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線(xiàn)性代數(shù)模擬題A
一.單選題.
1.下列( A )是4級(jí)偶排列.
(A) 4321; (B) 4123; (C) 1324; (D) 2341.
2. 如果
,,
那么( B ).
(A) 8; (B) ; (C) 24; (D) .
3. 設(shè)與均為矩陣,滿(mǎn)足,則必有( C ).
(A)或; (B);
(C)或; (D).
4. 設(shè)為階方陣,而是的伴隨矩陣,又為常數(shù),且,則必有等于( B ).
(A); (B); (C); (D).
5.向量組線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是( C )
(A)中有一零向量
(B) 中任意兩個(gè)向量的分量成比例
(C) 中有一個(gè)向量是其余向量的線(xiàn)性組合
(D) 中任意一個(gè)向量都是其余向量的線(xiàn)性組合
6. 已知是非齊次方程組的兩個(gè)不同解,是的基礎(chǔ)解系,為任意常數(shù),則的通解為( B )
(A) ; (B)
(C) ; (D)
7. λ=2是A的特征值,則(A2/3)-1的一個(gè)特征值是( B )
(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4
8. 若四階矩陣A與B相似,矩陣A的特征值為1/2,1/3,1/4,1/5,則行列式|B-1-I|=( B )
(a)0 (b)24 (c)60 (d)120
9. 若是( A ),則必有.
(A)對(duì)角矩陣; (B) 三角矩陣; (C) 可逆矩陣; (D) 正交矩陣.
10. 若為可逆矩陣,下列( A )恒正確.
(A); (B) ;
(C) ; (D) .
二.計(jì)算題或證明題
1. 設(shè)矩陣
(1)當(dāng)k為何值時(shí),存在可逆矩陣P,使得P-1AP為對(duì)角矩陣?
(2)求出P及相應(yīng)的對(duì)角矩陣。
參考答案:
2. 設(shè)n階可逆矩陣A的一個(gè)特征值為λ,A*是A的伴隨矩陣,設(shè)|A|=d,證明:d/λ是A*的一個(gè)特征值。
參考答案:
3. 當(dāng)取何值時(shí),下列線(xiàn)性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解?有解時(shí),求其解.
參考答案:
. 當(dāng)時(shí)有唯一解:
當(dāng)時(shí),有無(wú)窮多解:
當(dāng)時(shí),無(wú)解。
4. 求向量組的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示.
參考答案:
極大無(wú)關(guān)組為:,且,
5. 若是對(duì)稱(chēng)矩陣,是反對(duì)稱(chēng)矩陣,試證:是對(duì)稱(chēng)矩陣.
參考答案:
線(xiàn)性代數(shù)模擬題B
一.單選題.
1. 若是五階行列式的一項(xiàng),則、的值及該項(xiàng)符號(hào)為( A ).
(A),,符號(hào)為負(fù); (B) ,符號(hào)為正;
(C) ,,符號(hào)為負(fù); (D) ,,符號(hào)為正.
2. 下列行列式( A )的值必為零.
(A) 階行列式中,零元素個(gè)數(shù)多于個(gè);
(B) 階行列式中,零元素個(gè)數(shù)小于個(gè);
(C) 階行列式中,零元素個(gè)數(shù)多于個(gè);
(D) 階行列式中,零元素的個(gè)數(shù)小于個(gè).
3. 設(shè),均為階方陣,若,則必有( D ).
(A); (B); (C); (D).
4. 設(shè)與均為矩陣,則必有( C ).
(A);(B);(C);(D).
5. 如果向量可由向量組線(xiàn)性表出,則( D )
(A) 存在一組不全為零的數(shù),使等式成立
(B) 存在一組全為零的數(shù),使等式成立
(C) 對(duì)的線(xiàn)性表示式不唯一
(D) 向量組線(xiàn)性相關(guān)
6. 齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是( C )
(A)系數(shù)矩陣的任意兩個(gè)列向量線(xiàn)性相關(guān)
(B) 系數(shù)矩陣的任意兩個(gè)列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)
(C )必有一列向量是其余向量的線(xiàn)性組合
(D)任一列向量都是其余向量的線(xiàn)性組合
7. 設(shè)n階矩陣A的一個(gè)特征值為λ,則(λA-1)2+I(xiàn)必有特征值( C )
(a)λ2+1 (b)λ2-1 (c)2 (d)-2
8. 已知 與對(duì)角矩陣相似,則=( A )
(a) 0 ; (b) -1 ; (c) 1 ; (d) 2
9. 設(shè),,均為階方陣,下面( D )不是運(yùn)算律.
(A) ; (B);
(C); (D).
10. 下列矩陣( B )不是初等矩陣.
(A);(B);(C);(D).
二.計(jì)算題或證明題(
1. 已知矩陣A,求A10。其中
參考答案:
2. 設(shè)A為可逆矩陣,λ是它的一個(gè)特征值,證明:λ≠0且λ-1是A-1的一個(gè)特征值。
參考答案:
3. 當(dāng)取何值時(shí),下列線(xiàn)性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解?有解時(shí),求其解.
參考答案:
當(dāng)時(shí)有唯一解:
當(dāng)時(shí),有無(wú)窮多解:
當(dāng)時(shí),無(wú)解。
4. 求向量組的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示.
參考答案:
極大無(wú)關(guān)組為:,且
5. 若是對(duì)稱(chēng)矩陣,是正交矩陣,證明是對(duì)稱(chēng)矩陣.
參考答案:
線(xiàn)性代數(shù)模擬題C
一.單選題.
1. 設(shè)五階行列式,依下列次序?qū)M(jìn)行變換后,其結(jié)果是( C ).
交換第一行與第五行,再轉(zhuǎn)置,用2乘所有的元素,再用-3乘以第二列加于第三列,最后用4除第二行各元素.
(A); (B); (C); (D).
2. 如果方程組有非零解,則( D ).
(A)或;(B)或;(C)或;(D)或.
3. 設(shè),,,為同階矩陣,若,則下列各式中總是成立的有( A ).
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
4. 設(shè),,為同階矩陣,且可逆,下式( A )必成立.
(A)若,則; (B) 若,則;
(C) 若,則; (D) 若,則.
5. 若向量組的秩為,則( D )
(A)必定r
,<1,2>,<2,2>,<3,3>,<4,4>};
(2){<1,2>,<2,1>};
(3){<1,2>};
3、設(shè)無(wú)向圖有12條邊,有3個(gè)3度的頂點(diǎn),其余頂點(diǎn)度數(shù)均小于3,則中至少有 11 個(gè)頂點(diǎn)。
4、一棵樹(shù)有2個(gè)2度頂點(diǎn),1個(gè)3度頂點(diǎn),3個(gè)4度頂點(diǎn),則有9片葉。
5、假設(shè):我有時(shí)間,:我去圖書(shū)館。
(1)命題“如果我有時(shí)間,我就去圖書(shū)館”符號(hào)化為 ;
三、假設(shè)、是任意兩個(gè)集合,證明:。
證明:對(duì)
則 或者
由冪集定義可知:或者
所以
因此
故
四、假設(shè)是自然數(shù)集合,定義上的二元關(guān)系
。
證明:是一個(gè)等價(jià)關(guān)系,并求出關(guān)系所確定的等價(jià)類(lèi)。
證明:(1)對(duì),則是偶數(shù),所以是自反的;
對(duì),假設(shè),則是偶數(shù),而也是偶數(shù)
所以,故是對(duì)稱(chēng)的;
對(duì),假設(shè),
則有,是偶數(shù);
若是偶數(shù),由于是偶數(shù),所以也是偶數(shù),則是偶數(shù)
若是奇數(shù),由于是偶數(shù),所以是奇數(shù),
又因?yàn)槭桥紨?shù),所以是奇數(shù),因此是偶數(shù)
所以 是傳遞的。
綜上 是等價(jià)關(guān)系。
(2)當(dāng)是偶數(shù)時(shí),
當(dāng)是奇數(shù)時(shí),
五、對(duì)下列集合在整除關(guān)系下構(gòu)成的偏序集,畫(huà)出Hasse圖,并寫(xiě)出最大元,最小元,極大元,極小元。
(1)
(2)
(3)
解:(1)沒(méi)有最大元和最小元;極大元是24,36。
(2)最大元和極大元是45,最小元和極小元是1。
(3)最大元和極大元時(shí)16,最小元和極小元是2。
六、令V = {a, b, c, d, e}, E = {aa, ab, ab, ba, cd, ca, dd, de},
A = {, , , }
做出圖G = 和D = 的圖示。
解:
離散數(shù)學(xué)模擬卷2參考答案
一、選擇題
1、請(qǐng)指出下列選項(xiàng)中哪一個(gè)是錯(cuò)誤的:(2)
(1) (2) (3) (4)
2、對(duì)任意集合,下述論斷正確的是:(1)
(1)若,則 (2)若,則
(3)若,則 (4)若,則
3、假設(shè)上的關(guān)系,那么,是:(4)
(1)反自反的 (2)反對(duì)稱(chēng)的 (3) 可傳遞的 (4)不可傳遞的
4、非空集合上的空關(guān)系不具備下列哪個(gè)性質(zhì):(1)
(1)自反性 (2)反自反性 (3) 對(duì)稱(chēng)性 (4)傳遞性
5、若是滿(mǎn)射函數(shù),則復(fù)合函數(shù)必是:(3)
(1)雙射函數(shù) (2)單射函數(shù) (3)滿(mǎn)射函數(shù) (4)不單射也不滿(mǎn)射
6、假設(shè),,下列哪個(gè)關(guān)系是到的函數(shù):(3)
(1)
(2)
(3)
(4)
7、一個(gè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖有條邊,個(gè)頂點(diǎn),則圖中頂點(diǎn)的總度數(shù)為:(3)
(1) (2) (3) (4)
8、一個(gè)圖是哈密頓圖是指:(3)
(1)圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次;
(2)圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次;
(3)圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次;
(4)圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次。
9、一棵樹(shù)有2個(gè)2度頂點(diǎn),1個(gè)3度頂點(diǎn),3個(gè)4度頂點(diǎn),則其1度的頂點(diǎn)數(shù)為:(2)
(1)5 (2)7 (3)8 (4)9
10、完全叉樹(shù)中有片葉,個(gè)分支點(diǎn),則有關(guān)系式是:(2)
(1) (2) (3) (4)
二、填空題
1、假設(shè),試求出:
的冪集{,{{a,b}},{{c}},{{a,b},{c}}};
2、假設(shè),,
(1){7,9,11,13,15,17,19};
(2);
3、假設(shè)上的關(guān)系,則:
(1){<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>};
(2){<2,3>,<3,2>};
(3){<2,3>};
4、假設(shè),是到的函數(shù),其中:(a);(b),,;(c),;則:
(1)g 是滿(mǎn)射;(2)g 是雙射;
5、設(shè)無(wú)向圖有36條邊,有6個(gè)3度的頂點(diǎn),其余頂點(diǎn)度數(shù)均小于3,則中至少有33個(gè)頂點(diǎn)。
6、假設(shè):今天天氣好,:我就去鍛煉身體。
(1)命題“如果今天天氣好,我就去鍛煉身體”符號(hào)化為 PQ ;
三、假設(shè)、是任意兩個(gè)集合,證明:。
證明:對(duì),則且
所以 并且
由交集的定義,則
所以
因此
反之,假設(shè)
則
所以 并且
所以 且
由交集定義,則
故
綜上
四、證明定義在實(shí)數(shù)集合上的關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。
證明:對(duì),則是整數(shù),所以是自反的;
對(duì),并且設(shè),則是整數(shù)
而也是整數(shù),所以,是對(duì)稱(chēng)的;
對(duì),并且設(shè),
則 ,,是整數(shù);
而 也是整數(shù)
所以
因此 是傳遞的
綜上,是等價(jià)關(guān)系。
五、對(duì)下列集合在整除關(guān)系下構(gòu)成的偏序集,畫(huà)出Hasse圖,并寫(xiě)出最大元,最小元,極大元,極小元。
(1)
(2)
(3)
解:(1)無(wú)最大元,極大元為:24,36;無(wú)最小元,極小元為:2,3;
(2)最大元和極大元為:30;最小元和極小元為:1
(3)無(wú)最大元,極大元為:6,9;最小元和極小元為:1
六、設(shè)無(wú)向圖G中有9個(gè)頂點(diǎn),每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)不是5就是6,試證明G中至少有5個(gè)6度頂點(diǎn)或至少有6個(gè)5度頂點(diǎn)。
解:假設(shè)圖G中最多有4個(gè)6度頂點(diǎn),并且最多有有5個(gè)5度頂點(diǎn)
則度為奇數(shù)的頂點(diǎn)只能為偶數(shù)個(gè),所以5度頂點(diǎn)應(yīng)該為4個(gè),
而6度頂點(diǎn)最多也為4個(gè),所以與命題條件有9個(gè)頂點(diǎn)產(chǎn)生矛盾;
因此G中至少有5個(gè)6度頂點(diǎn)或至少有6個(gè)5度頂點(diǎn)。
離散數(shù)學(xué)模擬3參考答案
一、選擇題
1、假設(shè),下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是:(2)
(1) (2) (3) (4)
2、對(duì)任意集合,下述論斷正確的是:(1)
(1)若,則 (2)若,則
(3)若,則 (4)若,則
3、假設(shè)上的關(guān)系如下,具有傳遞性的關(guān)系是:(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
4、假設(shè)和是集合上的任意關(guān)系,則下列命題為真的是:(1)
(1)若和是自反的,則也是自反的;
(2)若和是反自反的,則也是反自反的;
(3)若和是對(duì)稱(chēng)的,則也是對(duì)稱(chēng)的;
(4)若和是傳遞的,則也是傳遞的。
5、若是滿(mǎn)射函數(shù),則復(fù)合函數(shù)必是:(3)
(1)雙射函數(shù) (2)單射函數(shù) (3)滿(mǎn)射函數(shù) (4)不單射也不滿(mǎn)射
6、假設(shè),,令:,則不同的函數(shù)個(gè)數(shù)為:(2)
(1)2+3個(gè) (2)個(gè) (3)個(gè) 4)個(gè)
7、一個(gè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖有條邊,個(gè)頂點(diǎn),則圖中頂點(diǎn)的總度數(shù)為:(3)
(1) (2) (3) (4)
8、一個(gè)圖是半歐拉圖是指:(2)
(1)圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次;
(2)圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次;
(3)圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次;
(4)圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次。
9、下面哪一種圖不一定是樹(shù):(3)
(1)無(wú)回路的連通圖 (2)有個(gè)頂點(diǎn)條邊的連通圖
(3)每一對(duì)頂點(diǎn)之間都有通路 (4)連通但刪去一條邊則不連通的圖.
10、完全叉樹(shù)中有片葉,個(gè)分支點(diǎn),則它們之間的關(guān)系表達(dá)式是:(2)
(1) (2) (3) (4)
二、填空題
1、假設(shè),,
(1){5,7};
(2){5};
2、假設(shè)上的關(guān)系,則:
(1);
(2);
(3);
3、假設(shè),是到的函數(shù),其中:(a);(b);(c)。則:
(1)_g_是滿(mǎn)射;(2)_g_是雙射;
4、設(shè)無(wú)向圖有24條邊,有4個(gè)3度的頂點(diǎn),其余頂點(diǎn)度數(shù)均小于3,則中至少有22個(gè)頂點(diǎn)。
5、一棵樹(shù)有2個(gè)2度頂點(diǎn),1個(gè)3度頂點(diǎn),3個(gè)4度頂點(diǎn),則有 7 片葉。
6、假設(shè):我有時(shí)間,:我去體育館。
(1)命題“如果我有時(shí)間,我就去體育館”符號(hào)化為 ;
三、假設(shè)、是非空集合,并且。證明:。
證明:對(duì)任意的,有,所以
因?yàn)椋?
所以 ,因此
故
同理可證
綜上 。
四、假設(shè)R,S是集合A上的等價(jià)關(guān)系,證明RS也是集合A上的等價(jià)關(guān)系。
證明:對(duì)任意的,因?yàn)镽,S是集合A上的等價(jià)關(guān)系,所以是自反、對(duì)稱(chēng)、傳遞的。
故有 ,所以,是自反的;
對(duì)任意的,并且假設(shè),有
所以 ,因此,是對(duì)稱(chēng)的;
對(duì)任意的,并且假設(shè),
有,并且
所以有
因此,是傳遞的。
綜上是集合A上的等價(jià)關(guān)系。
五、對(duì)下列集合在整除關(guān)系下構(gòu)成的偏序集,畫(huà)出Hasse圖,并寫(xiě)出最大元,最小元,極大元,極小元。
(1)
(2)
(3)
解:
(1)無(wú)最大元,有極大元是24、36,無(wú)最小元,有極小元2,3;
(2)無(wú)最大元,有極大元30,42,70,有最小元和極小元2;
(3)有最大元和極大元18,有最小元和極小元3
六、假設(shè)圖是個(gè)頂點(diǎn)條邊的簡(jiǎn)單無(wú)向圖,則。
證明:若圖是連通圖,由于圖是簡(jiǎn)單圖,所以邊數(shù)不會(huì)超過(guò)完全圖的邊數(shù),
因此 ;
若圖是非連通圖,則至少存在兩個(gè)連通分支和
假設(shè)和的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)分別為,和
則有 和
而
命題得證。
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