數(shù)學分析三試卷及答案.doc
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《數(shù)學分析》(三)――參考答案及評分標準 一. 計算題(共8題,每題9分,共72分)。 1. 求函數(shù)在點(0,0)處的二次極限與二重極限. 解: ,因此二重極限為.……(4分) 因為與均不存在, 故二次極限均不存在。 ……(9分) 2. 設(shè) 是由方程組所確定的隱函數(shù),其中和分別具有連續(xù)的導數(shù)和偏導數(shù),求. 解: 對兩方程分別關(guān)于求偏導: , ……(4分) 。 解此方程組并整理得. ……(9分) 3. 取為新自變量及為新函數(shù),變換方程 。 設(shè) (假設(shè)出現(xiàn)的導數(shù)皆連續(xù)). 解:看成是的復合函數(shù)如下: 。 ……(4分) 代人原方程,并將變換為。整理得: 。 ……(9分) 4. 要做一個容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省? 解: 設(shè)圓桶底面半徑為,高為,則原問題即為:求目標函數(shù)在約束條件下的最小值,其中 目標函數(shù): , 約束條件: 。 ……(3分) 構(gòu)造Lagrange函數(shù):。 令 ……(6分) 解得,故有 由題意知問題的最小值必存在,當?shù)酌姘霃綖楦邽闀r,制作圓桶用料最省。 ……(9分) 5. 設(shè),計算. 解:由含參積分的求導公式 ……(5分) 。 ……(9分) 6. 求曲線所圍的面積,其中常數(shù). 解:利用坐標變換 由于,則圖象在第一三象限,從而可以利用對稱性,只需求第一象限內(nèi)的面積。 。 ……(3分) 則 ……(6分) . ……(9分) 7. 計算曲線積分,其中是圓柱面與平面的交線(為一橢圓),從軸的正向看去,是逆時針方向. 解: 取平面上由曲線所圍的部分作為Stokes公式中的曲面,定向為上側(cè),則的法向量為 。 ……(3分) 由Stokes公式得 ……(6分) ……(9分) 8. 計算積分,為橢球的上半部分的下側(cè). 解:橢球的參數(shù)方程為,其中且 。 ……(3分) 積分方向向下,取負號,因此, ……(6分) ……(9分) 二. 證明題(共3題,共28分)。 9.(9分) 討論函數(shù)在原點(0,0)處的連續(xù)性、可偏導性和可微性. 解:連續(xù)性:當時, ,當, 從而函數(shù)在原點處連續(xù)。 ……(3分) 可偏導性:, , 即函數(shù)在原點處可偏導。 ……(5分) 可微性: 不存在, 從而函數(shù)在原點處不可微。 ……(9分) 10.(9分) (9分) 設(shè)滿足: (1)在上連續(xù), (2), (3)當固定時,函數(shù)是的嚴格單減函數(shù)。 試證:存在,使得在上通過定義了一個函數(shù),且在上連續(xù)。 證明:(i)先證隱函數(shù)的存在性。 由條件(3)知,在上是的嚴格單減函數(shù),而由條件(2)知,從而由函數(shù)的連續(xù)性得 , 。 現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)。由于,則必存在使得 , 。 同理,則必存在使得 , 。 取,則在鄰域內(nèi)同時成立 , 。 ……(3分) 于是,對鄰域內(nèi)的任意一點,都成立 , 。 固定此,考慮一元連續(xù)函數(shù)。由上式和函數(shù)關(guān)于的連續(xù)性可知,存在的零點使得 =0。 而關(guān)于嚴格單減,從而使=0的是唯一的。再由的任意性,證明了對內(nèi)任意一點,總能從找到唯一確定的與相對應,即存在函數(shù)關(guān)系或。此證明了隱函數(shù)的存在性。 ……(6分) (ii)下證隱函數(shù)的連續(xù)性。 設(shè)是內(nèi)的任意一點,記。 對任意給定的,作兩平行線 , 。 由上述證明知 , 。 由的連續(xù)性,必存在的鄰域使得 , , 。 對任意的,固定此并考慮的函數(shù),它關(guān)于嚴格單減且 , 。 于是在內(nèi)存在唯一的一個零點使 , 即 對任意的,它對應的函數(shù)值滿足。這證明了函數(shù)是連續(xù)的。 ……(9分) 11.(10分)判斷積分在上是否一致收斂,并給出證明。 證明:此積分在上非一致收斂。證明如下: 作變量替換,則 。 ……(3分) 不論正整數(shù)多么大,當時,恒有。 ……(5分) 因此, ……(7分) ,當時。 因此原積分在上非一致收斂。 ……(10分) 注:不能用Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的。原因如下: 盡管對任意的積分一致有界,且函數(shù)關(guān)于單調(diào),但是當時,關(guān)于并非一致趨于零。事實上,取 相應地取,則,并非趨于零。 《 數(shù)學分析[3] 》模擬試題 一、 解答下列各題(每小題5分,共40分) 1、 設(shè)求; 2、求 3、設(shè)求在點處的值; 4、求由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分; 5、求函數(shù)在點處的梯度; 6、求曲面在點(1,2,0)處的切平面和法線方程; 7、計算積分:; 8、計算積分:; 二、 (10分)求內(nèi)接于橢球的最大長方體的體積,長方體的各個面平行于坐標面。 三、 (10分)若是由和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域,且,求 四、 (10分)計算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域 . 五、 (10分)計算,其中為,的全部邊界曲線,取逆時針方向。 六、 (10分)計算,其中是半球面。 七、 (10分)討論含參變量反常積分在內(nèi)的一致收斂性。 參考答案 一、解答下列各題(每小題5分,共40分) 1、 設(shè)求; 解:; 。 2、求; 解: 3、設(shè)求在點處的值; 解: 。 4、求由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分; 解:在原方程的兩邊求微分,可得 將代入上式,化簡后得到 5、求函數(shù)在點處的梯度; 解: 。 6、求曲面在點(1,2,0)處的切平面和法線方程; 解:記 在點(1,2,0)處的法向量為: 則切平面方程為:即 法線方程為:,即。 7、計算積分:; 解: 而在上連續(xù),且在[1,2]上一致收斂,則可交換積分次序,于是有 原式。 8、計算積分:; 解:交換積分順序得: 八、 求內(nèi)接于橢球的最大長方體的體積,長方體的各個面平行于坐標面。 解:設(shè)長方體在第一卦限的頂點坐標為(x,y,z),則長方體的體積為: 拉格朗日函數(shù)為 由 解得: 根據(jù)實際情況必有最大值,所以當長方體在第一卦限內(nèi)的頂點坐標為時體積最大。 九、 若D是由和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域,且,求 解: 十、 計算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域 . 解: 。 十一、 計算,其中為,的全部邊界曲線,取逆時針方向。 解:由格林公式: 所以 十二、 計算,其中是半球面。 解: 十三、 討論含參變量反常積分在內(nèi)的一致收斂性。 解:,而收斂, 所以由M判別法知,在內(nèi)的一致收斂。 《 數(shù)學分析[3] 》模擬試題 十四、 解答下列各題(每小題5分,共40分) 1、設(shè),求; 2、,求; 3、設(shè),求; 4、設(shè)是方程所確定的與的函數(shù),求; 5、求函數(shù)在點處沿從點到點的方向?qū)?shù); 6、已知曲面上點P處的切平面平行于平面,求P點的坐標。 7、計算積分:; 8、計算積分:; 二、 (10分)原點到曲線的最大距離和最小距離。 三、(10分)已知,其中為球體:,求 四、(10分)計算,其中D是由圓周所圍成的區(qū)域。 五、(10分)計算,其中為圓周,取逆時針方向。 六、(10分)計算,其中為錐面被拄面所割下部分。 七、 (10分)討論含參變量反常積分在內(nèi)的一致收斂性。 參考答案 十五、 解答下列各題(每小題5分,共40分) 1、設(shè),求; 解: 。 2、,求; 解: 。 3、設(shè),求; 解: 。 4、設(shè)是方程所確定的與的函數(shù),求; 解:方程兩邊求微分,得 。 5、求函數(shù)在點處沿從點到點的方向?qū)?shù); 解:方向即向量的方向,因此x軸到方向的轉(zhuǎn)角。 故所求方向?qū)?shù)為:。 6、已知曲面上點P處的切平面平行于平面,求P點的坐標。 解:設(shè)P點的坐標為,則P點處的切平面為 又因該平面與平面平行, 則有 ,,即。 7、計算積分:; 解: 而在上連續(xù),且在[2,3]上一致收斂,則可交換積分次序,于是有 原式。 8、計算積分:; 解:交換積分順序得: 三、 原點到曲線的最大距離和最小距離。 解:設(shè)P(x,y,z)為曲線上任意點,則目標函數(shù)為,約束條件為,建立拉格朗日函數(shù): 由 得駐點:和,根據(jù)實際情況必有最大值和最小值, 。 四、 已知,其中為球體:,求 解:用球坐標計算,得 故。 四、計算,其中D是由圓周所圍成的區(qū)域。 解:由對稱性知: 故 五、計算,其中為圓周,取逆時針方向。 解:由格林公式: 所以 。 六、計算,其中為錐面被拄面所割下部分。 解:在xoy面上的投影為 八、 討論含參變量反常積分在內(nèi)的一致收斂性。 解:當時,,而收斂, 所以由M判別法知,在內(nèi)的一致收斂。- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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