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9.2　直線、圓的位置關(guān)系 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 直線、圓的位置關(guān)系 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系 2.能用直線與圓的位置關(guān)系解決弦長問題 3.會求圓的切線方程及與圓有關(guān)的最值問題 4.能根據(jù)給定兩圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系 5.會求兩圓相交弦所在直線的方程及弦長 6.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想 2018天津,12 直線、圓的位置關(guān)系 參數(shù)方程 ★★★ 2017天津,11 極坐標(biāo) 2014天津,13 極坐標(biāo) 2012天津,8 點(diǎn)到直線的距離 2012天津文,12 基本不等式 分析解讀　　從高考試題來看,直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題,題型以選擇題和填空題為主,分值大約為5分,主要考查:1.方程中含有參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系的判定;2.利用相切或相交的條件求參數(shù)的值或取值范圍;3.利用相切或相交的條件求圓的切線長或弦長;4.由兩圓的位置關(guān)系判定兩圓的公切線條數(shù).同時考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)　直線、圓的位置關(guān)系 1.(2015重慶,8,5分)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸.過點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=(　　) A.2　　　　B.42　　　　C.6　　　　D.210 答案　C　 2.若直線y=kx+4+2k與曲線y=4-x2有兩個交點(diǎn),則k的取值范圍是(　　) A.[1,+∞)　　　　B.-1,-34　　　　C.34,1　　　　D.(-∞,-1] 答案　B　 3.(2014安徽,6,5分)過點(diǎn)P(-3,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　) A.0,π6　　　　B.0,π3　　　　C.0,π6　　　　D.0,π3 答案　D　 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　與圓有關(guān)的最值問題的求解方法 1.已知P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一點(diǎn),PA是圓C:x2+y2-2y=0的一條切線,A是切點(diǎn),若PA長度的最小值為2,則k的值為(　　) A.3　　　　B.212　　　　C.22　　　　D.2 答案　D　 2.(2015江蘇,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　. 答案　(x-1)2+y2=2 方法2　求解與圓有關(guān)的切線和弦長問題的方法 3.(2015安徽文,8,5分)直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b的值是(　　) A.-2或12　　　　B.2或-12　　　　C.-2或-12　　　　D.2或12 答案　D　 4.(2014浙江文,5,5分)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a的值是(　　) A.-2　　　　B.-4　　　　C.-6　　　　D.-8 答案　B　 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 1.(2018天津,12,5分)已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C,直線x=-1+22t,y=3-22t(t為參數(shù))與該圓相交于A,B兩點(diǎn),則△ABC的面積為　　　　. 答案　12 2.(2017天津,11,5分)在極坐標(biāo)系中,直線4ρcosθ-π6+1=0與圓ρ=2sinθ的公共點(diǎn)的個數(shù)為　　　　. 答案　2 3.(2014天津,13,5分)在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,圓ρ=4sinθ和直線ρsinθ=a相交于A,B兩點(diǎn).若△AOB是等邊三角形,則a的值為　　　　. 答案　3 4.(2012天津,12,5分)設(shè)m,n∈R,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB面積的最小值為　　　　. 答案　3 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 1.(2018課標(biāo)Ⅲ,6,5分)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(　　) A.[2,6]　　　　B.[4,8]　　　　C.[2,32]　　　　D.[22,32] 答案　A　 2.(2018課標(biāo)Ⅰ文,15,5分)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=　　　　. 答案　22 3.(2016課標(biāo)Ⅲ,16,5分)已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=23,則|CD|=　　　　. 答案　4 4.(2016課標(biāo)Ⅲ文,15,5分)已知直線l:x-3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).則|CD|=　　　　. 答案　4 5.(2015湖南文,13,5分)若直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點(diǎn),且∠AOB=120(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則r=　　　　. 答案　2 6.(2014重慶文,14,5分)已知直線x-y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B兩點(diǎn),且AC⊥BC,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　. 答案　0或6 7.(2014課標(biāo)Ⅱ,16,5分)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45,則x0的取值范圍是　　　　. 答案　[-1,1] 8.(2015課標(biāo)Ⅰ文,20,12分)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn). (1)求k的取值范圍; (2)若OMON=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|. 解析　(1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1. 因為l與C交于兩點(diǎn),所以|2k-3+1|1+k2<1.解得4-730,解得t2<45,所以53b>0)過點(diǎn)(0,2),且離心率e=22. (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)直線l:x=my-1(m∈R)交橢圓E于A,B兩點(diǎn),判斷點(diǎn)G-94,0與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由. 解析　(1)由已知得b=2,ca=22,a2=b2+c2.解得a=2,b=2,c=2. 所以橢圓E的方程為x24+y22=1. (2)解法一:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為H(x0,y0). 由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,從而y0=mm2+2. 所以|GH|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1)y02+52my0+2516. |AB|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24 =(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]4=(1+m2)(y02-y1y2), 故|GH|2-|AB|24=52my0+(1+m2)y1y2+2516=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0,所以|GH|>|AB|2. 故點(diǎn)G-94,0在以AB為直徑的圓外. 解法二:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則GA=x1+94,y1,GB=x2+94,y2.由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2, 從而GAGB=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0, 所以cos>0.又GA,GB不共線,所以∠AGB為銳角. 故點(diǎn)G-94,0在以AB為直徑的圓外. 評析本題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.(2017天津河?xùn)|二模,4)若a,b∈R,直線l:y=ax+b,圓C:x2+y2=1.命題p:直線l與圓C相交;命題q:a>b2-1,則p是q的(　　) A.充分不必要條件　　　　B.必要不充分條件　　　　C.充要條件　　　　D.既不充分也不必要條件 答案　B　 2.(2017天津河西一模,6)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若其漸近線與圓x2+y2-4y+3=0相切,則此雙曲線的離心率等于(　　) A.12　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.2 答案　B　 3.(2018天津南開中學(xué)第三次月考,7)已知圓C:x2+(y-2)2=1與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線相切,且和圓x2+y2=b2外切,則雙曲線方程為(　　) A.x2-3y2=1　　　　B.3x2-y2=1　　　　C.x2-y23=1　　　　D.x23-y2=1 答案　B　 4.(2018天津一中5月月考,5)已知圓C:x2+y2+2x+23y+1=0與雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線相切,則雙曲線的離心率為(　　) A.263　　　　B.233　　　　C.43　　　　D.7 答案　B　 二、填空題(每小題5分,共25分) 5.(2018天津部分區(qū)縣期末,13)以點(diǎn)(0,b)為圓心的圓與直線y=2x+1相切于點(diǎn)(1,3),則該圓的方程為　　　　　　　. 答案　x2+y-722=54 6.(2018天津和平第一次質(zhì)量檢查,10)若直線l:x+3y+1=0與圓x2+y2-2ax=0(a>0)相切,則a的值為　　　　. 答案　1 7.(2018天津部分區(qū)縣質(zhì)量檢查(2),11)已知直線k(x+1)+y+2=0恒過點(diǎn)C,且以C為圓心,5為半徑的圓與直線3x+4y+1=0相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長為　　　　. 答案　221 8.(2018天津南開中學(xué)第四次月考,13)已知圓C:(x-m)2+(y-n)2=9的圓心在第一象限,直線l:x+2y+2=0被圓C所截得的弦長為4,則m+2nmn的最小值為　　　　. 答案　83 9.(2017天津十二區(qū)縣二模,12)已知兩圓x2+y2=10和(x-1)2+(y-a)2=20相交于A、B兩個不同的點(diǎn),且直線AB與直線3x-y+1=0垂直,則實(shí)數(shù)a=　　　　. 答案　3