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形式語言與自動機課后習題答案 第二章 4．找出右線性文法，能構(gòu)成長度為1至5個字符且以字母為首的字符串。 答：G={N,T,P,S} 其中N={S,A,B,C,D} T={x,y} 其中x∈{所有字母} y∈{所有的字符} P如下: S→x S→xA A→y A→yB B→y B→yC C→y C→yD D→y 6．構(gòu)造上下文無關(guān)文法能夠產(chǎn)生 L={ω/ω∈{a,b}*且ω中a的個數(shù)是b的兩倍} 答：G={N,T,P,S} 其中N={S} T={a,b} P如下: S→aab S→aba S→baa S→aabS S→aaSb S→aSab S→Saab S→abaS S→abSa S→aSba S→Saba S→baaS S→baSa S→bSaa S→Sbaa 7．找出由下列各組生成式產(chǎn)生的語言（起始符為S） (1) S→SaS S→b (2) S→aSb S→c (3) S→a S→aE E→aS 答：（1）b(ab)n /n≥0}或者L={(ba)nb /n≥0} (2) L={ancbn /n≥0} (3) L={a2n+1 /n≥0} 第三章 1． 下列集合是否為正則集，若是正則集寫出其正則式。 （1） 含有偶數(shù)個a和奇數(shù)個b的{a,b}*上的字符串集合 （2） 含有相同個數(shù)a和b的字符串集合 （3） 不含子串a(chǎn)ba的{a,b}*上的字符串集合 答：（1）是正則集，自動機如下 奇a偶b 偶a偶b a a b b b b 奇a奇b 偶a奇b a a (2) 不是正則集，用泵浦引理可以證明，具體見17題（2）。 (3) 是正則集 先看L’為包含子串a(chǎn)ba的{a,b}*上的字符串集合 顯然這是正則集，可以寫出表達式和畫出自動機。（略） 則不包含子串a(chǎn)ba的{a,b}*上的字符串集合L是L’的非。 根據(jù)正則集的性質(zhì)，L也是正則集。 4．對下列文法的生成式，找出其正則式 （1） G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式P如下： S→aA S→B A→abS A→bB B→b B→cC C→D D→bB D→d （2） G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式P如下： S→aA S→B A→cC A→bB B→bB B→a C→D C→abB D→d 答：(1) 由生成式得： S=aA+B ① A=abS+bB ② B=b+cC ③ C=D ④ D=d+bB ⑤ ③④⑤式化簡消去CD，得到B=b+c(d+bB) 即B=cbB+cd+b =>B=(cb)*(cd+b) ⑥ 將②⑥代入① S=aabS+ab(cb)*(cd+b)+(cb)*(cd+b) =>S=(aab)*(ab+ε)(cb)*(cd+b) (2) 由生成式得： S=aA+B ① A=bB+cC ② B=a+bB ③ C=D+abB ④ D=dB ⑤ 由③得 B=b*a ⑥ 將⑤⑥代入④ C=d+abb*a=d+ab+a ⑦ 將⑥⑦代入② A=b+a+c(d+b+a) ⑧ 將⑥⑧代入① S=a(b+a+c(d+ab+a))+b*a =ab+a+acd+acab+a+b*a 5.為下列正則集，構(gòu)造右線性文法： (1){a,b}* (2)以abb結(jié)尾的由a和b組成的所有字符串的集合 (3)以b為首后跟若干個a的字符串的集合 (4) 含有兩個相繼a和兩個相繼b的由a和b組成的所有字符串集合 答：（1）右線性文法G=({S},{a,b},P,S) P: S→aS S→bS S→ε (2) 右線性文法G=({S},{a,b},P,S) P: S→aS S→bS S→abb (3) 此正則集為{ba*} 右線性文法G=({S,A},{a,b},P,S) P: S→bA A→aA A→ε (4) 此正則集為{{a,b}*aa{a,b}*bb{a,b}*, {a,b}*bb{a,b}*aa{a,b}*} 右線性文法G=({S,A,B,C},{a,b},P,S) P: S→aS/bS/aaA/bbB A→aA/bA/bbC B→aB/bB/aaC C→aC/bC/ε 7.設(shè)正則集為a(ba)* (1) 構(gòu)造右線性文法 (2) 找出（1）中文法的有限自 b動機 答：（1）右線性文法G=({S,A},{a,b},P,S) P: S→aA A→bS A→ε （2）自動機如下： P2 P1 a b (p2是終結(jié)狀態(tài)) 9.對應(yīng)圖（a）(b)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖寫出正則式。（圖略） （1） 由圖可知q0=aq0+bq1+a+ε q1=aq2+bq1 q0=aq0+bq1+a =>q1=abq1+bq1+aaq0+aa =(b+ab) q1+aaq0+aa =(b+ab) *( aaq0+aa) =>q0=aq0+b(b+ab) *( aaq0+aa ) +a+ε = q0(a+b (b+ab) *aa)+ b(b+ab) *aa+a+ε =(a+b (b+ab) *aa) *((b+ab) *aa+a+ε) =(a+b (b+ab) *aa) * (3) q0=aq1+bq2+a+b q1=aq0+bq2+b q0=aq1+bq0+a =>q1=aq0+baq1+bbq0+ba+b =(ba)*(aq0 +bbq0+ba+b) =>q2=aaq0+abq2+bq0+ab+a =(ab)*(aaq0 +bq0+ ab+a) =>q0=a(ba)*(a+bb) q0 + a(ba)*(ba+b)+b(ab)*(aa+b)q0+ b(ab)*(ab+a)+a+b =[a(ba)*(a+bb) +b(ab)*(aa+b)]* (a(ba)*(ba+b)+ b(ab)*(ab+a)+a+b) 10.設(shè)字母表T={a,b},找出接受下列語言的DFA： （1） 含有3個連續(xù)b的所有字符串集合 （2） 以aa為首的所有字符串集合 （3） 以aa結(jié)尾的所有字符串集合 答：（1）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{q3}),其中σ如下： a b q0 q0 q1 q1 q0 q2 q2 q0 q3 q3 q3 q3 （2）M=({q0,q1 q2 },{a,b},σ,q0,{q2}),其中σ如下： a b q0 q1 Φ q1 q2 Φ q2 q2 q2 （3）M=({q0,q1 q2 },{a,b},σ,q0,{q2}),其中σ如下： a b q0 q1 q0 q1 q2 q0 q2 q2 q0 14構(gòu)造DFA M1等價于NFA M，NFA M如下： （1）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{q3}),其中σ如下： σ(q0,a)={q0,q1} σ(q0,b)={q0} σ(q1,a)={q2} σ(q1,b)= {q2 } σ(q2,a)={q3} σ(q2,b)= Φ σ(q3,a)={q3} σ(q3,b)= {q3 } （2）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{ q1,q2}),其中σ如下： σ(q0,a)={q1,q2} σ(q0,b)={q1} σ(q1,a)={q2} σ(q1,b)= {q1,q2 } σ(q2,a)={q3} σ(q2,b)= {q0} σ(q3,a)= Φσ(q3,b)= {q0} 答：（1）DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q0,q1,q3]，[q0,q2,q3]，[q0, q1,q2,q3]} 其中Q1 ={[q0],[q0,q1], [q0,q1,q2],[ q0,q2],[ q0,q1, q2,q3],[ q0,q1, q3],[ q0,q2, q3],[ q0,q3]} σ1滿足 a b [q0] [q0,q1] [ q0] [q0,q1] [q0,q1,q2] [ q0,q2] [q0,q1,q2] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q2] [ q0,q2] [ q0,q1, q3] [q0] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q2, q3] [ q0,q1, q3] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q2, q3] [ q0,q2, q3] [ q0,q1, q3] [ q0,q3] [ q0,q3] [ q0,q1, q3] [ q0,q3] （2）DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q1],[q3], [q1,q3],[q0,q1,q2],[q1,q2] ,[q1,q2,q3],[q2,q3]} 其中Q1 ={[q0],[q1,q3], [q1],[q2],[ q0,q1,q2],[q1,q2],[q3], [q1,q2,q3],[q2,q3]} σ1滿足 a b [q0] [q1,q3] [q1] [q1,q3] [q2] [ q0,q1,q2] [q1] [q2] [q1,q2] [q2] [q3] [q0] [ q0,q1,q2] [q1,q2,q3] [ q0,q1,q2] [q1,q2] [q2,q3] [ q0,q1,q2] [q3] Φ [q0] [q1,q2,q3] [q2,q3] [ q0,q1,q2] [q2,q3] [q3] [q0] 15. 15.對下面矩陣表示的ε-NFA ε a b c P(起始狀態(tài)) φ {p} {q} {r} q {p} {q} {r} φ r(終止狀態(tài)) {q} {r} φ {p} (1) 給出該自動機接收的所有長度為3的串 (2) 將此ε-NFA轉(zhuǎn)換為沒有ε的NFA 答：（1）可被接受的的串共 23個，分別為aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc, caa, cab, cba, cbb, cca, ccb, bba, aca, acb, bca, bcb, bab, bbb, abb （2）ε-NFA：M=({p,q,r},{a,b,c},σ,p,r) 其中σ如表格所示。 因為ε-closure(p)= Φ 則設(shè)不含ε的NFA M1=({p,q,r},{a,b,c},σ1,p,r) σ1(p,a)=σ’(p,a)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),a))={p} σ1(p,b)=σ’(p,b)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),b))={p,q} σ1(p,c)=σ’(p,c)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),c))={p,q,r} σ1(q,a)=σ’(q,a)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),a))={p,q} σ1(q,b)=σ’(q,b)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),b))={p,q,r} σ1(q,c)=σ’(q,c)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),c))={p,q,r} σ1(r,a)=σ’(r,a)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),a))={p,q,r} σ1(r,b)=σ’(r,b)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),b))={p,q,r} σ1(r,c)=σ’(r,c)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),c))={p,q,r} 圖示如下：(r為終止狀態(tài)) p q b,c a,b,c a,b,c a,b,c c a,b,c b,c a,b,c r a,b,c 16．設(shè)NFA M=({q0,q1},{a,b},σ,q0,{q1}),其中σ如下： σ(q0,a)={q0,q1} σ(q0,b)={q1} σ(q1,a)= Φ σ(q1,b)= {q0, q1} 構(gòu)造相應(yīng)的DFA M1，并進行化簡 答：構(gòu)造一個相應(yīng)的DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q1]，[q0,q1]} 其中Q1 ={[q0]，[q1]，[q0,q1]} σ1滿足 a b [q0] [q0,q1] [q1] [q1] Φ [q0,q1] [q0,q1] [q0,q1] [q0,q1] 由于該DFA已是最簡，故不用化簡 17.使用泵浦引理，證明下列集合不是正則集： （1） 由文法G的生成式S→aSbS/c產(chǎn)生的語言L(G) （2） {ω/ω∈{a,b}*且ω有相同個數(shù)的a和b} （3） {akcak/k≥1} （4） {ωω/ω∈{a,b}*} 證明：（1）在L(G)中，a的個數(shù)與b的個數(shù)相等 假設(shè)L(G)是正則集，對于足夠大的k取ω= ak (cb)kc 令ω=ω1ω0ω2 因為|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0iω2∈L 所以對于任意ω0只能取ω0=an n∈(0,k) 則ω1ω0iω2= ak–n(an)i(cb)kc 在i不等于0時不屬于L 與假設(shè)矛盾。則L(G)不是正則集 （2）假設(shè)該集合是正則集，對于足夠大的k取ω= ak bk 令ω=ω1ω0ω2 因為|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0iω2∈L 所以對于任意ω0只能取ω0=an n∈(0,k) 則ω1ω0iω2= ak–n(an)ibk 在i不等于0時a與b的個數(shù)不同，不屬于該集合 與假設(shè)矛盾。則該集合不是正則集 （3）假設(shè)該集合是正則集，對于足夠大的k取ω= ak cak 令ω=ω1ω0ω2 因為|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0iω2∈L 所以對于任意ω0只能取ω0=an n∈(0,k) 則ω1ω0iω2= ak–n(an)icak 在i不等于0時c前后a的個數(shù)不同，不屬于該集合 與假設(shè)矛盾。則該集合不是正則集 （4）假設(shè)該集合是正則集，對于足夠大的k取ωω= ak bakb 令ωω=ω1ω0ω2 因為|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0使ω1ω0iω2∈L 所以對于任意ω0只能取ω0=an n∈(0,k) 則ω1ω0iω2= ak–n(an)ibakb 在i不等于0時不滿足ωω的形式，不屬于該集合 與假設(shè)矛盾。則該集合不是正則集 18．構(gòu)造米蘭機和摩爾機 對于{a,b}*的字符串，如果輸入以bab結(jié)尾，則輸出1；如果輸入以bba結(jié)尾，則輸出2；否則輸出3。 答：米蘭機： 說明狀態(tài)qaa表示到這個狀態(tài)時，輸入的字符串是以aa結(jié)尾。其他同理。 a/3 qaa qab b/3 a/3 a/3 b/3 b/1 qba qbb a/2 b/3 摩爾機，狀態(tài)說明同米蘭機。 a a qaba,3 b/3 qaab,3 b/3 qaa,3 b/3 b a a b a b qbab,1 b/3 qbb,3 b/3 qbba,2 b/3 a b b b 第四章 10. 把下列文法變換為無ε生成式、無單生成式和沒有無用符號的等價文法： S →A1 | A2 , A1 →A3 | A4 , A2 →A4 | A5 , A3 →S | b |ε, A4 →S | a，A5 →S | d |ε 解: ⑴ 由算法3，變換為無ε生成式： N’ = { S, A1,A2,A3,A4,A5 } G1 = ( { S1,S, A1,A2,A3,A4,A5 } , { a,b,d }, P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下： S1 →ε| S , S →A1 | A2 , A1 →A3 | A4 , A2 →A4 | A5 , A3 →S | b , A4 →S | a , A5 →S | d , ⑵ 由算法4，消單生成式： NS1 = { S1,S,A1,A2,A3,A4, A5 } , NS = NA1 = NA2 = NA3 = NA4 = NA5 = { S, A1,A2,A3,A4, A5 } , 運用算法4，則P1變?yōu)椋? S1 →a | b | d |ε , S →a | b | d , A1 →a | b | d , A2 →a | b | d , A3 →a | b | d , A4 →a | b | d , A5 →a | b | d ⑶ 由算法1和算法2，消除無用符號，得到符合題目要求的等價文法： G1 = ( { S1 } , { a,b,d } , P1 , S1 ) ，其中生成式P1為：S1 →a | b | d |ε. 11. 設(shè)2型文法G = ( { S,A,B,C,D,E,F } , { a,b,c } , P , S ) , 其中P： S →ASB |ε; A →aAS | a ; B →SBS | A | bb 試將G變換為無ε生成式,無單生成式,沒有無用符號的文法,再將其轉(zhuǎn)換為Chomsky范式. 解: ⑴ 由算法3，變換為無ε生成式： N’ = { S } 由S →ASB得出S →ASB | AB , 由A →aAS得出A →aAS | aA , 由B →SBS得出B →SBS | SB | BS |B, 由S∈N’ 得出S1 →ε| S , 因此無ε的等效文法G1 = ( { S1,S,A,B } , { a,b,d } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下： S1 →ε| S , S →ASB | AB , A →aAS | aA | a, B →SBS | SB | BS | B| A | bb , ⑵ 由算法4，消單生成式： NS1 = { S1,S } , NS = { S } , NA = { A } , NB = { A,B } 由于S →ASB | AB∈P且不是單生成式,故P1中有S1 →ε| ASB | AB , 同理有 S →ASB | AB , A →aAS | aA | a , B →SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb, 因此生成的無單生成式等效文法為 G1 = ( { S1,S, A,B } , { a,b } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下： S1 →ε| ASB | AB , S →ASB | AB , A →aAS | aA | a , B →SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb, ⑶ 由算法1和算法2，消除無用符號(此題沒有無用符號); ⑷ 轉(zhuǎn)化為等價的Chomsky范式的文法: 將S1 →ASB變換為 S →AC , C →SB , 將S →ASB 變換為 S →AC , 將A →aAS | aA 變換為 A →ED | EA, D →AS , E →a, 將B →SBS | aAS | aA | a | bb , 變換為 B →CS | ED | EA | FF, F →b , ⑸ 由此得出符合題目要求的等價文法： G1 = ( { S1,S, A,B,C,D } , { a,b } , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下： S1 →ε| AC | AB , S →AC | AB , A →ED | EA | a , B →CS | SB | BS | ED | EA | a | FF , C →SB , D →AS , E →a , F →b . 15. 將下列文法變換為等價的Greibach范式文法: ⑴ S →DD | a , D →SS | b 解: 將非終結(jié)符排序為S,D,S為低位,D為高位, ⑴ 對于D →SS ,用S →DD | a 代入得 D →DDS | aS | b , 用引理4.2.4,變化為D →aS | b | aSD | bD , D’ →DS | DSD’ , ⑵ 將D生成式代入S生成式得 S →aSD | bD | aSD’D | bDD | a , ⑶ 將D生成式代入D’生成式得 D’ →aSS | bS | aSDS | bDS | aSS D | bS D | aSDS D | bDS D , ⑷ 由此得出等價的Greibach范式文法： G1 = ( { S,D,D’ } , { a,b } , P1 , S ) ,其中生成式P1如下： S →aSD | bD | aSD’D | bDD | a , D →aS | b | aSD | bD , D’ →aSS | bS | aSDS | bDS | aSS D | bS D | aSDS D | bDS D . ⑵ A1 →A3b | A2a , A2 →A1b | A2A2a | b , A3 →A1a | A3A3b | a 解: ⑴ 轉(zhuǎn)化為等價的Chomsky范式的文法: A1 →A3A4 | A2A5 , A2 →A1A4 | A2A6 | b , A3 →A1A5 | A3A7 | a , A4 →b , A5 →a , A6 →A2A5 , A7 →A3A4 , ⑵ 轉(zhuǎn)化為等價的Greibach范式的文法: 將非終結(jié)符排序為A1, A2,A3,A4,A5 ,A1為低位A5為高位, ①對于A2 →A1A4 ,用A1 →A3A4 | A2A5代入得A2 →A3A4A4 | A2 A5A4 | A2A6 | b , 用引理4.2.4,變化為 A2 →A3A4A4 | b | A3A4A4A2’ | bA2’ , A2’ →A5A4A2’ | A6A2’ | A5A4 | A6 , ②對于A3 →A1A5 ,用A1 →A3A4 | A2A5代入得A3 →A3A4A5 | A2A5A5 | A3A7 | a , A3生成式右邊第一個字符仍是較低位的非終結(jié)符,將A2生成式代入A3生成式得 A3 →A3A4 A5 | A3A4A4 A5A5 | b A5A5 | A3A4A4A2’ A5A5 | bA2’A5A5 | A3A7 | a , 用引理4.2.4,變化為 A3 →b A5A5 | bA2’A5A5 | a | b A5A5A3’ | bA2’A5A5A3’ | aA3’ , A3’ →A4A5 | A4A4A5A5 | A4A4A2’A5A5 | A7 | A4A5A3’ | A4A4A5A5A3’ | A4A4A2’A5A5A3’ | A7A3’ , ③對于A6 →A2A5 ,將A2生成式代入A6生成式得 A6 →A3A4A4A5 | bA5 | A3A4A4A2’A5 | bA2’A5 , A6生成式右邊第一個字符仍是較低位的非終結(jié)符,將A3生成式代入A6生成式得 A6 →bA5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 , ④對于A7 →A3A4 , 將A3生成式代入A7生成式得 A7 →b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | a A4 | b A5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 , ⑤將A5,A6生成式代入A2’生成式得 A2’ →aA4A2’ | bA5A5A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A4A4A5A2’ | aA4A4A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A5A2’ | aA3’A4A4A5A2’ | bA5A5A4A4A2’A5 A2’ | bA2’A5A5A4A4A2’A5A2’ | aA4A4A2’A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | aA3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A2’ | b A5A2’ | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 , 將A4,A7生成式代入A3’生成式得 A3’ →aA5 | aA4A5A5 | aA4A2’A5A5 | aA5A3’ | aA4A5A5A3’ | aA4A2’A5A5A3’ | b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 | bA5A5A4A3’ | bA2’A5A5A4A3’ | a A4A3’ | b A5A5A3’A4 A3’ | bA2’A5A5A3’A4 A3’ | aA3’A4A3’ , ⑶ 由此得出等價的Greibach范式文法: G1 = ( { S,D,D’ } , { a,b } , P1 , S ) ,其中生成式P1如下： A1 →A3A4 | A2A5 , A2 →A3A4A4 | b | A3A4A4A2’ | bA2’ , A3 →b A5A5 | bA2’A5A5 | a | bA5A5A3’ | bA2’A5A5A3’ | aA3’ , A4 →b , A5 →a , A6 →bA5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 , A7 →b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | a A4 | b A5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 , A2’ →aA4A2’ | bA5A5A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A4A4A5A2’ | aA4A4A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A5A2’ | aA3’A4A4A5A2’ | bA5A5A4A4A2’A5 A2’ | bA2’A5A5A4A4A2’A5A2’ | aA4A4A2’A5A2’ | bA5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5A2’ | aA3’A4A4A2’A5A2’ | bA2’A5A2’ | bA5A2’ | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2’A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3’A4A4A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A5 | aA3’A4A4A5 | bA5A5A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A4A4A2’A5 | aA4A4A2’A5 | bA5A5A3’A4A4A2’A5 | bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5 | aA3’A4A4A2’A5 | bA2’A5 | b A5 , A3’ →aA5 | aA4A5A5 | aA4A2’A5A5 | aA5A3’ | aA4A5A5A3’ | aA4A2’A5A5A3’ | b A5A5A4 | bA2’A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3’A4 | bA2’A5A5A3’A4 | aA3’A4 | bA5A5A4A3’ | bA2’A5A5A4A3’ | a A4 A3’ | b A5A5A3’A4 A3’ | bA2’A5A5A3’A4 A3’ | aA3’A4A3’ . 20. 設(shè)文法G有如下得生成式: S →aDD , D →aS | bS | a , 構(gòu)造等價的下推自動機. 解: 根據(jù)P162-163的算法,構(gòu)造下推自動機M,使M按文法G的最左推導(dǎo)方式工作. 設(shè)M = (Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中 Q = { q0,qf } , T = { a,b} , Г = { a,b,D,S } , Z0 = S , F = { qf } , δ定義如下: δ( q0,ε,S ) = { ( q0, aDD ) } , δ( q0,ε,D ) = { ( q0,aS ) , ( q0,bS ) , ( q0,a ) } , δ( q0,a,a ) = { ( q0,ε ) } , δ( q0,ε,ε ) = { ( qf,ε ) } . 21. 給出產(chǎn)生語言 L = { aibjck | i , j , k≥0 且 i = j 或者 j = k }的上下文無關(guān)文法.你給出的文法是否具有二義性?為什么? 解: G=({S,A,B,C,D,E},{a,b,c}，P，S) P：S →AD |EB, A →aAb |ε, B →bBc |ε, D →cD |ε, E →aE |ε 文法具有二義性。 因為當句子ω中a,b,c個數(shù)相同時，對于ω存在兩個不同的最左(右)推導(dǎo)。 如abcL，存在兩個不同的最左推導(dǎo) SADaAbDabDabcCabc 及SEBaEBaBabBcabc 。 22. 設(shè)下推自動機 M = ( {q0,q1},{a,b},{Z0,X},δ, q0, Z0,φ),其中δ如下: δ(q0,b, Z0) = {(q0, XZ0)} ,δ(q0,ε, Z0) = {(q0, ε)} ,A δ(q0,b, X) = {(q0, XX)} , δ(q1,b, X) = {(q1, ε)} , δ(q0,b, X) = {(q1, X)} , δ(q1,a, Z0) = {(q0, Z0)} , 試構(gòu)造文法G產(chǎn)生的語言 L (G) = L(M). 解: 在G中,N = { [q0,Z0,q0], [q0,Z0,q1], [q0,X,q0], [q0,X,q1], [q1,Z0,q0], [q1,Z0,q1], [q1,X,q0], [q1,X,q1] } . ⑴ S生成式有 S →[q0,Z0,q0] , S →[q0,Z0,q1] , 根據(jù)δ(q0,b, Z0) = {(q0, XZ0)} ,則有 [q0,Z0,q0] →b[q0,X,q0] [q0,Z0,q0] , [q0,Z0,q0] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q0] , [q0,Z0,q1] →b[q0,X,q0] [q0,Z0,q1] , [q0,Z0,q1] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q1] , 因為有δ(q0,b, X) = {(q0, XX)},則有 [q0,X,q0] →b[q0,X,q0] [q0,X,q0] , [q0, X,q0] →b[q0,X,q1] [q1, X,q0] , [q0, X,q1] →b[q0,X,q0] [q0, X,q1] , [q0, X,q1] →b[q0,X,q1] [q1, X,q1] , 因為有δ(q0,a, X) = {(q1, X)},則有 [q0,X,q0] →a[q1,X,q0] , [q0,X,q1] →a[q1,X,q1] , 因為有δ(q1,a, Z0) = {(q0, Z0)},則有 [q1,Z0,q0] →a[q0,Z0,q0] , [q1,Z0,q1] →a[q0,Z0,q1] , 因為有δ(q0,ε, Z0) = {(q0, ε)},則有 [q0,Z0,q0] →ε, 因為有δ(q1,b, X) = {(q1, ε)},則有 [q1,X,q1] →ε ⑵ 利用算法1和算法2,消除無用符號后,得出文法G產(chǎn)生的語言L(G) = { N,T,P,S } 其中N = { S,[q0,Z0,q0],[q1,Z0,q0],[q1,X,q1], [q0,X,q1] },T = { a,b },生成式P如下: S →[q0,Z0,q0] , [q0,Z0,q0] →b[q0,X,q1] [q1,Z0,q0] , [q0, X,q1] →b[q0,X,q1] [q1, X,q1] , [q0,X,q1] →a[q1,X,q1] , [q1,Z0,q0] →a[q0,Z0,q0] , [q0,Z0,q0] →ε, [q0,Z0,q0] →ε. 23. 證明下列語言不是上下文無關(guān)語言: ⑴ { anbncm | m≤n }; 證明: 假設(shè)L是上下文無關(guān)語言,由泵浦引理,取常數(shù)p,當ω∈L且|ω|≥p時,可取 ω = apbpcp ,將ω寫為ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同時滿足|ω2ω0ω3|≤p ⑴ ω2和ω3不可能同時分別包含a和c,因為在這種情況下,有|ω2ω0ω3|>p; ⑵ 如果ω2和ω3都只包含a (b) ,即ω2ω0ω3 = aj (bj ) (j≤p) ,則當i≠1時, ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)a的個數(shù)與b的個數(shù)不等; 如果ω2和ω3都只包含c ,即ω2ω0ω3 = cj (j≤p),當i大于1時,ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)c的個數(shù)大于a的個數(shù) (b的個數(shù)); ⑶ 如果ω2和ω3分別包含a和b (b和c) ,當i=0時 ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)a, b的個數(shù)小于c的個數(shù)（或a,b個數(shù)不等） 這些與假設(shè)矛盾,故L不是上下文無關(guān)語言. ⑵ { ak | k是質(zhì)數(shù) }; 證明: 假設(shè)L是上下文無關(guān)語言,由泵浦引理,取常數(shù)p,當ω∈L且|ω|≥p時,可取ω=ak ( k≥p且k≠1 ) ,將ω寫為ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同時滿足|ω2ω0ω3|≤p ,且 |ω2ω3|=j≥1 ,則當i=k+1時,|ω1ω2iω0ω3iω4|=k+(i-1)*j=k+k*j= k*(1+j) ,k*(1+j)至少包含因子k且k≠1 ,因此必定不是質(zhì)數(shù),即ω1ω2iω0ω3iω4不屬于L. 這與假設(shè)矛盾,故L不是上下文無關(guān)語言. ⑶ 由 a,b,c 組成的字符串且是含有 a,b,c 的個數(shù)相同的所有字符串. 證明: 假設(shè)L是上下文無關(guān)語言,由泵浦引理,取常數(shù)p,當ω∈L且|ω|≥p時,可取 ω = akbkck (k≥p) ,將ω寫為ω=ω1ω2ω0ω3ω4 ,同時滿足|ω2ω0ω3|≤p ⑴ ω2和ω3不可能同時分別包含a和c,因為在這種情況下,有|ω2ω0ω3|>p; ⑵ 如果ω2和ω3都只包含a (b或c) ,即ω2ω0ω3 = aj (bj或cj ) (j≤p) ,則當i≠1時, ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)a,b,c的個數(shù)不再相等; ⑶ 如果ω2和ω3分別包含a和b (b和c) , ω1ω2iω0ω3iω4中會出現(xiàn)a,b的個數(shù)與c的不等; 這些與假設(shè)矛盾,故L不是上下文無關(guān)語言. 24. 設(shè)G是Chomsky 范式文法,存在ω∈ L (G) ，求在邊緣為ω的推導(dǎo)樹中,最長的路徑長度與ω的長度之間的關(guān)系. 解: 設(shè)邊緣為ω的推導(dǎo)樹中,最長路徑長度為n,則它與ω的長度之間的關(guān)系為|ω|≤2n-1 . 因為由Chomsky范式的定義可知,Chomsky范式文法的推導(dǎo)樹都是二叉樹,在最長路徑長度為n的二叉推導(dǎo)樹中,滿二叉樹推出的句子長度最長,為2n-1,因此ω的長度與其推導(dǎo)樹的最長路徑長度n的關(guān)系可以用上式表示. 25. 設(shè)計PDA接受下列語言(注意:不要求為確定的) ⑴ { 0m1n | m≤n }; 解: 設(shè)PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中 Q = { q0,q1,qf } , T = { 0,1} , Г = { 0,1, Z0 } , F = { qf } , δ定義如下: δ( q0, ε, Z0 ) = { ( q1, Z0 ) } , δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } , δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ) } , δ( q0,1, Z0 ) = { ( qf,ε ) } , δ( q0,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } , δ( q1,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } , δ( q1,ε, Z0 ) = { ( qf,ε ) } δ( q1,1, Z0 ) = { ( qf,ε ) } δ( qf,1, ε) = { ( qf,ε ) } ⑵ { 0m1n | m≥n }; 解: 設(shè)PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中 Q = { q0,q1,qf } , T = { 0,1} , Г = { 0,1, Z0 } , F = { qf } , δ定義如下: δ( q0, ε, Z0 ) = { ( q1, Z0 ) } , δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } , δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ) } , δ( q0,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } , δ( q1,1, 0 ) = { ( q1,ε ) } , δ( q1,ε,Z0 ) = { ( qf,ε ) } , δ( q1,ε,0 ) = { ( qf,ε ) } δ( qf,1, ε) = { ( qf,ε ) } ⑶ { 0m1n0m | n和m任意 }; 解: 設(shè)PDA M = ( Q,T,Г,δ,q0,Z0,F ),其中 Q = { q0,q1, q2,q3,qf } , T = { 0,1} , Г = { 0,1, Z0 } , F = { qf } , δ定義如下: δ( q0,0, Z0 ) = { ( q0, 0Z0 ) } , δ( q0,0,0 ) = { ( q0, 00 ),( q0,ε)} , δ( q0,1, Z0 ) = { ( q3,ε ) } , δ( q3,1, ε) = { (q3,ε) } , δ( q3,ε, ε) = { ( qf,ε ) } , δ( q0,1,0 ) = { ( q1,0 ) } , δ( q1,1,0 ) = { ( q1,0 ) } , δ( q1,0,0 ) = { ( q2,ε ) } , δ( q2,0,0 ) = { ( q2,ε ) } , δ( q2,ε, Z0 ) = { ( qf,ε ) } , δ( q0, ε, Z0 ) = { ( qf, ε)}nm 第五章 1. 考慮如下的圖靈機 M = ( {q0, q1, qf, },{0,1},{0,1,B},δ, q0,B,{ qf } ),其中δ定義為: δ(q0,0) = {(q1,1,R)} , δ(q1,1) = {(q0,0,R)} , δ(q1,B) = {(qf,B,R)} , 非形式化但準確地描述該圖靈機的工作過程及其所接受的語言. 解: 開始時,M的帶上從左端起放有字符串0(10)i (i≥0),后跟無限多個空白符B.M的第一次動作先讀到第一個0,并改寫為1;然后右移,如果找到第一個1,則改寫為0,并繼續(xù)向右尋找下一個0,這樣重復(fù)進行.當向右尋找1的時候,找到一個空白符B,則結(jié)束. 該圖靈機所接受的語言L(M) = { 0(10)i | i≥