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第八節(jié) 函數與方程
課時作業(yè)練
1.已知函數f(x)=2x-1,x≤1,1+log2x,x>1,則函數f(x)的零點為 .
答案 0
解析 當x≤1時,由2x-1=0解得x=0;當x>1時,方程1+log2x=0無解.所以函數f(x)的零點為0.
2.(2017鹽城伍佑中學期末)若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一個根在區(qū)間(0,1)上,另一個根在區(qū)間(1,2)上,則實數m的取值范圍是 .
答案 (-4,-2)
解析 令f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,由題意得f(0)=-m-2>0,f(1)=-8-2m<0,f(2)=-3m>0,解得-4
0,所以函數的零點在區(qū)間(5,6)上,則n=5.
4.已知函數y=f(x)的圖象是連續(xù)曲線,且有如下的對應值表:
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
-74
14.5
-56.7
-123.6
則函數y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有 個.
答案 3
解析 由零點存在性定理及題表可知,函數f(x)在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)內均有零點,所以y=f(x)在[1,6]上至少有3個零點.
5. 若函數f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點,則實數a的取值范圍是 .
答案 -14,2
解析 函數f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點,即方程a=4x-2x,x∈[-1,1]有解,則a的取值范圍就是函數y=4x-2x,x∈[-1,1]的值域,令2x=t,t∈12,2,y=t2-t=t-122-14,t∈12,2,值域是-14,2,即a的取值范圍是-14,2.
6.方程cosx+π2=|log18x|的解的個數為 .
答案 12
解析 ∵cosx+π2=|log18x|,∴|sin x|=|log18x|,
作出函數y=|sin x|與y=|log18x|在(0,+∞)上的大致圖象,如圖所示.
由圖可知函數y=|sin x|與y=|log18x|的圖象有12個交點,
∴方程cosx+π2=|log18x|有12個解.
7.(2019江蘇南京、鹽城高三模擬)設函數f(x)是偶函數,當x≥0時, f(x)=x(3-x),0≤x≤3,-3x+1,x>3,若函數y=f(x)-m有四個不同的零點,則實數m的取值范圍是 .
答案 1,94
解析 畫出當x≥0時f(x)的圖象,根據偶函數的圖象關于y軸對稱可得x<0時f(x)的圖象,由圖象可得m∈1,94.
8.(2018江蘇鹽城階段檢測)已知f(x)是定義在R上的奇函數,且x>0時, f(x)=ln x-x+1,則函數g(x)=f(x)-ex(e為自然對數的底數)的零點個數是 .
答案 2
解析 當x>0時, f(x)=ln x-x+1,則f (x)=1x-1=1-xx.由f (x)=0得x=1,且x∈(0,1)時,
f (x)>0, f(x)單調遞增,x∈(1,+∞)時, f (x)<0, f(x)單調遞減,當x=1時, f(x)有極大值f(1),且f(1)=0.又奇函數的圖象關于原點對稱,作出函數f(x)與y=ex的圖象如圖,由圖可知函數f(x)與y=ex的圖象的交點個數是2,則函數g(x)=f(x)-ex的零點個數是2.
9.(2017興化第一中學高三月考)已知函數f(x)=lnx+1x,x>1,2x2-2ax+a+58,x≤1,若g(x)=f(x)-2a有三個零點,則實數a的取值范圍是 .
答案 12,78
解析 當x>1時, f (x)=x-1x2>0, f(x)遞增,則g(x)有3個零點時,
g(1)=1-2a<0,a>12,且2x2-2ax-a+58=0,x≤1有兩個不相等的實數根,則Δ=4a2-8-a+58>0,a2<1,218-3a≥0,解得120,x+1,x≤0.
(1)求g(f(1))的值;
(2)若方程g(f(x))-a=0有4個實數根,求實數a的取值范圍.
解析 (1)∵f(1)=-12-21=-3,
∴g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.
(2)令f(x)=t,
則原方程可化為g(t)=a.
易知方程f(x)=t僅在t∈(-∞,1)時有2個不同的解,
則原方程有4個解等價于函數y=g(t)(t<1)與y=a的圖象有2個不同的交點,
作出函數y=g(t)(t<1)的圖象,
如圖所示,
由圖象可知,
當1≤a<54時,
函數y=g(t)(t<1)與y=a的圖象有2個不同的交點,
即所求a的取值范圍是1,54.
11.(2018常州教育學會學業(yè)水平檢測)已知m∈R,函數f(x)=lgm+2x.
(1)若函數g(x)=f(x)+lg x2有且僅有一個零點,求實數m的值;
(2)設m>0,任取x1,x2∈[t,t+2],若不等式|f(x1)-f(x2)|≤1對任意t∈19,1恒成立,求m的取值范圍.
解析 (1)由題意知,g(x)=f(x)+lg x2=lg(mx2+2x),
∵g(x)有且僅有一個零點,∴m+2x>0,x2>0,mx2+2x-1=0有且僅有一個解.
當m=0時,x=12,符合題意;
當m≠0時,由Δ=4+4m=0,得m=-1,此時x=1,符合題意.
綜上,m=0或m=-1.
(2)當x>0時,u=m+2x為減函數,
∵m>0,∴u>0,∴y=lg u為增函數,
從而f(x)在(0,+∞)上為減函數.
∵任取x1,x2∈[t,t+2],|f(x1)-f(x2)|≤1對任意t∈19,1恒成立,
∴f(t)-f(t+2)=lgm+2t-lgm+2t+2≤1對任意t∈19,1恒成立.
∴m+2t≤10m+2t+2對任意t∈19,1恒成立,
整理得,9mt2+18(m+1)t-4≥0對任意t∈19,1恒成立.
∵m>0,∴y=9mt2+18(m+1)t-4在t∈19,1上為增函數,
∴當t=19時,ymin=19m+2(m+1)-4≥0,解得m≥1819.
12.已知函數f(x)=2x(x∈R).
(1)解不等式f(x)-f(2x)>16-92x;
(2)若函數q(x)=f(x)-f(2x)-m在[-1,1]上有零點,求實數m的取值范圍;
(3)若函數f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)為奇函數,h(x)為偶函數,若不等式2ag(x)+h(2x)≥0對任意x∈[1,2]恒成立,求實數a的取值范圍.
解析 (1)設t=2x,由f(x)-f(2x)>16-92x得t-t2>16-9t,即t2-10t+16<0,
∴20
解析 將原命題的條件和結論否定,并互換位置即可.
3.(2018泰州模擬)已知函數f(x)=lgx,x>0,2x,x≤0,若f(m)=12,則m= .
答案 10或-1
解析 f(m)=12?m>0,lgm=12或m≤0,2m=12,
解得m=10或m=-1.
4.若f(x)是冪函數,且滿足f(4)f(2)=4,則f12= .
答案 14
解析 設f(x)=xa(a為常數).由 f(4)f(2)=4a2a=2a=4,解得a=2,則f(x)=x2,所以f12=14.
5.(2018江蘇三校聯考)函數f(x)=ex+x的零點在區(qū)間(k-1,k)(k∈Z)內,則k= .
答案 0
解析 函數f(x)在R上遞增,且f(-1)=1e-1<0, f(0)=1>0,則f(x)的零點在(-1,0)內.所以k=0.
6.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2 019)=16,那么f(2 019)的值為 .
答案 -32
解析 由已知得
f(-2 019)=(-2 019)5+a(-2019)3-2 019b-8,
f(2 019)=2 0195+a20193+2 019b-8,
上述兩式相加得f(-2 019)+f(2 019)=-16,
又f(-2 019)=16,∴f(2 019)=-32.
7.已知函數f(x)=1a-1x(a>0,x>0),若f(x)在12,2上的值域為12,2,則a= .
答案 25
解析 因為f(x)在12,2上單調遞增,且值域為12,2,所以f12=12,f(2)=2,
即1a-2=12,1a-12=2,解得a=25.
8.直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個交點,則a的取值范圍是 .
答案 1,54
解析 y=x2-|x|+a是偶函數,圖象如圖所示,若直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個交點,則需滿足a-14<1
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