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概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案 高等教育出版社 習題1.1解答 1. 將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”。試寫出樣本空間及事件中的樣本點。 解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反） (正，正)，（正，反）；（正，正），（反，反） (正，正)，（正，反），（反，正） 2. 在擲兩顆骰子的試驗中，事件分別表示“點數(shù)之和為偶數(shù)”，“點數(shù)之和小于5”，“點數(shù)相等”，“至少有一顆骰子的點數(shù)為3”。試寫出樣本空間及事件中的樣本點。 解：； ； ； ；； 3. 以分別表示某城市居民訂閱日報、晚報和體育報。試用表示以下事件： （1）只訂閱日報； （2）只訂日報和晚報； （3）只訂一種報； （4）正好訂兩種報； （5）至少訂閱一種報； （6）不訂閱任何報； （7）至多訂閱一種報； （8）三種報紙都訂閱； （9）三種報紙不全訂閱。 解：（1）； （2）； （3）； （4）; （5）； （6）； （7）或 （8）； （9） 4. 甲、乙、丙三人各射擊一次，事件分別表示甲、乙、丙射中。試說明下列事件所表示的結(jié)果：, , , , , . 解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有兩人擊中。 5. 設事件滿足，試把下列事件表示為一些互不相容的事件的和：，，. 解：如圖： 6. 若事件滿足，試問是否成立？舉例說明。 解：不一定成立。例如：，，， 那么，，但。 7. 對于事件，試問是否成立？舉例說明。 解：不一定成立。 例如：，，， 那么，但是。 8. 設，，試就以下三種情況分別求： （1）， （2）， （3）. 解： （1）； （2）； （3）。 9. 已知，，求事件全不發(fā)生的概率。 解： = 10. 每個路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設各色燈的開閉是等可能的。一個人騎車經(jīng)過三個路口，試求下列事件的概率：“三個都是紅燈”=“全紅”； “全綠”； “全黃”； “無紅”； “無綠”； “三次顏色相同”； “顏色全不相同”； “顏色不全相同”。 解： ；； ；； . 11. 設一批產(chǎn)品共100件，其中98件正品，2件次品，從中任意抽取3件（分三種情況：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），試求： （1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。 解： 一次拿3件： （1）； （2）； 每次拿一件，取后放回，拿3次： （1）； （2）； 每次拿一件，取后不放回，拿3次： （1）； （2） 12. 從中任意選出3個不同的數(shù)字，試求下列事件的概率： ，。 解： ； 或 13. 從中任意選出4個不同的數(shù)字，計算它們能組成一個4位偶數(shù)的概率。 解： 14. 一個宿舍中住有6位同學，計算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份； 解： （1）； （2）； （3） 15. 從一副撲克牌（52張）任取3張（不重復），計算取出的3張牌中至少有2張花色相同的概率。 解： 或 習題1.2解答 1. 假設一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，從中任取一件，結(jié)果不是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令“取到的是等品”， 。 2. 設10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產(chǎn)品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。 解： 令 “兩件中至少有一件不合格”， “兩件都不合格” 3. 為了防止意外，在礦內(nèi)同時裝有兩種報警系統(tǒng)I和II。兩種報警系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)I和II有效的概率分別0.92和0.93，在系統(tǒng)I失靈的條件下，系統(tǒng)II仍有效的概率為0.85，求 （1） 兩種報警系統(tǒng)I和II都有效的概率； （2） 系統(tǒng)II失靈而系統(tǒng)I有效的概率； （3） 在系統(tǒng)II失靈的條件下，系統(tǒng)I仍有效的概率。 解：令 “系統(tǒng)（Ⅰ）有效” ， “系統(tǒng)（Ⅱ）有效” 則 （1） （2） （3） 4. 設，證明事件與獨立的充要條件是 證： ：與獨立，與也獨立。 ： 又 而由題設 即 ，故與獨立。 5. 設事件與相互獨立，兩個事件只有發(fā)生的概率與只有發(fā)生的概率都是，求和. 解：，又與獨立 即。 6. 證明 若>0，>0，則有 （1） 當與獨立時，與相容； （2） 當與不相容時，與不獨立。 證明： （1）因為與獨立，所以 ，與相容。 （2）因為，而， ，與不獨立。 7. 已知事件相互獨立，求證與也獨立。 證明：因為、、相互獨立， 與獨立。 8. 甲、乙、丙三機床獨立工作，在同一段時間內(nèi)它們不需要工人照顧的概率分別為0.7，0.8和0.9，求在這段時間內(nèi)，最多只有一臺機床需要工人照顧的概率。 解： 令分別表示甲、乙、丙三機床不需要工人照顧， 那么 令表示最多有一臺機床需要工人照顧， 那么 9. 如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件能正常工作的概率為，（稱為元件的可靠性），假設各元件能否正常工作是相互獨立的，計算下面各系統(tǒng)的可靠性。 系統(tǒng)I 1 2 n n+1 n+2 2n 系統(tǒng)II 1 n+1 2 n+2 n 2n 注：利用第7題的方法可以證 明與 時獨立。 解：令 “系統(tǒng)（Ⅰ）正常工作” “系統(tǒng)（Ⅱ）正常工作” “第個元件正常工作”， 相互獨立。 那么 10. 10張獎券中含有4張中獎的獎券，每人購買1張，求 （1） 前三人中恰有一人中獎的概率； （2） 第二人中獎的概率。 解：令“第個人中獎”， (1) 或 （2） 11. 在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查出95%的真實患者，但也有可能將10%的人誤診。根據(jù)以往的記錄，每10 000人中有4人患有肝癌，試求： （1）某人經(jīng)此檢驗法診斷患有肝癌的概率； （2）已知某人經(jīng)此檢驗法檢驗患有肝癌，而他確實是肝癌患者的概率。 解： 令“被檢驗者患有肝癌”， “用該檢驗法診斷被檢驗者患有肝癌” 那么， （1） （2） 12. 一大批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為30%，每次任取1件，連續(xù)抽取5次，計算下列事件的概率： （1）取到的5件產(chǎn)品中恰有2件是優(yōu)質(zhì)品； （2） 在取到的5件產(chǎn)品中已發(fā)現(xiàn)有1件是優(yōu)質(zhì)品，這5件中恰有2件是優(yōu)質(zhì)品。 解：令“5件中有件優(yōu)質(zhì)品”， （1） （2） 13. 每箱產(chǎn)品有10件，其次品數(shù)從0到2是等可能的。開箱檢驗時，從中任取1件，如果檢驗是次品，則認為該箱產(chǎn)品不合格而拒收。假設由于檢驗有誤，1件正品被誤檢是次品的概率是2%，1件次品被誤判是正品的概率是5%，試計算： （1）抽取的1件產(chǎn)品為正品的概率； （2）該箱產(chǎn)品通過驗收的概率。 解：令 “抽取一件產(chǎn)品為正品” “箱中有件次品”， “該箱產(chǎn)品通過驗收” （1） （2） 14. 假設一廠家生產(chǎn)的儀器，以概率0.70可以直接出廠，以概率0.30需進一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠，并以概率0.20定為不合格品不能出廠?，F(xiàn)該廠新生產(chǎn)了臺儀器（假設各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立），求： （1）全部能出廠的概率； （2）其中恰有2件不能出廠的概率； （3）其中至少有2件不能出廠的概率。 解：令 “儀器需進一步調(diào)試” ； “儀器能出廠” “儀器能直接出廠” ； “儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠” 顯然， 那么 所以 令“件中恰有件儀器能出廠”， （1） （2） （3） 15. 進行一系列獨立試驗，每次試驗成功的概率均為，試求以下事件 的概率： （1）直到第次才成功； （2）第次成功之前恰失敗次； （3）在次中取得次成功； （4）直到第次才取得次成功。 解： （1） （2） （3） （4） 16. 對飛機進行3次獨立射擊，第一次射擊命中率為0.4，第二次為0.5，第三次為0.7. 擊中飛機一次而飛機被擊落的概率為0.2，擊中飛機二次而飛機被擊落的概率為0.6，若被擊中三次，則飛機必被擊落。求射擊三次飛機未被擊落的概率。 解：令“恰有次擊中飛機”， “飛機被擊落” 顯然： 而，，， 所以 ； 習題1.3解答 1. 設為隨機變量，且(), 則 （1） 判斷上面的式子是否為的概率分布； （2） 若是，試求和. 解：令 （1）顯然，且 所以為一概率分布。 （2）為偶數(shù) 2.設隨機變量X的概率分布為(), 且，求常數(shù). 解：，而 ，即 3. 設一次試驗成功的概率為，不斷進行重復試驗，直到首次成功為止。用隨機變量表示試驗的次數(shù)，求的概率分布。 解： 4. 設自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1，當生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求 （1）的概率分布； （2）。 解： （1） （2） 5. 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中有1個答案是正確的。求某學生靠猜測能答對至少4道題的概率是多少？ 解：因為學生靠猜測答對每道題的概率為，所以這是一個,的獨立重復試驗。 6. 為了保證設備正常工作，需要配備適當數(shù)量的維修人員。根據(jù)經(jīng)驗每臺設備發(fā)生故障的概率為0.01，各臺設備工作情況相互獨立。 （1）若由1人負責維修20臺設備，求設備發(fā)生故障后不能及時維修的概率； （2）設有設備100臺，1臺發(fā)生故障由1人處理，問至少需配備多少維修人員，才能保證設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率不超過0.01？ 解： （1）（按(泊松)分布近似） （2）（按(泊松)分布近似） 查表得 7. 設隨機變量服從參數(shù)為的Poisson(泊松)分布，且，求 （1）； （2）. 解： 8. 設書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從Poisson(泊松)分布。經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率。 解：，即 9. 在長度為的時間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)服從參數(shù)為的Poisson分布，而與時間間隔的起點無關（時間以小時計），求 （1）某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率； （2）某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率； 9. 在長度為t的時間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為的Poisson(泊松)分布，而與時間間隔的起點無關（時間以小時計）. 求 （1）某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率； （2）某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率； 解： （1） （2） 10. 已知的概率分布為： -2 -1 0 1 2 3 2a 3a a a 2a 試求（1）； （2）的概率分布。 解： （1） 。 （2） 11. 設連續(xù)型隨機變量的概率密度曲線如圖1.3.8所示. f (x) 圖1.3.8 x t o 1 2 3 0.5 試求:（1）的值； （2）的概率密度； （3）. 解： （1） （2） （3） 12. 設連續(xù)型隨機變量的概率密度為 試確定常數(shù)并求. 解：令，即 ，即 13. 乘以什么常數(shù)將使變成概率密度函數(shù)? 解：令 即 即 14. 隨機變量，其概率密度函數(shù)為 () 試求；若已知，求. 解： , 若，由正態(tài)分布的對稱性 可知 . 15. 設連續(xù)型隨機變量的概率密度為 以表示對的三次獨立重復試驗中“”出現(xiàn)的次數(shù)，試求概率. 解： 。 16. 設隨機變量服從[1,5]上的均勻分布，試求. 如果 （1）； （2）. 解：的概率密度為 （1） （2） 17. 設顧客排隊等待服務的時間（以分計）服從的指數(shù)分布。某顧客等待服務，若超過10分鐘，他就離開。他一個月要去等待服務5次，以表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開的次數(shù)，試求的概率分布和. 解： 習題1.4解答 1. 已知隨機變量的概率分布為，，，試求的分布函數(shù)；；畫出的曲線。 解： ； 曲線： 2. 設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為 試求:（1）的概率分布； （2）. 解： （1） （2） 3. 從家到學校的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的概率是相互獨立的，且概率均是0.4，設為途中遇到紅燈的次數(shù)，試求（1）的概率分布； （2） 的分布函數(shù)。 解： （1） 列成表格 （2） 4. 試求習題1.3中第11題的分布函數(shù)，并畫出的曲線。 解： 5. 設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為 試求:（1）的值； （2）； （3）概率密度函數(shù). 解： （1） 又 （2） （3） 6. 設為連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)為 試確定中的的值。 解： 又 又 又 即 7. 設隨機變量的概率密度函數(shù)為，試確定的值并求和. 解： 即 8. 假設某地在任何長為(年)的時間間隔內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù)服從參數(shù)為的Poisson(泊松)分布，表示連續(xù)兩次地震之間相隔的時間（單位：年），試求: （1）證明服從指數(shù)分布并求出的分布函數(shù)； （2）今后3年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率； （3）今后3年到5年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率。 解： （1） 當時， 當時， 服從指數(shù)分布（） （2） （3） 9. 設，試計算（1）； （2）；（3）； （4）. 解： （1） （2） （3） （4） 10. 某科統(tǒng)考成績近似服從正態(tài)分布，第100名的成績?yōu)?0分，問第20名的成績約為多少分？ 解： 而 又 即 ，， 11. 設隨機變量和均服從正態(tài)分布，，，而，，試證明 . 證明： . 12. 設隨機變量服從[a,b]上的均勻分布，令，試求隨機變量的密度函數(shù)。 解： 當時， 當時，