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6.3　等比數(shù)列 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 1.等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算 1.理解等比數(shù)列的概念 2.掌握等比數(shù)列的通項公式 3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 4.掌握等比數(shù)列的前n項和公式 2018天津文,18 等比數(shù)列的通項公式 數(shù)列求和的基本方法 ★★★ 2.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 能利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決相應(yīng)的問題 2016天津,5 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 充分必要條件的判斷 ★★★ 分析解讀　　天津高考對等比數(shù)列的考查主要是基本量的運算、an和Sn的關(guān)系以及等比數(shù)列的性質(zhì).對等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)及等比中項的考查,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度較小.對前n項和以及與其他知識(函數(shù)、不等式)相結(jié)合的考查,多以解答題的形式出現(xiàn).解決問題時要注意下標(biāo)之間的關(guān)系,并選擇適當(dāng)?shù)墓? 破考點 【考點集訓(xùn)】 考點一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算 1.已知等比數(shù)列{an}中,a1=1,且a4+a5+a8a1+a2+a5=8,那么S5的值是(　　) A.15　　　　B.31　　　　C.63　　　　D.64 答案　B　 2.已知等比數(shù)列{an}中,a2=2,a3a4=32,那么a8的值為　　　　. 答案　128 3.(2014安徽,12,5分)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=　　　　. 答案　1 4.(2011北京文,12,5分)在等比數(shù)列{an}中,若a1=12,a4=4,則公比q=　　　　;a1+a2+…+an=　　　　. 答案　2;2n-1-12 考點二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 5.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則下列結(jié)論一定成立的是(　　) A.若a5>0,則a2017<0　　　　B.若a6>0,則a2018<0　　　　C.若a5>0,則S2017>0　　　　D.若a6>0,則S2018>0 答案　C　 6.已知等比數(shù)列{an}的公比q>0,其前n項和為Sn,若a1=1,4a3=a2a4. (1)求公比q和a5的值; (2)求證:Snan<2. 解析　(1)因為{an}為等比數(shù)列,且4a3=a2a4, 所以4a3=a32, 又由題意知an≠0,所以a3=4, 所以q2=a3a1=4,所以q=2, 又因為q>0,所以q=2. 所以a5=a1q4=16. (2)證法一:因為a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,n∈N*, Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1, 所以Snan=2n-12n-1=2-12n-1,因為12n-1>0,所以Snan=2-12n-1<2. 證法二:因為a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1, Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1, 所以Snan-2=-12n-1<0,所以Snan<2. 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　等比數(shù)列的基本運算技巧 1.(2015課標(biāo)Ⅱ,4,5分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(　　) A.21　　　　B.42　　　　C.63　　　　D.84 答案　B　 2.(2015課標(biāo)Ⅱ文,9,5分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=14,a3a5=4(a4-1),則a2=(　　) A.2　　　　B.1　　　　C.12　　　　D.18 答案　C　 方法2　等比數(shù)列的判定 3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=4an-3(n∈N*). (1)證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{bn}的通項公式. 解析　(1)證明:由Sn=4an-3可知, 當(dāng)n=1時,a1=4a1-3,解得a1=1. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(4an-3)-(4an-1-3)=4an-4an-1,即an=43an-1, ∴{an}是首項為1,公比為43的等比數(shù)列. (2)由(1)可知an=43n-1, 由bn+1=an+bn(n∈N*)得bn+1-bn=an=43n-1. 所以當(dāng)n≥2時,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2+430+431+…+43n-2 =2+1-43n-11-43=343n-1-1. 當(dāng)n=1時上式也滿足條件, 故數(shù)列{bn}的通項公式為bn=343n-1-1,n∈N*. 思路分析　(2)根據(jù)(1)求數(shù)列{an}的遞推公式,代入bn+1=an+bn(n∈N*),可得數(shù)列{bn}的遞推公式,再用迭代法即可求出{bn}的通項公式. 4.(2016課標(biāo)Ⅲ,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式; (2)若S5=3132,求λ. 解析　(1)由題意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=11-λ,a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 由a1≠0,λ≠0得an≠0, 所以an+1an=λλ-1. 因此{(lán)an}是首項為11-λ,公比為λλ-1的等比數(shù)列,于是an=11-λλλ-1n-1. (2)由(1)得Sn=1-λλ-1n. 由S5=3132得1-λλ-15=3132,即λλ-15=132. 解得λ=-1. 思路分析　(1)先由題設(shè)利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是看an+1與an之比是不是一常數(shù),其中說明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)問的結(jié)論解方程求出λ. 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 考點一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算 　(2018天津文,18,13分)設(shè){an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn(n∈N*);{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項和為Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值. 解析　本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力. (1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因為q>0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=1-2n1-2=2n-1. 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4. 由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,從而a1=1,d=1,故an=n, 所以,Sn=n(n+1)2. (2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2. 由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得 n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n的值為4. 考點二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(2016天津,5,5分)設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的(　　) A.充要條件　　　　B.充分而不必要條件　　　　C.必要而不充分條件　　　　D.既不充分也不必要條件 答案　C　 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算 1.(2017課標(biāo)Ⅱ,3,5分)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈(　　) A.1盞　　　　B.3盞　　　　C.5盞　　　　D.9盞 答案　B　 2.(2017課標(biāo)Ⅲ,14,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=　　　　. 答案　-8 3.(2017江蘇,9,5分)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3=74,S6=634,則a8=　　　　. 答案　32 4.(2016課標(biāo)Ⅰ,15,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為　　　　. 答案　64 5.(2018課標(biāo)Ⅲ,17,12分)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項公式; (2)記Sn為{an}的前n項和.若Sm=63,求m. 解析　本題考查等比數(shù)列的概念及其運算. (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-2)n3. 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6. 6.(2017課標(biāo)Ⅰ,17,12分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通項公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列. 解析　本題考查等差、等比數(shù)列. (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)可得 a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6,解得q=-2,a1=-2. 故{an}的通項公式為an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13. 由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23 =2-23+(-1)n2n+13=2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列. 方法總結(jié)　等差、等比數(shù)列的常用公式: (1)等差數(shù)列: 遞推關(guān)系式:an+1-an=d,常用于等差數(shù)列的證明. 通項公式:an=a1+(n-1)d. 前n項和公式:Sn=(a1+an)n2=na1+n(n-1)2d. (2)等比數(shù)列: 遞推關(guān)系式:an+1an=q(q≠0),常用于等比數(shù)列的證明. 通項公式:an=a1qn-1. 前n項和公式:Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q(q≠1). (3)在證明a,b,c成等差、等比數(shù)列時,還可以利用等差中項:a+c2=b或等比中項:ac=b2來證明. 考點二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則(　　) A.a1a3,a2a4　　　　D.a1>a3,a2>a4 答案　B　 2.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項和等于　　　　. 答案　2n-1 3.(2014廣東,13,5分)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+…+lna20=　　　　. 答案　50 4.(2017山東,19,12分)已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求數(shù)列{xn}的通項公式; (2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn. 解析　本題考查等比數(shù)列基本量的計算,錯位相減法求和. (1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q,由已知知q>0. 由題意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2. 所以3q2-5q-2=0.因為q>0,所以q=2,x1=1. 因此數(shù)列{xn}的通項公式為xn=2n-1. (2)過P1,P2,…,Pn+1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,…,Qn+1. 由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1, 記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn, 由題意bn=(n+n+1)22n-1=(2n+1)2n-2, 所以Tn=b1+b2+…+bn =32-1+520+721+…+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2,① 2Tn=320+521+722+…+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1.② ①-②得 -Tn=32-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)2n-1 =32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)2n-1. 所以Tn=(2n-1)2n+12. 解題關(guān)鍵　記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn,以幾何圖形為背景確定{bn}的通項公式是關(guān)鍵. 方法總結(jié)　一般地,如果{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項和時,可采用錯位相減法.在寫“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式. 5.(2014課標(biāo)Ⅱ,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明an+12是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式; (2)證明1a1+1a2+…+1an<32. 解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12. 又a1+12=32,所以an+12是首項為32,公比為3的等比數(shù)列. an+12=3n2,因此{(lán)an}的通項公式為an=3n-12. (2)證明:由(1)知1an=23n-1. 因為當(dāng)n≥1時,3n-1≥23n-1, 所以13n-1≤123n-1. 于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32. 所以1a1+1a2+…+1an<32. 評析本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放縮求和是本題的難點. C組　教師專用題組 考點一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算 1.(2014大綱全國,10,5分)等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lgan}的前8項和等于(　　) A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3 答案　C　 2.(2013課標(biāo)Ⅱ,3,5分)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=(　　) A.13　　　　B.-13　　　　　　　　C.19　　　　D.-19 答案　C　 3.(2013大綱全國,6,5分)已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0,a2=-43,則{an}的前10項和等于(　　) A.-6(1-3-10)　　　　B.19(1-3-10)　　　　C.3(1-3-10)　　　　D.3(1+3-10) 答案　C　 4.(2015四川,16,12分)設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)的前n項和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列1an的前n項和為Tn,求Tn. 解析　(1)由Sn=2an-a1, 得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2). 從而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因為a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.故an=2n. (2)由(1)得1an=12n. 所以Tn=12+122+…+12n=121-12n1-12=1-12n. 評析本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力. 考點二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(2013陜西,17,12分)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列. (1)推導(dǎo){an}的前n項和公式; (2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列. 解析　(1)設(shè){an}的前n項和為Sn, 當(dāng)q=1時,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 當(dāng)q≠1時,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, ∴Sn=a1(1-qn)1-q, ∴Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q,q≠1. (2)證明:假設(shè){an+1}是等比數(shù)列,則對任意的k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), ak+12+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, a12q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, ∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1. ∵q≠0,令k=1,則q2-2q+1=0, ∴q=1,這與已知矛盾. ∴假設(shè)不成立,故{an+1}不是等比數(shù)列. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),1)“ac=b2”是“a,b,c成等比數(shù)列”的(　　) A.充分不必要條件　　　　B.必要不充分條件　　　　C.充要條件　　　　D.既不充分也不必要條件 答案　B　 2.(2018天津一模,5)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則“a1>0”是“S2019>S2018”的(　　) A.充要條件　　　　B.充分而不必要條件　　　　C.必要而不充分條件　　　　D.既不充分也不必要條件 答案　A　 3.(2018天津?qū)氎嬉恢心M,4)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn,則“|q|=1”是“S4=2S2”的(　　) A.充分不必要條件　　　　B.必要不充分條件　　　　C.充要條件　　　　D.既不充分也不必要條件 答案　C　 4.(2018天津南開中學(xué)第三次月考,3)在等比數(shù)列{an}中,若a2=243,a6=3,則a4等于(　　) A.3　　　　B.27　　　　C.3　　　　D.27 答案　B　 5.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),3)已知等比數(shù)列{an}中,各項都是正數(shù),且a1,12a3,2a2成等差數(shù)列,則a8+a9a6+a7等于(　　) A.1+2　　　　B.1-2　　　　C.3+22　　　　D.3-22 答案　C　 6.(2019屆天津七校聯(lián)考,5)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a2=2,a7=64,則當(dāng)n≥2時,a1a3+a2a4+…+an-1an+1=(　　) A.2n-2　　　　B.2n+1-2　　　　C.4n+1-43　　　　D.4n-43 答案　D　 7.(2018天津南開中學(xué)第五次月考,6)等比數(shù)列{an}的首項為2,項數(shù)為奇數(shù),其奇數(shù)項之和為8532,偶數(shù)項之和為2116,這個等比數(shù)列前n項的積為Tn(n≥2),則Tn的最大值為(　　) A.14　　　　B.12　　　　C.1　　　　D.2 答案　D　 8.(2017天津南開中學(xué)第四次月考,6)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-n,正項等比數(shù)列{bn}中,b2=a3,bn+3bn-1=4bn2(n≥2,n∈N+),則log2bn=(　　) A.n　　　　B.2n-1　　　　C.n-2　　　　D.n-1 答案　A　 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2019屆天津薊州一中月考,11)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,a3=8a6,則S4S2的值為　　　　. 答案　54 10.(2019屆天津河西期中,10)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項和等于　　　　. 答案　2n-1 三、解答題(共25分) 11.(2017天津十二區(qū)縣一模,18)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a1+a3=20,a2=8. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=nan,Sn是數(shù)列{bn}的前n項和,不等式Sn+n2n+1>(-1)na對任意正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. 解析　(1)由題意得,a1(1+q2)=20,a1q=8,∴2q2-5q+2=0, ∵公比q>1, ∴a1=4,q=2,∴{an}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列, ∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1(n∈N*). (2)∵bn=nan=n2n+1, ∴Sn=122+223+324+…+n2n+1,① 12Sn=123+224+…+n-12n+1+n2n+2.② 由①-②得, 12Sn=122+123+124+…12n+1-n2n+2, ∴Sn=12+122+123+…+12n-n2n+1=12-12n+112-n2n+1=1-n+22n+1, ∵不等式Sn+n2n+1>(-1)na對任意正整數(shù)n恒成立, ∴(-1)na<1-12n對任意正整數(shù)n恒成立,設(shè)f(n)=1-12n,n∈N*,易知f(n)單調(diào)遞增. n為奇數(shù)時,f(n)的最小值為12, ∴-a<12,即a>-12, n為偶數(shù)時,f(n)的最小值為34,∴a<34. 綜上,-12

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天津?qū)Ｓ?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.3 等比數(shù)列精練 天津 專用 2020 高考 數(shù)學(xué) 一輪 復(fù)習(xí) 等比數(shù)列 精練

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