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階段質(zhì)量檢測（一） 導數(shù)及其應用
(時間： 120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．以正弦曲線y＝sin x上一點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
解析：選A y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切線的斜率范圍是[－1,1]，∴傾斜角的范圍是∪.
2．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析：選A 設極值點依次為x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，則f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上遞增，在(x1，x2)，(x3，b)上遞減，因此，x1，x3是極大值點，只有x2是極小值點．
3．函數(shù)f(x)＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.
B.
C. ，
D.，
解析：選A ∵f′(x)＝2x－＝，當0＜x≤時，f′(x)≤0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
4．函數(shù)f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A．1 B.
C．0 D．－1
解析：選A f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，
則x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，
f＝－＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值為1.
5.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)＝a(x－b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是( )
解析：選D 由導函數(shù)圖象可知，當x<0時，函數(shù)f(x)遞減，排除A、B；當0
0，函數(shù)f(x)遞增．因此，當x＝0時，f(x)取得極小值，故選D.
6．定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且f(x)的導函數(shù)f′(x)>，則滿足2f(x)1} D．{x|x>1}
解析：選B 令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，
∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)為單調(diào)增函數(shù)，
∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴當x<1時，
g(x)<0，即2f(x)π－2>1>π－3>0，
∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c0知，
f′(x)與1－x＋ex－1同號．
令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1.
所以當x∈(－∞，1)時，g′(x)<0，
g(x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減；
當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，
g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
故g(1)＝1是g(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的最小值，
從而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
綜上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．
18．(本小題滿分15分)某個體戶計劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為x(x≥0)萬元時，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投資額為零時收益為零．
(1)求a，b的值；
(2)如果該個體戶準備投入5萬元經(jīng)銷這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大利潤．
解：(1)由投資額為零時收益為零，
可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．
設投入經(jīng)銷B商品的資金為x萬元(0＜x≤5)，
則投入經(jīng)銷A商品的資金為(5－x)萬元，
設所獲得的收益為S(x)萬元，
則S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)
＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
當0＜x＜2時，S′(x)＞0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞增；
當2＜x≤5時，S′(x)＜0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞減．
所以當x＝2時，函數(shù)S(x)取得最大值，
S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6萬元．
所以，當投入經(jīng)銷A商品3萬元，B商品2萬元時，
他可獲得最大收益，收益的最大值約為12.6萬元．
19．(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ln(1－x)(a為常數(shù))．
(1)若f(x)在x＝－1處有極值，求a的值并判斷x＝－1是極大值點還是極小值點；
(2)若f(x)在[－3，－2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
解：(1)f′(x)＝2ax－，x∈(－∞，1)，
f′(－1)＝－2a－1＝0，
所以a＝－.
f′(x)＝－x－＝.
∵x<1，∴1－x>0，x－2<0，
因此，當x<－1時f′(x)>0，
當－1
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階段質(zhì)量檢測一導數(shù)及其應用
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