利用最值去研究恒成立問題、有解問題，此類問題最后都化歸為與函數(shù)最值有關(guān)的問題. 一般地，若恒成立，只需即可；若恒成立，只需即可.若存在，使得成立，只需即可；若存在，使得成立，只需即可. 【例2】已知函數(shù)，. （1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處的公共切線為，求，，的值； （2）當(dāng)時(shí)，若，，求的取值范圍. 【解析】（1）設(shè)它們的公共交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 則 . ，則，①； ，則，②. 由②得，由①得. 將，代入得，∴，. （2）由，得， 即在上恒成立， 令 ， 則， 其中在上恒成立， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 則，∴. 故的取值范圍是. 1．設(shè)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是. （1）求的解析式； （2）若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式在時(shí)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】（1）. ∵的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2)，∴， 解得∴. （2）由（1）得， 當(dāng)時(shí)，≥0，∴在上單調(diào)遞增，∴. 要使關(guān)于的不等式在時(shí)有解， 即，即對(duì)任意恒成立, 只需在上恒成立. 設(shè)，，則， 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴. 要使在上恒成立，只需，則. 故的取值范圍是. 2．已知函數(shù)． （1）證明：當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)． （2）①當(dāng)時(shí)，易得關(guān)于x的方程不成立； ②當(dāng)時(shí)，由可得，即， 令，則問題可轉(zhuǎn)化為討論直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 由，可得，易知恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增， 又易知當(dāng)時(shí)，恒成立，且， 所以當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. 3．設(shè)函數(shù). （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）若，且在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍. 【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，? 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增. （2）若，且在區(qū)間上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間上.由（1）中的討論，知 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，, 即，從而得； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，