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第30練　坐標系與參數方程 [明晰考情]1.命題角度：高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數方程與普通方程的互化，常見曲線的參數方程及參數方程的簡單應用.以極坐標方程、參數方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識.2.題目難度：中檔難度. 考點一　曲線的極坐標方程 方法技巧　(1)進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響，靈活運用代入法和平方法等技巧. (2)由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，可先轉化為直角坐標方程，然后求解. 1.已知圓的極坐標方程為ρ＝4cosθ，圓心為C，點P的極坐標為，求CP的長. 解　由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ， 即x2＋y2＝4x， 即(x－2)2＋y2＝4，∴圓心C(2,0)， 又由點P的極坐標為， 可得點P的直角坐標為(2,2)， ∴|CP|＝＝2. 2.在極坐標系中，曲線C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，求a的值. 解　ρ(cosθ＋sinθ)＝1， 即ρcosθ＋ρsinθ＝1對應的普通方程為x＋y－1＝0， ρ＝a(a>0)對應的普通方程為x2＋y2＝a2. 在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝. 將代入x2＋y2＝a2，得a＝. 3.在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos＝3和ρsin2θ＝8cosθ，直線l與曲線C交于點A，B，求線段AB的長. 解　∵ρcos＝ρcosθcos－ρsinθsin ＝ρcosθ－ρsinθ＝3， ∴直線l對應的直角坐標方程為x－y＝6. 又∵ρsin2θ＝8cosθ， ∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ， ∴曲線C對應的直角坐標方程是y2＝8x. 解方程組 得或 ∴不妨取A(2，－4)，B(18,12)， ∴|AB|＝＝16. 即線段AB的長為16. 考點二　參數方程及其應用 要點重組　過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數方程的標準形式為(t為參數)，t的幾何意義是的數量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應的參數分別為t1，t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點對應的參數為(t1＋t2). 方法技巧　(1)參數方程化為普通方程：由參數方程化為普通方程就是要消去參數，消參數時常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，且消參數時要注意參數的取值范圍對x，y的限制. (2)在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數方程代入相關曲線的普通方程中，根據參數的取值條件求解. 4.已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數). (1)寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值. 解　(1)曲線C的參數方程為(θ為參數). 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為 d＝|4cosθ＋3sinθ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tanα＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 5.在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(θ為參數)，直線l經過點P(1,2)，傾斜角α＝. (1)寫出圓C的標準方程和直線l的參數方程； (2)設直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA||PB|的值. 解　(1)圓C的標準方程為x2＋y2＝16. 直線l的參數方程為(t為參數)， 即(t為參數). (2)把直線l的參數方程(t為參數)代入x2＋y2＝16， 得2＋2＝16， 即t2＋(＋2)t－11＝0. 所以t1t2＝－11，即|PA||PB|＝|t1t2|＝11. 6.已知橢圓C：＋＝1，直線l：(t為參數). (1)寫出橢圓C的參數方程及直線l的普通方程； (2)設A(1,0)，若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等，求點P的坐標. 解　(1)橢圓C的參數方程為(θ為參數)， 直線l的普通方程為x－y＋9＝0. (2)設P(2cosθ，sinθ)， 則|AP|＝＝2－cosθ， 點P到直線l的距離 d＝＝. 由|AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5， 又sin2θ＋cos2θ＝1， 得sinθ＝，cosθ＝－. 故P. 考點三　極坐標方程與參數方程的綜合應用 方法技巧　(1)解決極坐標與參數方程的綜合問題的關鍵是掌握極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數方程與普通方程的互化.涉及圓、圓錐曲線上的點的最值問題，往往通過參數方程引入三角函數，利用三角函數的最值求解. (2)數形結合的應用，即充分利用參數方程中參數的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的. 7.(2017全國Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為 (θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數). (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l的距離的最大值為，求a. 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點坐標是(3,0)，. (2)直線l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的點(3cosθ，sinθ)到l距離d＝. 當a≥－4時，d的最大值為. 由題設得＝，所以a＝8； 當a<－4時，d的最大值為. 由題設得＝， 所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 8.已知曲線C的參數方程為(θ為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin＝4. (1)寫出曲線C的極坐標方程和直線l的普通方程； (2)若射線θ＝與曲線C交于O，A兩點，與直線l交于B點，射線θ＝與曲線C交于O，P兩點，求△PAB的面積. 解　(1)由(θ為參數)，消去θ， 得普通方程為(x－2)2＋y2＝4. 從而曲線C的極坐標方程為ρ2－4ρcosθ＝0， 即ρ＝4cosθ， ∵直線l的極坐標方程為ρsin＝4， 即ρsinθ＋ρcosθ＝4， ∴直線l的直角坐標方程為x＋y－8＝0. (2)依題意知，A，B兩點的極坐標分別為，， 聯(lián)立射線θ＝與曲線C的極坐標方程，得P點極坐標為， ∴|AB|＝2， ∴S△PAB＝22sin＝2. 9.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 (α為參數).以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標. 解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1. C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設點P的直角坐標為(cosα，sinα). 因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為點P到C2的距離d(α)的最小值， d(α)＝＝. 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為. 典例　(10分)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l與橢圓C的極坐標方程分別為cosθ＋2sinθ＝0和ρ2＝. (1)求直線l與橢圓C的直角坐標方程； (2)若Q是橢圓C上的動點，求點Q到直線l距離的最大值. 審題路線圖 ―→ 規(guī)范解答評分標準 解　(1)由cosθ＋2sinθ＝0，得ρcosθ＋2ρsinθ＝0，即x＋2y＝0， 所以直線l的直角坐標方程為x＋2y＝0. 由ρ2＝，得ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4，即x2＋4y2＝4，所以＋y2＝1. 所以橢圓C的直角坐標方程為＋y2＝1.4分 (2)因為橢圓C：＋y2＝1的參數方程為(α為參數)，6分 可設Q(2cosα，sinα)， 因此點Q到直線l：x＋2y＝0的距離 d＝＝，8分 所以當α＝kπ＋，k∈Z時，d取得最大值. 故點Q到直線l的距離的最大值為.10分 構建答題模板 [第一步]　互化：將極坐標方程與直角坐標方程互化； [第二步]　引參：引進參數，建立橢圓的參數方程； [第三步]　列式：利用距離公式求出距離表達式； [第四步]　求最值：利用三角函數求出距離的最值. 1.(2018全國Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為(θ為參數)，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點. (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數方程. 解　(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點. 當α≠時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點，即點O到l的距離小于半徑1，當且僅當＜1，解得k＜－1或k＞1， 即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數方程為 . 設A，B，P對應的參數分別為tA，tB，tP， 則tP＝， 且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數方程是 . 2.已知曲線C的參數方程為(α為參數)，以直角坐標系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線C的極坐標方程，并說明方程表示什么軌跡； (2)若直線l的極坐標方程為sinθ－cosθ＝，求直線l被曲線C截得的弦長. 解　(1)因為曲線C的參數方程為 (α為參數)， 所以曲線C的普通方程為 (x－3)2＋(y－1)2＝10，① 曲線C表示以C(3,1)為圓心，為半徑的圓. 將代入①并化簡，得 ρ＝6cosθ＋2sinθ， 即曲線C的極坐標方程為ρ＝6cosθ＋2sinθ. (2)因為直線l的直角坐標方程為y－x＝1， 所以圓心C到直線y＝x＋1的距離d＝， 所以直線被曲線C截得的弦長為2＝. 3.已知曲線C1的參數方程為(t為參數)，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2cos，以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系. (1)求曲線C2的直角坐標方程； (2)求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值. 解　(1)ρ＝2cos＝2(cosθ＋sinθ)， 即ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)， 可得x2＋y2－2x－2y＝0， 故C2的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)由C1的參數方程可得， C1的普通方程為x＋y＋2＝0. 由(1)知曲線C2是以(1,1)為圓心，為半徑的圓， 且圓心到直線C1的距離d＝＝， 所以動點M到曲線C1的距離的最大值為. 4.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數，0≤θ<π)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝－4cosα，圓C的圓心到直線l的距離為. (1)求θ的值； (2)已知P(1,0)，若直線l與圓C交于A，B兩點，求＋的值. 解　(1)由直線l的參數方程為(t為參數，0≤θ<π)，消去參數t，得xsinθ－ycosθ－sinθ＝0. 圓C的極坐標方程為ρ＝－4cosα， 即ρ2＝－4ρcosα， 可得圓C的普通方程為x2＋y2＋4x＝0，即為(x＋2)2＋y2＝4， 可知圓心為(－2,0)，半徑為2，圓C的圓心到直線l的距離為d＝＝3sinθ. 由題意可得d＝， 即3sinθ＝，則sinθ＝， ∵0≤θ<π， ∴θ＝或θ＝. (2)已知P(1,0)，則點P在直線l上，直線l與圓C交于A，B兩點，將 代入圓C的普通方程x2＋y2＋4x＝0， 得(1＋tcosθ)2＋(tsinθ)2＋4(1＋tcosθ)＝0， ∴t2＋6tcosθ＋5＝0. 設A，B對應的參數為t1，t2，則t1＋t2＝－6cosθ，t1t2＝5， ∵t1t2>0，∴t1，t2同號， ∴＋＝＋＝＝＝.