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南京大學數(shù)學分析，高等代數(shù)考研真題 南京大學2002年數(shù)學分析考研試題 一 求下列極限。 （1）； （2）設(shè)，， （i）在上的最大值； （ii）設(shè)，，，，求。 二 設(shè)，試證明在內(nèi)有無窮多個零點。 三 設(shè)在的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且，， （1）求； （2）求； （3）證明在點處取得最小值。 四 設(shè)在的某個鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，且，試證明： （1）； （2）級數(shù)絕對收斂。 五 計算下列積分 （1）求； （2），其中是圓柱面，三個坐標平面及旋轉(zhuǎn)拋物面所圍立體的第一象限部分的外側(cè)曲面。 六 設(shè)，在內(nèi)可導，不恒等于常數(shù)，且， 試證明：在內(nèi)至少存在一點，使。 七 在變力的作用下，質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面 , 第一象限的點,問取何值時，所做的功最大，并求的最大值。 八 （1）證明：，； （2）求。 南京大學2002年數(shù)學分析考研試題解答 一 （1）解 . （2）解 （i）, 當時，，在上單增， 當時，，在上單減， 所以在處達到最大值，； （ii）當時，， ， ， ， ，， ， 單調(diào)遞增有上界，設(shè)，則有 ，，， ； 當時，，； 當時，，， ， 二 證明 因為， ，， 顯然在上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在使得 ， 即得在上有無窮多個零點。 三 解 （1）， 因為，所以， ， ， 于是； （3）由知，存在，當時，，， 即知中在處取得極小值。 四 、證明 （1）由，知， 由知. （2）， ，已知收斂，其中， 于是收斂，結(jié)論得證。 五 （1）解 , 所以 . （2）解 曲面，事物交線為，， ， ， 其中是區(qū)域的邊界時，利用高斯公式， . 當是的邊界時，利用高斯公式 . 六 證明 證法一 用反證法，假若結(jié)論不成立，則對任意，都有，在上單調(diào)遞減，由于不恒等于常數(shù)，所以不恒等于零，存在一點，使得，，存在，使得 ，， 因為，， 所以，這與矛盾，從而假設(shè)不成立，原結(jié)論得證。 證法2 由于在上連續(xù)，在上取到最大值和最小值，且，由于，所以的最大值或最小值必在內(nèi)達到。 若在處達到最大值，存在使得 ， 從而有； 若在處達到最小值，存在使得 ， 從而有； 結(jié)論得證。 七 解 設(shè)，則有，所以是有勢場， ， 由于時， ， ， 等號成立當且僅當， 所以時，達到最大值，且的最大值為。 八 證明 （1）由于當時，有， 對任意，，取，， 所以有； （2）取， 有，收斂， 對任意，在上一致收斂于， 故由函數(shù)列積分的黎曼控制收斂定理， 。 南京大學2003年數(shù)學分析考研試題 一 求下列極限 （1）設(shè)，求； （2）設(shè)，，，求。 （3）。 二 過點作拋物線的切線，求 （1）切線方程； （2）由拋物線、切線及軸所圍成的平面圖形面積； （3）該平面圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。 三 對任一，求在中的最大值， 并證明該最大值對任一，均小于。 四 設(shè)在上有連續(xù)導數(shù)，且，，（為常數(shù)），試證：在內(nèi)僅有一個零點。 五 計算下列積分 （1）設(shè)，，求和； （2），其中為上半球面，的外側(cè)。 六 設(shè)，在上黎曼可積， （1）求，并討論在上的一致收斂性； （2）求，（要說明理由） 七 設(shè)的收斂半徑為，令，試證明：在上一致收斂于，其中為任一有窮閉區(qū)間。 南京大學2003年數(shù)學分析考研試題解答 一 （1）解 設(shè)，則有， 由此知，； （2）解 由歸納法，易知，， ， 由此知，單調(diào)遞增有界，設(shè)，， 則有 ， ，故。 （3） ， ， 故。 3 解 （1），設(shè)切點為，， 設(shè)切點的切線方程為。 將，代入，， ， ，， 所求切線方程為，即。 （2）解。 （3） ， 。 三 解 ， 當時，， 當時，， 于是在處達到最大值， 。 容易證明在上單調(diào)遞減，， ， 故有. 四 證明 對任意， , 當充分大時，有，又，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在，， 由，在上嚴格單調(diào)遞增，所以在內(nèi)僅有一個零點。 五 （1）解 ， 顯然， ， ， . （2）解 ， ， . 六、解 ， 由于極限函數(shù)在上不連續(xù)， 所以在上不一致收斂； 但對任何在上一致收斂于0； 且， 根據(jù)控制收斂定理， 對于在上黎曼可積， 有 。 七、 證明 由條件知在上連續(xù)，在任意有限區(qū)間上是一致收斂的， 對任意有限區(qū)間，在上一致收斂于， 在上一致有界，， 再由在上一致連續(xù)， 于是有在上一致收斂于.