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第7練　三角函數的圖象與性質 [明晰考情]　1.命題角度：三角函數的性質；三角函數的圖象變換；由三角函數的圖象求解析式.2.題目難度：三角函數的圖象與性質常與三角變換相結合，難度為中低檔. 考點一　三角函數的圖象及變換 要點重組　(1)五點法作簡圖：y＝Asin(ωx＋φ)的圖象可令ωx＋φ＝0，，π，，2π，求出x的值，作出對應點得到. (2)圖象變換：平移、伸縮、對稱. 特別提醒　由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象時，需平移個單位長度，而不是|φ|個單位長度. 1.(2016全國Ⅱ)函數y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 答案　A 解析　由題圖可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五點作圖法可知2＋φ＝，所以φ＝－，所以函數的解析式為y＝2sin，故選A. 2.(2018溫州瑞安七中模擬)函數y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位長度后，得到一個偶函數的圖象，則φ的一個可能的值為(　　) A. B. C.0 D.－ 答案　B 解析　令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)， 則f＝sin＝sin， 因為f為偶函數， 所以＋φ＝kπ＋，k∈Z， 所以φ＝kπ＋，k∈Z， 所以當k＝0時，φ＝. 故φ的一個可能的值為. 3.(2018天津)將函數y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(　　) A.在區(qū)間上單調遞增 B.在區(qū)間上單調遞減 C.在區(qū)間上單調遞增 D.在區(qū)間上單調遞減 答案　A 解析　函數y＝sin的圖象向右平移個單位長度后的解析式為y＝sin＝sin2x，則函數y＝sin2x的一個單調增區(qū)間為，一個單調減區(qū)間為.由此可判斷選項A正確. 故選A. 4.已知角φ的終邊經過點P(1，－1)，點A(x1，y1)，B(x2，y2)是函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)圖象上的任意兩點.若|f(x1)－f(x2)|＝2時，|x1－x2|的最小值為，則f＝________. 答案?。? 解析　由已知得，函數的周期為， ∴ω＝3，又tanφ＝－1，且角φ在第四象限， ∴可取φ＝－，∴f(x)＝sin， 故f＝sin＝－. 考點二　三角函數的性質 方法技巧　(1)整體思想研究性質：對于函數y＝Asin(ωx＋φ)，可令t＝ωx＋φ，考慮y＝Asint的性質. (2)數形結合思想研究性質. 5.(2018全國Ⅰ)已知函數f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D.f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 答案　B 解析　∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－＋2＝cos2x＋， ∴f(x)的最小正周期為π，最大值為4. 故選B. 6.(2018南昌十所省重點中學模擬)函數y＝2sin2－1是(　　) A.最小正周期為π的偶函數 B.最小正周期為π的奇函數 C.最小正周期為的偶函數 D.最小正周期為的奇函數 答案　A 解析　∵y＝－cos(2x＋3π)＝cos2x， ∴函數y＝2sin2－1是最小正周期為π的偶函數. 7.使函數f(x)＝sin＋cos(2x＋θ)是奇函數，且在上是減函數的θ的一個值是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　f(x)＝2sin， 當θ＝時，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x，f(x)為奇函數. 又此時f(x)的減區(qū)間為，k∈Z， ∴f(x)在上是減函數. 故選B. 8.關于函數f(x)＝2(sinx－cosx)cosx的四個結論： p1：f(x)的最大值為； p2：把函數g(x)＝sin2x－1的圖象向右平移個單位長度后可得到函數f(x)的圖象； p3：f(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z； p4：f(x)圖象的對稱中心為，k∈Z. 其中正確的結論有(　　) A.1個B.2個C.3個D.4個 答案　B 解析　f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＝sin－1， ∴f(x)max＝－1，∴p1錯； 應將g(x)＝sin2x－1的圖象向右平移個單位長度后得到f(x)的圖象，∴p2錯；p3，p4正確， 故正確的結論有2個. 考點三　三角函數圖象與性質的綜合 要點重組　函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離是半個周期，一個最高點和與其相鄰的一個最低點的橫坐標之差的絕對值也是半個周期，兩個相鄰的最高點之間的距離是一個周期，一個對稱中心和與其最近的一條對稱軸之間的距離是四分之一個周期. 9.(2018湖南重點名校高三入學大聯考)已知函數f(x)＝sinωx－cosωx(ω<0)，若y＝f的圖象與y＝f的圖象重合，記ω的最大值為ω0，則函數g(x)＝cos的單調遞增區(qū)間為(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　A 解析　f(x)＝2sin，由已知得為函數f(x)的一個周期，即＝k，k∈Z，又ω<0， ∴ω＝－4k，k∈N*， ∴ω0＝－4， ∴g(x)＝cos＝cos， 令2kπ－π≤4x＋≤2kπ，k∈Z， 解得－≤x≤－，k∈Z. ∴g(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. 10.(2017天津)設函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，則(　　) A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－ C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝ 答案　A 解析　∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π， ∴f(x)的最小正周期為4＝3π， ∴ω＝＝， ∴f(x)＝2sin. 又f＝2， 即2sin＝2，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 得φ＝2kπ＋，k∈Z. 又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝. 11.已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象與直線y＝a(0＜a＜A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是2,4,8，則f(x)的單調遞減區(qū)間是(　　) A.[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z B.[6kπ－3,6kπ]，k∈Z C.[6k,6k＋3]，k∈Z D.[6k－3,6k]，k∈Z 答案　D 解析　因為函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象與直線y＝a(0＜a＜A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是2,4,8，所以T＝＝8－2＝6，且當x＝＝3時函數取得最大值，所以ω＝，3＋φ＝＋2nπ，n∈Z，所以φ＝－＋2nπ，n∈Z，所以f(x)＝Asin.由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，可得6k＋3≤x≤6k＋6，k∈Z. 12.已知ω>0，在函數y＝2sinωx與y＝2cosωx的圖象的交點中，距離最近的兩個交點的距離為2，則ω＝________. 答案　 解析　令ωx＝X，則函數y＝2sinX與y＝2cosX圖象的交點坐標分別為，，k∈Z. 因為距離最近的兩個交點的距離為2，所以相鄰兩交點橫坐標最短距離是2＝，所以T＝4＝，所以ω＝. 1.(2016全國Ⅱ)若將函數y＝2sin2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為(　　) A.x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z) C.x＝－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z) 答案　B 解析　由題意將函數y＝2sin2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數的解析式為y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得函數的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)，故選B. 2.若關于x的方程sin＝k在[0，π]上有兩解，則k的取值范圍是________. 答案　[1，) 解析　∵0≤x≤π， ∴≤x＋≤， ∴－1≤sin≤， 又sin＝k在[0，π]上有兩解， ∴結合圖象(圖略)可知k的取值范圍是[1，). 3.已知函數y＝sin在區(qū)間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數t的最小值是________. 答案　8 解析　如圖，結合函數的圖象知， T＝6，且≤t， ∴t≥，又∵t為正整數， ∴tmin＝8. 解題秘籍　(1)圖象平移問題要搞清平移的方向和長度，由f(ωx)的圖象得到f(ωx＋φ)的圖象平移了個單位長度(ω≠0). (2)研究函數的性質時要結合圖象，對參數范圍的確定要注意區(qū)間端點能否取到. 1.將函數f(x)＝sin的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象的一條對稱軸方程可能是(　　) A.x＝－ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 答案　D 解析　將函數f(x)＝sin的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數y＝sin的圖象，由x＋＝＋kπ，k∈Z， 得x＝＋2kπ，k∈Z， ∴當k＝0時，函數圖象的對稱軸方程為x＝. 2.(2018淮北模擬)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其部分圖象如圖所示，則函數f(x)的解析式為(　　) A.f(x)＝2sin B.f(x)＝2sin C.f(x)＝2sin D.f(x)＝2sin 答案　B 解析　由題圖知， A＝2，由＝－，得T＝4π.所以ω＝＝， 又2sin＝－2，即sin＝－1， 所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 解得φ＝＋2kπ(k∈Z). 因為0<φ<π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin.故選B. 3.(2018全國Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是減函數，則a的最大值是(　　) A. B. C. D.π 答案　A 解析　f(x)＝cosx－sinx ＝－＝－sin， 當x∈，即x－∈時， y＝sin單調遞增， f(x)＝－sin單調遞減. ∵函數f(x)在[－a，a]上是減函數， ∴[－a，a]?， ∴0＜a≤，∴a的最大值為. 故選A. 4.(2017全國Ⅲ)設函數f(x)＝cos，則下列結論錯誤的是(　　) A.f(x)的一個周期為－2π B.y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱 C.f(x＋π)的一個零點為x＝ D.f(x)在單調遞減 答案　D 解析　A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確； B項，因為f(x)＝cos圖象的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱，B項正確； C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，k∈Z，當k＝1時，x＝，所以f(x＋π)的一個零點為x＝，C項正確； D項，因為f(x)＝cos的遞減區(qū)間為(k∈Z)，遞增區(qū)間為(k∈Z)， 所以是f(x)的單調遞減區(qū)間，是f(x)的單調遞增區(qū)間，D項錯誤. 故選D. 5.(2018昆明模擬)已知常數ω>0，f(x)＝－1＋2sinωxcosωx＋2cos2ωx圖象的對稱中心到對稱軸的距離的最小值為，若f(x0)＝，≤x0≤，則cos2x0等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f(x)＝－1＋2sinωxcosωx＋2cos2ωx ＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin， 因為對稱中心到對稱軸的距離的最小值為， 所以T＝π. 由T＝＝π，可得ω＝1. 又f(x0)＝，即2sin＝， 因為≤x0≤， 所以≤2x0＋≤， 又sin＝>0， 所以cos＝－. 那么cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.故選D. 6.設函數f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其圖象關于直線x＝0對稱，則(　　) A.y＝f(x)的最小正周期為π，且在上單調遞增 B.y＝f(x)的最小正周期為π，且在上單調遞減 C.y＝f(x)的最小正周期為，且在上單調遞增 D.y＝f(x)的最小正周期為，且在上單調遞減 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ) ＝2sin，因為其圖象關于x＝0對稱， 所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z). 又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝2cos2x. 其最小正周期T＝＝π，且在上單調遞減. 7.已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均為正的常數)的最小正周期為π，當x＝時，函數f(x)取得最小值，則下列結論正確的是(　　) A.f(2)0，∴φmin＝， 故f(x)＝Asin. 于是f(0)＝Asin， f(2)＝Asin ＝Asin＝Asin， f(－2)＝Asin＝Asin ＝Asin＝Asin. 又∵－<－4<4－<<， y＝Asinx在上單調遞增， ∴f(2)0， 所以ω＝2k＋1(k∈N)， 又因為f(x)在上單調， 所以－＝≤＝，即ω≤12， 若ω＝11，又|φ|≤， 則φ＝－， 此時，f(x)＝sin，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，不滿足條件. 若ω＝9，又|φ|≤，則φ＝， 此時，f(x)＝sin，滿足f(x)在上單調的條件. 由此得ω的最大值為9，故選B. 9.(2018全國Ⅲ)函數f(x)＝cos在[0，π]上的零點個數為______. 答案　3 解析　由題意可知，當3x＋＝kπ＋(k∈Z)時，f(x)＝cos＝0. ∵x∈[0，π]， ∴3x＋∈， ∴當3x＋的取值為，，時，f(x)＝0， 即函數f(x)＝cos在[0，π]上的零點個數為3. 10.已知f1(x)＝sincosx，f2(x)＝sinxsin(π＋x)，若設f(x)＝f1(x)－f2(x)，則f(x)的單調遞增區(qū)間是________. 答案　(k∈Z) 解析　由題意知，f1(x)＝－cos2x，f2(x)＝－sin2x，f(x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x，令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.故f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z). 11.已知函數f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則f＝______. 答案　 解析　如題干圖所示，可知＝－＝， 所以T＝， 所以＝，所以ω＝2. 因為圖象過點， 所以Atan＝0， 即tan＝0.又|φ|＜， 所以φ＝. 又圖象過點(0,1)， 即Atan＝1， 所以A＝1，所以f(x)＝tan. 所以f＝tan＝tan＝. 12.已知函數f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ)的圖象向右平移個單位長度后關于y軸對稱，則f(x)在區(qū)間上的最小值為________. 答案?。? 解析　f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ) ＝－2sin， 將其圖象向右平移個單位長度后， 得y＝－2sin ＝－2sin. 由其圖象關于y軸對稱，得－－φ＝＋kπ，k∈Z， ∴φ＝－－kπ，k∈Z. 由|φ|＜，得φ＝. 即f(x)＝－2sin. ∵－≤x≤0，∴－≤2x－≤－， ∴－≤f(x)≤2，則f(x)在區(qū)間上的最小值為－.