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5.概率與統(tǒng)計 1.(2018安徽省六安一中適應性考試)全世界越來越關注環(huán)境保護問題，某監(jiān)測站點于2019年1月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)(AQⅠ)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下： 空氣質(zhì)量指數(shù) (μg/m3) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,250] 空氣質(zhì)量等級 空氣優(yōu) 空氣良 輕度污染 中度污染 重度污染 天數(shù) 20 40 m 10 5 (1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖； (2)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于[50,100)和[150,200)的監(jiān)測數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，再從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣質(zhì)量等級都為良”發(fā)生的概率. 解　(1)∵0.00450＝， ∴n＝100，∵20＋40＋m＋10＋5＝100， ∴m＝25，＝0.008； ＝0.005； ＝0.002； ＝0.001. (2)在空氣質(zhì)量指數(shù)為[50,100)和[150,200)的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取4天和1天，在所抽取的5天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為[50,100)的4天分別記為a，b，c，d；將空氣質(zhì)量指數(shù)為[150,200)的1天記為e，從中任取2天的基本事件分別為：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種，其中事件A“兩天空氣質(zhì)量等級都為良”包含的基本事件為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6種，所以事件A“兩天空氣質(zhì)量等級都為良”發(fā)生的概率是P(A)＝＝. 2.為了豐富退休生活，老王堅持每天健步走，并用計步器記錄每天健步走的步數(shù).他從某月中隨機抽取20天的健步走步數(shù)(老王每天健步走的步數(shù)都在[6,14]之間，單位：千步)，繪制出頻率分布直方圖(不完整)如圖所示. (1)完成頻率分布直方圖，并估計該月老王每天健步走的平均步數(shù)(每組數(shù)據(jù)可用區(qū)間中點值代替)； (2)某健康組織對健步走步數(shù)的評價標準如下表： 每天步數(shù)分組(千步) [6,8) [8,10) [10,14] 評價級別 及格 良好 優(yōu)秀 現(xiàn)從這20天中評價級別是“及格”和“良好”的天數(shù)里隨機抽取2天，求這2天的健步走結(jié)果屬于同一評價級別的概率. 解　(1)設落在分組[10,12)中的頻率為x，則2＝1，得x＝0.5， 所以各組中的頻數(shù)分別為2,3,10,5. 完成的頻率分布直方圖如圖所示： 老王該月每天健步走的平均步數(shù)約為 (70.05＋90.075＋110.25＋130.125)2＝10.8(千步). (2)設評價級別是及格的2天分別為a，b，評價級別是良好的3天分別為x，y，z， 則從這5天中任意抽取2天，共有10種不同的結(jié)果： ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz， 所抽取的2天屬于同一評價級別的結(jié)果共4種：ab，xy，xz，yz. 所以，從這20天中評價級別是“及格”和“良好”的天數(shù)里隨機抽取2天，屬于同一評價級別的概率P＝＝. 3.為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：噸)對價格y(單位：千元/噸)和利潤Z的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如表： x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 (1)求y關于x的線性回歸方程＝x＋； (2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預測當年產(chǎn)量約為多少時，年利潤Z取到最大值？(保留兩位小數(shù)) 參考公式：＝＝，＝－. 解　(1)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5， iyi＝17.0＋26.5＋35.5＋43.8＋52.2＝62.7，＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴＝＝＝－1.23， ＝－＝5－(－1.23)3＝8.69， ∴y關于x的線性回歸方程是＝8.69－1.23x. (2)年利潤Z＝x(8.69－1.23x)－2x＝－1.23x2＋6.69x， ∴當年產(chǎn)量約為2.72噸時，年利潤Z最大. 4.某校高二奧賽班N名學生的物理測評成績(滿分120分)的頻率分布直方圖如下，已知分數(shù)在100～110的學生有21人. (1)求總?cè)藬?shù)N和分數(shù)在110～115的人數(shù)n； (2)現(xiàn)準備從分數(shù)在110～115的n名學生中任選2人，求其中恰好有一名女生的概率； (3)為了分析某個學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議，對他前7次考試的數(shù)學成績x(滿分150分)，物理成績y進行分析，下面是該生7次考試的成績. 數(shù)學 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 已知該生的物理成績y與數(shù)學成績x是線性相關的，若該生的數(shù)學成績達到130分，請你估計他的物理成績大約是多少？ 附：＝，＝－. 解　(1)分數(shù)在100～110內(nèi)的學生的頻率為P1＝(0.04＋0.03)5＝0.35， 所以該班總?cè)藬?shù)N＝＝60， 分數(shù)在110～115內(nèi)的學生的頻率為P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)5＝0.1， 分數(shù)在110～115內(nèi)的人數(shù)n＝600.1＝6. (2)由(1)可知，分數(shù)在110～115內(nèi)有6名學生，其中女生有2名，男生有4名， 設男生為A1，A2，A3，A4，女生為B1，B2， 從6名學生中選出2人的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15個. 其中恰好有一名女生的基本事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8個， 所以所求的概率為P＝. (3)＝100＋＝100， ＝100＋＝100. 由于x與y之間具有線性相關關系，根據(jù)公式得到＝＝0.5，＝100－0.5100＝50， 所以線性回歸方程為＝0.5x＋50， 所以當x＝130時，＝115. 所以他的物理成績的估計值是115分.