第一章實數(shù)集與函數(shù) 1實數(shù) 授課章節(jié) 第一章實數(shù)集與函數(shù) 1 實數(shù) 教學目的 使學生掌握實數(shù)的基本性質(zhì) 教學重點 1 理解并熟練運用實數(shù)的有序性 稠密性和封閉性 2 牢記并熟練運用實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個常見的不等式 它們 是分析論證的重要工具 教學難點 實數(shù)集的概念及其應用 教學方法 講授 部分內(nèi)容自學 教學程序 引 言 上節(jié)課中 我們與大家共同探討了 數(shù)學分析 這門課程的研究對象 主 要內(nèi)容等話題 從本節(jié)課開始 我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程 的主要內(nèi)容 首先 從大家都較為熟悉的實數(shù)和函數(shù)開始 問題 為什么從 實數(shù) 開始 答 數(shù)學分析 研究的基本對象是函數(shù) 但這里的 函數(shù) 是定義在 實數(shù)集 上的 后繼課 復變函數(shù) 研究的是定義在復數(shù)集上的函數(shù) 為此 我們要先了解一下實數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 一 實數(shù)及其性質(zhì) 1 實數(shù) qp 有 理 數(shù) 任 何 有 理 數(shù) 都 可 以 用 分 數(shù) 形 式 為 整 數(shù) 且 0 表 示 也 可 以 用 有 限 十 進 小 數(shù) 或 無 限 十 進 小 數(shù) 來 表 示 無 理 數(shù) 用 無 限 十 進 不 循 環(huán) 小 數(shù) 表 示 Rx 一 一 問題 有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一 這對統(tǒng)一討論實數(shù)是不利的 為以 下討論的需要 我們把 有限小數(shù) 包括整數(shù) 也表示為 無限小數(shù) 為此作如下規(guī)定 對于正有限小數(shù) 其中012 nxa 記 009 i na 為 非 負 整 數(shù) 01 9nxa 對于正整數(shù) 則記 對于負有限小數(shù) 包括負整數(shù) 0 x 9x 則先將 表示為無限小數(shù) 現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負號 0 表示為yy 0 例 2 1 0 利用上述規(guī)定 任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示 在此規(guī)定下 如何比較實數(shù)的大小 2 兩實數(shù)大小的比較 1 定義 1給定兩個非負實數(shù) 其中01 nxa 01 nyb 為非負整數(shù) 為整數(shù) 若有0 ab kab 2 9 kk 則稱 與 相等 記為 若 或存在非負整數(shù) 2k xyxy0a l 使得 而 則稱 大于 或 小于 分別記為 01 kl 1llb x 或 對于負實數(shù) 若按上述規(guī)定分別有 或 xy x y 則分別稱為 與 或 y yx 規(guī)定 任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù) 2 實數(shù)比較大小的等價條件 通過有限小數(shù)來比較 定義 2 不足近似與過剩近似 為非負實數(shù) 稱有理數(shù)01 na 為實數(shù) 的 位不足近似 稱為實數(shù) 的 位過剩近01 nnxa xnnx xn 似 對于負實數(shù) 其 位不足近似 位01 nxa 01 nnxa 過剩近似 n 注 實數(shù) 的不足近似 當 增大時不減 即有 過剩近xnx012x 似 當 n增大時不增 即有 x012 命題 記 為兩個實數(shù) 則 的等價條01 nxa nyb xy 件是 存在非負整數(shù) n 使 其中 為 的 位不足近似 為 的nx xn 位過剩近似 n 命題應用 例 1 設 為實數(shù) 證明存在有理數(shù) 滿足 xyy rxry 證明 由 知 存在非負整數(shù) n 使得 令 則 nxy 12n r為有理數(shù) 且 32 901 9 即 nnxry xry 3 實數(shù)常用性質(zhì) 詳見附錄 28930P 1 封閉性 實數(shù)集 對 四則運算是封閉的 即任意兩個實數(shù)的R 和 差 積 商 除數(shù)不為 0 仍是實數(shù) 2 有序性 關(guān)系 三者必居其一 也只居其一 ab ab 3 傳遞性 c ca若 則 4 阿基米德性 使得 0RnN b 5 稠密性 兩個不等的實數(shù)之間總有另一個實數(shù) 6 一一對應關(guān)系 實數(shù)集 與數(shù)軸上的點有著一一對應關(guān)系 例 2 設 證明 若對任何正數(shù) 有 則 ab a a 提示 反證法 利用 有序性 取 b 二 絕對值與不等式 1 絕對值的定義 實數(shù) 的絕對值的定義為 a 0 a 2 幾何意義 從數(shù)軸看 數(shù) 的絕對值 就是點 到原點的距離 表示就是數(shù)軸 a xa 上點 與 之間的距離 xa 3 性質(zhì) 1 非負性 0 0 2 a 3 hh 0 aha 4 對任何 有 三角不等式 bR bb 5 a 6 b0 三 幾個重要不等式 1 22a 1sin x sinx 2 均值不等式 對 記 21 Rna 算術(shù)平均值 1 nii aaM 幾何平均值 121ninniaG 調(diào)和平均值 1121 ninii aaaH 有平均值不等式 即 iiiMG 121212 nnnaa 等號當且僅當 時成立 n 3 Bernoulli 不等式 在中學已用數(shù)學歸納法證明過 有不等式 1 x 1 nx N 當 且 且 時 有嚴格不等式0 N 2 1 nx 證 由 且x 1 nnx 1 nn x 4 利用二項展開式得到的不等式 對 由二項展開式 0 h 3 2 1 2 1 3nn hnh 有 上式右端任何一項 h 練習 P4 5 課堂小結(jié) 實數(shù) 一 實 數(shù) 及 其 性 質(zhì)二 絕 對 值 與 不 等 式 作業(yè) P4 1 1 2 2 3 3 2數(shù)集和確界原理 授課章節(jié) 第一章實數(shù)集與函數(shù) 2 數(shù)集和確界原理 教學目的 使學生掌握確界原理 建立起實數(shù)確界的清晰概念 教學要求 1 掌握鄰域的概念 2 理解實數(shù)確界的定義及確界原理 并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運 用 教學重點 確界的概念及其有關(guān)性質(zhì) 確界原理 教學難點 確界的定義及其應用 教學方法 講授為主 教學程序 先通過練習形式復習上節(jié)課的內(nèi)容 以檢驗學習效果 此后導入新 課 引 言 上節(jié)課中我們對數(shù)學分析研究的關(guān)鍵問題作了簡要討論 此后又讓大家自 學了第一章 1 實數(shù)的相關(guān)內(nèi)容 下面 我們先來檢驗一下自學的效果如何 1 證明 對任何 有 1 2 xR 1 2 x 2 3 x 1 1xx 2123 x 三 式 相 加 化 簡 即 可 2 證明 yx 3 設 證明 若對任何正數(shù) 有 則 abR ab ab 4 設 證明 存在有理數(shù) 滿足 xy ryrx 引申 由題 1可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢 這樣思考是做科研時的經(jīng)常 的思路之一 而不要做完就完了 而要多想想 能否具體問題引出一般的結(jié)論 一般的方法 由上述幾個小題可以體會出 大學數(shù)學 習題與中學的不同 理論性強 概念性強 推理有理有據(jù) 而非憑空想象 課后未布置作業(yè)的習 題要盡可能多做 以加深理解 語言應用 提請注意這種差別 盡快掌握本門課 程的術(shù)語和工具 本節(jié)主要內(nèi)容 1 先定義實數(shù)集 R中的兩類主要的數(shù)集 區(qū)間與鄰域 2 討論有界集與無界集 3 由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理 確界原理 一 區(qū)間與鄰域 1 區(qū)間 用來表示變量的變化范圍 設 且 其中 abR 有 限 區(qū) 間區(qū) 間 無 限 區(qū) 間 xRabxabR 開 區(qū) 間 閉 區(qū) 間 有 限 區(qū) 間 閉 開 區(qū) 間 半 開 半 閉 區(qū) 間 開 閉 區(qū) 間 xRaxxR 無 限 區(qū) 間 2 鄰域 聯(lián)想 鄰居 字面意思 鄰近的區(qū)域 與 鄰近的 區(qū)域 很多 a 到底哪一類是我們所要講的 鄰域 呢 就是 關(guān)于 的對稱區(qū)間 如何用數(shù) 學語言來表達呢 1 的 鄰域 設 滿足不等式 的全體實數(shù) 的集a 0aR x x 合稱為點 的 鄰域 記作 或簡記為 即 U Ua Ux 其中 a 稱 為 該 鄰 域 的 中 心 稱 為 該 鄰 域 的 半 徑 2 點 的空心 鄰域 0 o oxaaUa 3 的 右鄰域和點 的空心 右鄰域a 00 UUxaaa 4 點 的 左鄰域和點 的空心 左鄰域00 x 5 鄰域 鄰域 鄰域 其中 M為充分大的正數(shù) Ux Ux 二 有界集與無界集 1 定義 1 上 下界 設 為 中的一個數(shù)集 若存在數(shù) 使得一切SR ML 都有 則稱 S為有上 下 界的數(shù)集 數(shù) 稱為 S的xS MxL 上界 下界 若數(shù)集 S既有上界 又有下界 則稱 S為有界集 閉區(qū)間 開區(qū)間 為有限數(shù) 鄰域等都是有界數(shù)集 abba 集合 也是有界數(shù)集 sin xyE 若數(shù)集 S不是有界集 則稱 S為無界集 等都是無界數(shù)集 0 集合 也是無界數(shù)集 1 xyE 注 1 上 下 界若存在 不唯一 2 上 下 界與 S的關(guān)系如何 看下例 例 1 討論數(shù)集 的有界性 Nn 為 正 整 數(shù) 解 任取 顯然有 所以 有下界 1 0n 01 N 但 無上界 因為假設 有上界 M 則 M 0 按定義 對任意 都 0nN 有 這是不可能的 如取0M 則 且 1nM 符 號 表 示 不 超 過 的 最 大 整 數(shù) 0n 0M 綜上所述知 是有下界無上界的數(shù)集 因而是無界集 N 例 2證明 1 任何有限區(qū)間都是有界集 2 無限區(qū)間都是無界集 3 由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集 問題 若數(shù)集 S有上界 上界是唯一的嗎 對下界呢 答 不唯一 有無窮多個 三 確界與確界原理 1 定義 定義 2 上確界 設 S是 R中的一個數(shù)集 若數(shù) 滿足 1 對一切 有 即 是 S的上界 2 對任何 存在 使得 xS 0 xS 即 是 S的上界中最小的一個 則稱數(shù) 為數(shù)集 S的上確界 記作0 sup 從定義中可以得出 上確界就是上界中的最小者 命題 1 充要條件supME 1 x 2 00 oSxM 使 得 證明 必要性 用反證法 設 2 不成立 則 與 是上界中最小的一個矛盾 0 o 使 得 均 有 充分性 用反證法 設 不是 E的上確界 即 是上界 但 0M 0 令 由 2 使得 與 是 E的上界矛0M 0 x 0 x 0 盾 定義 3 下確界 設 S是 R中的一個數(shù)集 若數(shù) 滿足 1 對一切 有 即 是 S的下界 2 對任何 存在 使得 xS 0 xS 即 是 S的下界中最大的一個 則稱數(shù) 為數(shù)集 S的下確界 記作0 inf 從定義中可以得出 下確界就是下界中的最大者 命題 2 的充要條件 ifS 1 xE 2 0 00 x有 上確界與下確界統(tǒng)稱為確界 例 3 1 則 1 0 1 nSsupS infS 2 則 1 0 0 i xyEsupinfS 注 非空有界數(shù)集的上 或下 確界是唯一的 命題 3 設數(shù)集 有上 下 確界 則這上 下 確界必是唯一的 A 證明 設 且 則不妨設sup s Ax 有 對 使 矛盾 sup 0 x 0 x 例 sup0R sup1nZ 1inf2Z 則有 5 39Eif5E 開區(qū)間 與閉區(qū)間 有相同的上確界 與下確界 ab abba 例 4設 和 是非空數(shù)集 且有 則有 SA AS infi supASS 例 5設 和 是非空數(shù)集 若對 和 都有 則有Bx Byyxinfsup 證明 是 的上界 是 的下界 y A sup yA sup ifs BA 例 6 和 為非空數(shù)集 試證明 BS inf miinfBAS 證明 有 或 由 和 分別是 和 的下界 有x A xAif 或inf if if B 即 是數(shù)集 的下界 mBS 又 的下界就是 的下界 inf iif AS SA A 是 的下界 是 的下界 同理有n infi ifiB 于是有 inf miBS 綜上 有 nfA 1 數(shù)集與確界的關(guān)系 確界不一定屬于原集合 以例 3 為例做解釋 2 確界與最值的關(guān)系 設 為數(shù)集 E 1 的最值必屬于 但確界未必 確界是一種臨界點 E 2 非空有界數(shù)集必有確界 見下面的確界原理 但未必有最值 3 若 存在 必有 對下確界有類似的結(jié)論 maxsupax 4 確界原理 Th1 1 確界原理 設 非空的數(shù)集 若 有上界 則 必有上確界 若 有SSSS 下界 則 必有下確界 S 這里我們給一個可以接受的說明 非空 Ex 我們可以找到一 ER 個整數(shù) 使得 p不是 上界 而 是 的上界 然后我們遍查1p 9 2 1p 和 1 我們可以找到一個 0q 90 使得 0 qp不是E 上界 0q是 E上界 如果再找第二位小數(shù) 1 如此下去 最后得 到 210 它是一個實數(shù) 即為 E的上確界 證明 書上對上確界的情況給出證明 下面講對下確界的證明 不妨設S 中的元素都為非負數(shù) 則存在非負整數(shù) n 使得 1 Sx 有 n 2 存在 1 有 1 x 把區(qū)間 n10等分 分點為 n 1 2 9 存在 1n 使得 1 有 1 2 存在 Sx2 使得 102 n 再對開區(qū)間 10等分 同理存在 2 使得1 0n 1 對任何 有 21 x 2 存在 2x 使 02 n 繼續(xù)重復此步驟 知對任何 k 存在 kn使得 1 對任何 S k1021 2 存在 xk k 因此得到 n21 以下證明 Sif 對任意 x 對任何 存在 使 x 作業(yè) P9 1 1 2 2 4 2 4 3函數(shù)概念 授課章節(jié) 第一章實數(shù)集與函數(shù) 3 函數(shù)概念 教學目的 使學生深刻理解函數(shù)概念 教學要求 深刻理解函數(shù)的定義以及復合函數(shù) 反函數(shù)和初等函數(shù)的定義 熟 悉函數(shù)的各種表示法 牢記基本初等函數(shù)的定義 性質(zhì)及其圖象 會求初等函數(shù)的存在域 會分析初等函數(shù)的復合關(guān)系 教學重點 函數(shù)的概念 教學難點 初等函數(shù)復合關(guān)系的分析 教學方法 課堂講授 輔以提問 練習 部分內(nèi)容可自學 教學程序 引 言 關(guān)于函數(shù)概念 在中學數(shù)學中已有了初步的了解 為便于今后的學習 本節(jié) 將對此作進一步討論 一 函數(shù)的定義 定義 設 如果存在對應法則 使對 存在唯一 DMR fxD 的一個數(shù) 與之對應 則稱 是定義在數(shù)集 上的函數(shù) 記作y fD M xy 數(shù)集 稱為函數(shù) 的定義域 所對應的 稱為 在點 的函數(shù)值 記Df fx 為 全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù) 的值域 記作 fxf D 即 fDyx 幾點說明 1 函數(shù)定義的記號中 表示按法則 建立 到 的函數(shù) fM fM 關(guān)系 表示這兩個數(shù)集中元素之間的對應關(guān)系 也記作 習慣 xy xf 上稱 自變量 為因變量 2 函數(shù)有三個要素 即定義域 對應法則和值域 當對應法則和定義域 確定后 值域便自然確定下來 因此 函數(shù)的基本要素為兩個 定義域和對應法 則 所以函數(shù)也常表示為 yfxD 由此 我們說兩個函數(shù)相同 是指它們有相同的定義域和對應法則 例如 1 不相同 對應法則相同 定 1 fxR 1 0 gxR 義域不同 2 相同 只是對應法則的表 2 x 達形式不同 3 函數(shù)用公式法 解析法 表示時 函數(shù)的定義域常取使該運算式子有 意義的自變量的全體 通常稱為存在域 自然定義域 此時 函數(shù)的記號中的 定義域可省略不寫 而只用對應法則 來表示一個函數(shù) 即 函數(shù) 或f yfx 函數(shù) f 4 映射 的觀點來看 函數(shù) 本質(zhì)上是映射 對于 稱為f aD f 映射 下 的象 稱為 的原象 fa fa 5 函數(shù)定義中 只能有唯一的一個 值與它對應 這樣定義xD y 的函數(shù)稱為 單值函數(shù) 若對同一個 值 可以對應多于一個 值 則稱這種x 函數(shù)為多值函數(shù) 本書中只討論單值函數(shù) 簡稱函數(shù) 二 函數(shù)的表示方法 1 主要方法 解析法 公式法 列表法 表格法 和圖象法 圖示法 2 可用 特殊方法 來表示的函數(shù) 1 分段函數(shù) 在定義域的不同部分用不同的公式來表示 例如 符號函數(shù) 1 0sgn x 借助于 sgnx可表示 即 fx sgnfxx 2 用語言敘述的函數(shù) 注意 以下函數(shù)不是分段函數(shù) 例 取整函數(shù) y 比如 3 5 3 3 3 3 5 4 常有 即 1x 01x 與此有關(guān)一個的函數(shù) 非負小數(shù)函數(shù) 圖 y 形是一條大鋸 畫出圖看一看 狄利克雷 Dirichlet 函數(shù) 1 0 xD 當 為 有 理 數(shù)當 為 無 理 數(shù) 這是一個病態(tài)函數(shù) 很有用處 卻無法畫出它的圖形 它是周期函數(shù) 但卻 沒有最小周期 事實上任一有理數(shù)都是它的周期 黎曼 Riemman 函數(shù) 1 001 ppxqNqR 當 為 既 約 分 數(shù)當 和 內(nèi) 的 無 理 數(shù) 三 函數(shù)的四則運算 給定兩個函數(shù) 記 并設 定義 與12 fxDg12D f 在 上的和 差 積運算如下 gD Fxf Gxfgx Hgx 若在 中除去使 的值 即令 可在 0 2 0 DxD 上定義 與 的商運算如下 D fg fxLDg 注 若 則 與 不能進行四則運算 12D f 為敘述方便 函數(shù) 與 的和 差 積 商常分別寫為 ffgfg 四 復合運算 引言 在有些實際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們 之間的對應關(guān)系 例 質(zhì)量為 m的物體自由下落 速度為 v 則功率 為E 2211Emgtvgt 抽去該問題的實際意義 我們得到兩個函數(shù) 把 代2 fvgt vt 入 即得f 21 fvtmgt 這樣得到函數(shù)的過程稱為 函數(shù)復合 所得到的函數(shù)稱為 復合函數(shù) 問題 任給兩個函數(shù)都可以復合嗎 考慮下例 2 arcsin 1 yfuDugxER 就不能復合 結(jié)合上例可見 復合的前提條件是 內(nèi)函數(shù) 的值域與 外函數(shù) 的定義域的交集不空 從而引出下面定義 2 定義 復合函數(shù) 設有兩個函數(shù) yfDugx 若 則對每一個 通過 對應 內(nèi)唯一一個 ExfDE xE 值 而 又通過 對應唯一一個值 這就確定了一個定義在 上的函數(shù) ufy 它以 為自變量 因變量 記作 或 簡記xy fgx yfgxE 為 稱為函數(shù) 和 的復合函數(shù) 并稱 為外函數(shù) 為內(nèi)函數(shù) 為中間fg fg u 變量 3 例子 例 求 并求定義 1 2xgufy xgff 域 例 1 1 2 xfxf 則 12xf xf A B C D 2 12 x 2 x 2 x 例 討論函數(shù) 與函數(shù) 能否 0 yfu 2 1 ugR 進行復合 求復合函數(shù) 4 說明 復合函數(shù)可由多個函數(shù)相繼復合而成 每次復合 都要驗證能否進行 在哪個數(shù)集上進行 復合函數(shù)的最終定義域是什么 例如 復合成 2sin 1yuvx 2si1 yx 不僅要會復合 更要會分解 把一個函數(shù)分解成若干個簡單函數(shù) 在分 解時也要注意定義域的變化 2 2log1 0 log 1 a ayxyuzx 2rcsinrcsinv 2i 2 xuyyvx 五 反函數(shù) 引言 在函數(shù) 中把 叫做自變量 叫做因變量 但需要指出的是 自變 yfx y 量與因變量的地位并不是絕對的 而是相對的 例如 那2 1 fut 么 對于 來講是自變量 但對 來講 是因變量 uf tu 習慣上說函數(shù) 中 是自變量 是因變量 是基于 隨 的變化現(xiàn) yfx yyx 時變化 但有時我們不僅要研究 隨 的變化狀況 也要研究 隨 的變化的狀yx 況 對此 我們引入反函數(shù)的概念 反函數(shù)概念 定義設 Xf R是一函數(shù) 如果 1x X 2 由 2121xx 或由 1 ff 則稱 f在 上是 1 1 的 若 Y f 稱 為滿的 若 Xf是滿的 1 1 的 則稱 f為 1 1對應 R是 1 1 的意味著 xy 對固定 y至多有一個解x Yf是 1 1 的意味著對 Y f有且僅有一個 解 定義 設 Xf 是 1 1對應 y 由 xf 唯一確 定一個 x 由這種對應法則所確定的函數(shù)稱為 y的反 函數(shù) 記為 1yf 反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域 YXf 1 顯然有 If 恒等變換 1 恒等變換 YXff 從方程角度看 函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別 作為函數(shù) 習慣 上我們還是把反函數(shù)記為 1xy 這樣它的圖形與 xfy 的圖形是關(guān)于對角線 對稱的 嚴格單調(diào)函數(shù)是 1 1對應的 所以嚴格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù) 但 1 1 對應的函數(shù) 有反函數(shù) 不一定是嚴格單調(diào)的 看下面例子 21 30 xxf 它的反函數(shù)即為它自己 實際求反函數(shù)問題可分為二步進行 1 確定 YXf 的定義域 X和值域 Y 考慮 1 1對應條件 固定 Yy 解方程 yx 得出 1yfx 2 按習慣 自變量 因變量 互換 得 1xf 例 求 2 xesh R R的反函數(shù) 0 x y 解 固定 y 為解 2 xe 令 zx 方程變?yōu)?1z 02y 2 舍去 12 y 得 ln 2 yx 即 ln2xshx 稱為反雙曲正弦 定理 給定函數(shù) f 其定義域和值域分別記為 X和 Y 若在 Y上存在函數(shù) yg 使得 fg 則有 1yfg 分析 要證兩層結(jié)論 一是 的反函數(shù)存在 我們只要證它是 1 1 對應就行了 二是要證 1 f 證 要證 xfy 的反函數(shù)存在 只要證 xf是 到 Y的 1 1 對應 1 X 2 若 21fxf 則由定理條件 我們有 1 fg 2g 即 Y 是 1 1 對應 再證 y X 使得 xfy y 由反函數(shù)定義 1fx 再由定理條件 gf 1 gfy 例 若 f存在唯一 不動點 則 xf也 不動點 R 證 存在性 設 x ff 即 xf是 f 的不動點 由唯一性 x 即存在 的不動點 唯一性 設 xf fxf 說明 x是 的不動點 由唯一性 x 從映射的觀點看函數(shù) 設函數(shù) 滿足 對于值域 中的每一個值 中 yfxD fDy 有且只有一個值 使得 則按此對應法則得到一個定義在 fy 上的函數(shù) 稱這個函數(shù)為 的反函數(shù) 記作 fD 或1 fDyx 1 xfyfD 注 釋 a 并 不是任 何函數(shù) 0 y f x y f 1 x 0 y f x 都有反函數(shù) 從映射的觀點看 函數(shù) 有反函數(shù) 意味著 是 與ff 之間的一個一一映射 稱 為映射 的逆映射 它把 fD1 D b 函數(shù) 與 互為反函數(shù) 并有 f 1 fx 1 fxyf c 在反函數(shù)的表示 中 是以 為自變量 為因變量 若1 xfyfD yx 按習慣做法用 做為自變量的記號 作為因變量的記號 則函數(shù) 的反f 函數(shù) 可以改寫為1f yxD 應該注意 盡管這樣做了 但它們的表示同一個函數(shù) 因為其定義域和對 應法則相同 僅是所用變量的記號不同而已 但它們的圖形在同一坐標系中畫出 時有所差別 六 初等函數(shù) 1 基本初等函數(shù) 類 常量函數(shù) 為常數(shù) yC 冪函數(shù) xR 指數(shù)函數(shù) 0 1ya 對數(shù)函數(shù) log ax 三角函數(shù) sin cs cyytgxt 反三角函數(shù) araro xrxyarctgx 注 冪函數(shù) 和指數(shù)函數(shù) 都涉及乘冪 而在 yxR 01 xy 中學數(shù)學課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義 下面我們借助于確界來定義無 理指數(shù)冪 便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實指數(shù)乘冪 并保持有理批數(shù)冪的 基本性質(zhì) 定義 給定實數(shù) 設 為無理數(shù) 我們規(guī)定 0 1a x sup 1 0rxx a r0 Xx有 即 f fM 取 m 即可 f 反之如果 使得 令 則 xfx 0a1 即 使得對 有 即 有界 0 fx 0 X f fR 例 2 證明 為 上的無上界函數(shù) 1 fx 0 例 3 設 為 D上的有界函數(shù) 證明 1 g inf if inf xDxxgx 2 supsups xDf 例 4驗證函數(shù) 在 內(nèi)有界 325 fR 解法一 由 當 時 有 623 22 xxx 0 56 22 xf 30 對 總有 即 在 內(nèi)有界 R 3 f xfR 解法二 令 關(guān)于 的二次方程 有實數(shù) 25 xy 0352 yxy 根 4 425 0 y 解法三 令 對應 于是 23 tgx x ttgtgtxf 2222 sec1oin6513535 2sin2 sin625 txft 二 單調(diào)函數(shù) 定義 3設 為定義在 D上的函數(shù) 1 若f 1212 xDx 則稱 為 D上的增函數(shù) 若 則稱 為 D上的嚴格12 fx fff 增函數(shù) 2 若 則稱 為 D上的減函數(shù) 若 則稱12 fxf f 12 x 為 D上的嚴格減函數(shù) f 例 5 證明 在 上是嚴格增函數(shù) 3y 證明 設 21x 212121 xx 如 02 則 3 如 1 則 221120 故 0321 x即得證 例 6 討論函數(shù) 在 上的單調(diào)性 yx R 當 時 有 但此函數(shù)在 上的不是嚴格增函12 12 12x R 數(shù) 注 1 單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān) 在定義域的某些部分 可能單調(diào) f 也可能不單調(diào) 所以要會求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 2 嚴格單調(diào)函數(shù)的幾何意義 其圖象無自交點或無平行于 軸的部分 更x 準確地講 嚴格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于 軸的直線至多有一個交點 這一x 特征保證了它必有反函數(shù) 總結(jié)得下面的結(jié)論 定理 1 設 為嚴格增 減 函數(shù) 則 必有反函數(shù) 且 yfxD f1f 在其定義域 上也是嚴格增 減 函數(shù) f 證明 設 在 上嚴格增函數(shù) 對 下面證明f yfxDfy 一 這樣的 只有一個 事實上 對于 內(nèi)任一 由于 在 上嚴格增函數(shù) 當x 1 時 當 時 總之 即1 1 fy1x 1 ffy 從而 yDDfx 一 例 7 討論函數(shù) 在 上反函數(shù)的存在性 如果 在2 2x 上不存在反函數(shù) 在 的子區(qū)間上存在反函數(shù)否 結(jié)論 函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān) 例 8 證明 當 時在 上嚴格增 當 時在 上嚴格遞減 xya1 01a R 三 奇函數(shù)和偶函數(shù) 定義 4 設 D為對稱于原點的數(shù)集 為定義在 D上的函數(shù) 若對每一個f 有 1 則稱 為 D上的奇函數(shù) 2 x fxf f fxf 則稱 為 D上的偶函數(shù) f 注 1 從函數(shù)圖形上看 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 中心對稱 偶 函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對稱 y 2 奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ 因此 沒有必要討論奇 01 fx 偶性 3 從奇偶性角度對函數(shù)分類 奇 函 數(shù) y sin偶 函 數(shù) g非 奇 非 偶 函 數(shù) ix co既 奇 又 偶 函 數(shù) 0 4 由于奇偶函數(shù)對稱性的特點 研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時 只須討論原點的 左邊或右邊即可四 周期函數(shù) 1 定義 設 為定義在數(shù)集 D上的函數(shù) 若存在 使得對一切 有f 0 xD 則稱 為周期函數(shù) 稱為 的一個周期 fx f f 2 幾點說明 1 若 是 的周期 則 也是 的周期 所以周期若存在 則f nN 不唯一 如 因此有如下 基本周期 的說法 即若在周sin 2 4yx 期函數(shù) 的所有周期中有一個最小的周期 則稱此最小周期為 的 基本周期 f f 簡稱 周期 如 周期為 i 2 任給一個函數(shù)不一定存在周期 既使存在周期也不一定有基本周期 如 1 不是周期函數(shù) 2 為常數(shù) 任何正數(shù)都是它的1yx yC 周期 第二章數(shù)列極限 引 言 為了掌握變量的變化規(guī)律 往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢 例如有這么一個變量 它開始是 1 然后為 如此 一直無盡地1 234n 變下去 雖然無盡止 但它的變化有一個趨勢 這個趨勢就是在它的變化過程 中越來越接近于零 我們就說 這個變量的極限為 0 在高等數(shù)學中 有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān) 如導數(shù) 微分 積分 級數(shù)等 并且在實際問題中極限也占有重要的地位 例如求圓的面積和 圓周長 已知 但這兩個公式從何而來 2 Srl 要知道 獲得這些結(jié)果并不容易 人們最初只知道求多邊形的面積和求直 線段的長度 然而 要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們在觀念上 在思 考方法上來一個突破 問題的困難何在 多邊形的面積其所以為好求 是因為它的周界是一些直 線段 我們可以把它分解為許多三角形 而圓呢 周界處處是彎曲的 困難就在 這個 曲 字上面 在這里我們面臨著 曲 與 直 這樣一對矛盾 辯證唯物主義認為 在一定條件下 曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化 整個圓周 是曲的 每一小段圓弧卻可以近似看成是直的 就是說 在很小的一段上可以 近似地 以直代曲 即以弦代替圓弧 按照這種辯證思想 我們把圓周分成許多的小段 比方說 分成 個等長的n 小段 代替圓而先考慮其內(nèi)接正 邊形 易知 正 邊形周長為nn2sinlR 顯然 這個 不會等于 然而 從幾何直觀上可以看出 只要正 邊形的邊l 數(shù)不斷增加 這些正多邊形的周長將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長 越大 近似程度越高 n 但是 不論 多么大 這樣算出來的總還只是多邊形的周長 無論如何它只n 是周長的近似值 而不是精確值 問題并沒有最后解決 為了從近似值過渡到精確值 我們自然讓 無限地增大 記為 直觀nn 上很明顯 當 時 記成 極限思想 nllimnl 即圓周長是其內(nèi)接正多邊形周長的極限 這種方法是我國劉微 張晉 早在 第 3世紀就提出來了 稱為 割圓術(shù) 其方法就是 無限分割 以直代曲 其思想在于 極限 除之以外 象曲邊梯形面積的計算均源于 極限 思想 所以 我們有必要 對極限作深入研究 1數(shù)列極限的概念 教學目的 使學生建立起數(shù)列極限的準確概念 會用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列 極限等有關(guān)命題 教學要求 使學生逐步建立起數(shù)列極限的 定義的清晰概念 深刻理解數(shù)列N 發(fā)散 單調(diào) 有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念 會應用數(shù)列極限的 定義證明數(shù)列的有關(guān)命題 并能運用 語言正確表述數(shù)列N 不以某實數(shù)為極限等相應陳述 教學重點 數(shù)列極限的概念 教學難點 數(shù)列極限的 定義及其應用 教學方法 講授為主 教學程序 一 什么是數(shù)列 1 數(shù)列的定義 數(shù)列就是 一列數(shù) 但這 一列數(shù) 并不是任意的一列數(shù) 而是有一定的 規(guī)律 有一定次序性 具體講數(shù)列可定義如下 若函數(shù) 的定義域為全體正整數(shù)集合 則稱 為數(shù)列 f N fR 注 1 根據(jù)函數(shù)的記號 數(shù)列也可記為 n 2 記 則數(shù)列 就可寫作為 簡記為 nfa fn12 na na 即 fnN 3 不嚴格的說法 說 是一個數(shù)列 f 2 數(shù)列的例子 1 2 1 34 n 11 2 435n 3 4 2965 0 二 什么是數(shù)列極限 1 引言 對于這個問題 先看一個例子 古代哲學家莊周所著的 莊子 天下篇 引用過一句話 一尺之棰 日取其半 萬世不竭 把每天截下的部分的長度 列出如下 單位為尺 第 1天截下 2 第 2天截下 21 第 3天截下 3 第 天截下 n12n 得到一個數(shù)列 23 n 不難看出 數(shù)列 的通項 隨著 的無限增大而無限地接近于零 1n 一般地說 對于數(shù)列 若當 無限增大時 能無限地接近某一個常 ana 數(shù) 則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列 常數(shù) 稱為它的極限 不具有這種特性的數(shù)列就a 不是收斂的數(shù)列 或稱為發(fā)散數(shù)列 據(jù)此可以說 數(shù)列 是收斂數(shù)列 0是它的極限 12n 數(shù)列 都是發(fā)散的數(shù)列 2 n 需要提出的是 上面關(guān)于 收斂數(shù)列 的說法 并不是嚴格的定義 而僅 是一種 描述性 的說法 如何用數(shù)學語言把它精確地定義下來 還有待進一步 分析 以 為例 可觀察出該數(shù)列具以下特性 1n 隨著 的無限增大 無限地接近于 1 隨著 的無限增大 1na n 與 1的距離無限減少 隨著 的無限增大 無限減少 會任意小 只要 充分大 n 如 要使 只要 即可 1 0 10n 要使 只要 即可 任給無論多么小的正數(shù) 都會存在數(shù)列的一項 從該項之后 Na nN 即 當 時 1 n 0 N n 1 n 如何找 或 存在嗎 解上面的數(shù)學式子即得 取1 即可 這樣 當 時 1 N 0 n1 nN 綜上所述 數(shù)列 的通項 隨 的無限增大 無限接近于 1 1 1n 即是對任意給定正數(shù) 總存在正整數(shù) 當 時 有 此即 N 以 1為極限的精確定義 記作 或 n 1limn 1 n 2 數(shù)列極限的定義 定義 1 設 為數(shù)列 為實數(shù) 若對任給的正數(shù) 總存在正整數(shù) 使得 naa N 當 時有 則稱數(shù)列 收斂于 實數(shù) 稱為數(shù)列 的極限 N na na 并記作 或 limn n 讀作 當 趨于無窮大時 的極限等于 或 趨于 由于 限于取正整nan 數(shù) 所以在數(shù)列極限的記號中把 寫成 即 或 limna na 若數(shù)列 沒有極限 則稱 不收斂 或稱 為發(fā)散數(shù)列 n n n 問題 如何表述 沒有極限 na 3 舉例說明如何用 定義來驗證數(shù)列極限N 例 1 證明 1lim0 pn 證明 不妨設 要使 0 N時 有 0 1pnppP 12 例 2 求證 0 lim qq n 證明 不妨設 要使 nnq0 只要 lg qn 注意這里 0lg lq 只要 lg 取 qNlg 則當 N時 就有 n 即 lim n 例 3 求證 1lim a n 證法 1 先設 0 要使 1 nna 只要 na 只要 1 lg n 只要 lg 取 lg aN 當 N 時 就有 1 na 即 1lim na 對 10 令 b 則 lim li nnba 證法 2 令 nnha 1 則 nnn hha 1 an 00 要使 只要 取 aN 只要 N 就有 1na 即 lim n 例 4 證 1 0 an 證明 因為 2 acnan 0 要使 0 nan 只要 ac 取 N 則只要 Nn 就有 an 即 0lim n 例 5 04li2 n 證明 nn3 3 2 1 2 1 31 3 n 注意到對任何正整數(shù) 時有 就有kn k 2 176 2 127640 4 nn 12746n 于是 對 取 0 max N 例 6 lim an 證法一 令 有 用 Bernoulli不等式 有 1n 0n 或 1 na 1 1naan 證法二 用均值不等式 nna個10 n 例 7 lim n 證一 時 2 n 2121 102 nnn 證二 2 n 二項式展開 1 2 nn 因此 0 取 2 N 則當 Nn 時就有 10n即 附 此題請注意以下的錯誤做法 1 1 nnn nn1n 注意 不趨于零 例 8 證明 34lim2 n 證明 由于 n 1222 3 因此 0 只要取 n1 便有 42n 由于 式是在 3 的條件下成立的 故應取 12 3max N 當Nn 時就有 42n 即 34li2 n 總結(jié) 用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當放大不等式 關(guān)鍵的追求有 兩點 一是把隱性表達式變成顯性表達式 在重鎖迷霧中看清廬山真面目 二 是抓住主要矛盾 舍去次要矛盾 要取舍合理 不能放大得過份 4 關(guān)于數(shù)列的極限的 定義的幾點說明N 1 關(guān)于 的任意性 定義 1中的正數(shù) 的作用在于衡量數(shù)列通項 與常數(shù) 的接近程度 越小 表示接近得越好 而正數(shù) 可以任意小 說na 明 與常數(shù) 可以接近到任何程度 的暫時固定性 盡管 有其任意性 但 一經(jīng)給出 就暫時地被確定下來 以便依靠它來求出 的多值性 既是N 任意小的正數(shù) 那么 等等 同樣也是任意小的正數(shù) 因此定義 1中的2 3 不等式 中的 可用 等來代替 從而 可用 na 2 na 代替 正由于 是任意小正數(shù) 我們可以限定 小于一個確定的 正數(shù) 2 關(guān)于 相應性 一般地 隨 的變小而變大 因此常把 定NN N 作 來強調(diào) 是依賴于 的 一經(jīng)給定 就可以找到一個 多值 性 的相應性并不意味著 是由 唯一確定的 因為對給定的 若NN 時能使得當 時 有 則 或更大的數(shù)時此不等式自10 n na 10 然成立 所以 不是唯一的 事實上 在許多場合下 最重要的是 的存在性 N 而不是它的值有多大 基于此 在實際使用中的 也不必限于自然數(shù) 只要 是正數(shù)即可 而且把 改為 也無妨 3 數(shù)列極限的幾何理解 在定義 1中 當 時有 n na 當 時有 當 時有 nN na 所有下標大于 的項 都落在鄰域 內(nèi) aU Nn U 而在 之外 數(shù)列 中的項至多只有 個 有限個 反之 任給 n 0 若在 之外數(shù)列 中的項只有有限個 設這有限個項的最大下標為 N 則當 時有 即當 時有 由此寫出數(shù)列極限的n na na 一種等價定義 鄰域定義 定義 任給 若在 之外數(shù)列 中的項只有有限個 則稱數(shù)1 0 U 列 收斂于極限 n 由此可見 1 若存在某個 使得數(shù)列 中有無窮多個項落在0na 之外 則 一定不以 為極限 2 數(shù)列是否有極限 只與它從某一0 Ua naa 項之后的變化趨勢有關(guān) 而與它前面的有限項無關(guān) 所以 在討論數(shù)列極限時 可以添加 去掉或改變它的有限項的數(shù)值 對收斂性和極限都不會發(fā)生影響 例 1 證明 和 都是發(fā)散數(shù)列 2 1 n 例 2 設 作數(shù)列如下 證limlinxya 12 nnzxyxy 明 nz 例 3 設 為給定的數(shù)列 為對 增加 減少或改變有限項之后得anbna 到的數(shù)列 證明 數(shù)列 與 同時收斂或發(fā)散 且在收斂時兩者的極限相等 na 三 無窮小數(shù)列 在所有收斂數(shù)列中 在一類重要的數(shù)列 稱為無窮小數(shù)列 其定義如下 定義 2 若 則稱 為無窮小數(shù)列 lim0na na 如 都是無窮小數(shù)列 11 2 數(shù)列 收斂于 的充要條件 n 定理 2 1 數(shù)列 收斂于 的充要條件是 為無窮小數(shù)列 na na 作業(yè) 教材 P27 3 4 5 7 8 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 教學內(nèi)容 第二章 數(shù)列極限 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 教學目的 熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì) 掌握求數(shù)列極限的常用方法 教學要求 1 使學生理解并能證明數(shù)列性質(zhì) 極限的唯一性 局部有界性 保號性 保不等式性 2 掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運算定理 迫斂性定理 并會用 這些定理求某些收斂數(shù)列的極限 教學重點 迫斂性定理及四則運算法則及其應用 教學難點 數(shù)列極限的計算 教學方法 講練結(jié)合 教學程序 引 言 上節(jié)引進 數(shù)列極限 的定義 并通過例題說明了驗證 的方法 limna 這是極限較基本的內(nèi)容 要求掌握 為了學習極限的技巧及其應用極限來解決問 題 還需要對數(shù)列的性質(zhì)作進一步討論 一 收斂數(shù)列的性質(zhì) 性質(zhì) 1 極限唯一性 若數(shù)列 na收斂 則它的極限唯一 證一 假設 ba與 都是數(shù)列 的極限 則由極限定義 對 0 12 N 當 1n 時 有 an 2Nn 時 有 ban 取 mx 21N 則當 時有 2 baabannnn 由 的任意性 上式僅當 b 時才成立 證二 反證 假設 n極限不唯一 即至少有兩個不相等的極限值 設 為 ba an lim bn li且 a 故不妨設 ba 取 02 a 由定義 1N 當 1 時有 n bn 又 2 當 2n時有 ban 2 abn 因此 當 max 21Nn 時有 nn ab 2 矛盾 因此極限值必唯一 性質(zhì) 2 有界性 如果數(shù)列 n收斂 則 n必為有界數(shù)列 即 0 M 使對 n 有 Man 證明 設 n lim取 1 0 N使得當 Nn時有 1 an 即 aann 1 an 令 1x 21NM 則有對 n a 即數(shù)列 na有界 注 有界性只是數(shù)列收斂的必要條件 而非充分條件 如 1 n 在證明時必須分清何時用取定 何時用任給 上面定理 3 2證明 中必須用取定 不能用任給 否則 N隨 在變 找到的 M也隨 在變 界M 的意義就不明確了 性質(zhì) 3 保序性 設 an lim bn li 1 若 ba 則存在 N使得當 時有 nba 2 若存在 當 n時有 nba 則 不等式性質(zhì) 證明 1 取 02 ba 則存在 1N 當 1 時 2 ban 從而 n 又存在 2N 當 2 時 2 ban 2ban 當 max 21Nn 時 nnab 2 反證 如 b 則由 知必 當 N 時 nb這與已知矛盾 推論 保號性 若 an li則 當 n時 an 特別地 若0lim an 則 N 當 時 n與 同號 思考 如把上述定理中的 nba 換成 n 能否把結(jié)論改成nnba lili 例 設 0 n 21 若 an lim 則 an li 證明 由保序性定理可得 0 a 若 0a 則 1N 當 1n 時有 2 na n 即n lim 若 0 a 則 2 當 2n 時有 an aannn 數(shù)列較為復雜 如何求極限 性質(zhì) 4 四則運算法則 若 n b都收斂 則 nba n nba 也都收斂 且 nnnaa limli lim b limli 特別 地 nnc lili 為常數(shù)如再有 0li nb則 n 也收斂 且 nnbalilim 證明 由于 nnnba 1 nb a1 故只須證關(guān)于和積與倒數(shù) 運算的結(jié)論即可 設 an lim bn li 0 1N 當 1n 時 an 2N 當 2 時 b 取 ax 21N 則當 n時上兩式同時成立 1 bababb nnnnnn 由收斂數(shù)列的有界性 0 M 對 有 Mn 故當 Nn 時 有 aban 由 的任意性知 n lim 2 0li bn 由保號性 0 N及 k 對 0Nn 有 kbn 如可令 2 bk 取 max 20 則當 時有 1 bkbbnnn 由 的任意性得 n 1li 用歸納法 可得有限個序列的四則運算 Nkknknnxx1 1 limli k knk 但將上述 N換成 一般不成立 事實上 1k 或 k本身也是一種極限 兩 種極限交換次序是個非常敏感的話題 是高等分析中心課題 一般都不能交換 在一定條件下才能交換 具體什么條件 到后面我們會系統(tǒng)研究這個問題 性質(zhì) 5 兩邊夾定理或迫斂性 設有三個數(shù)列 na b nc 如 N 當 Nn 時有 nnbca 且 lim nalilbn 則 nimlc 證明 nlinlil 0 21 N 當 1N 時 laln 當 2n時 lbln 取 max 210 則當 0 時以上兩式與已知條件中的不等式同 時成立 故有 0n 時 lbcalnn lcn即 nlimlc 該定理不僅提供了一個判定數(shù)列收斂的方法 而且也給出了一個求極限的 方法 推論 若 N 當 n 時有 nbca 或 acn 且 abn li 則acn lim 例 求證 nli 0 a 證明 k 使得 從而當 kn時有 0 n a ak 121 由于 nlimk k nlia0 由推論即可得結(jié)論 例 設 1a 2 m是 個正數(shù) 證明 nlim x 2121nnma 證明 設 a21mA 則 An nma 21A nli 由迫斂性得結(jié)論 例 1 1 lim a n 在證明中 令 0 nh nha 1 得 n ah 0 由此推出0nh 由此例也看出由 nnyzx 和 nnyx limli 也推出 zn li 例 2 證明 1lim 證明 令 nnh 3 2 1 2 1 nhnhn 1 0 n 兩邊夾推出 h 即 n 在求數(shù)列的極限時 常需要使用極限的四則運算法則 下舉幾例 例 3 求極限 93 64lim2 n 解 3 4li1li 212 nnn 例 4 求極限 10 aa 解 nnn 1lim 1 lim 例 5 1 lim 3 lili33 nnn li li nnn 例 6 求 011 limbbaakkmn km 0 a kb 解 原式 kkk kmmn nbnbaa 011li km 即 有理式的極限 0高 次 則 為分 子 最 高 次 低 于 分 母 最 為 最 高 次 系 數(shù) 之 比分 子 分 母 最 高 次 數(shù) 相 同 如 3 27103542lim nn 例 7 lin 1 1limli 21nnn 例 8 設 0 ba 證明 ax li b nn 證明 max 2 ax mx bbnn 二 數(shù)列的子列 1 引言 極限是個有效的分析工具 但當數(shù)列 的極限不存在時 這個工具隨之失 na 效 這能說明什么呢 難道 沒有一點規(guī)律嗎 當然不是 出現(xiàn)這種情況原na 因是我們是從 整個 數(shù)列的特征角度對數(shù)列進行研究 那么 如果 整體無序 部分 是否也無序呢 如果 部分 有序 可否從 部分 來推斷整體的 性質(zhì)呢 簡而言之 能否從 部分 來把握 整體 呢 這個 部分數(shù)列 就 是要講的 子列 2 子列的定義 定義1 設 為數(shù)列 為正整數(shù)集 的無限子集 且 naknN 則數(shù)列23kn 12 knna 稱為數(shù)列 的一個子列 簡記為 kna 注1 由定義可見 的子列 的各項都來自 且保持這些項在 nk na 中的的先后次序 簡單地講 從 中取出無限多項 按照其在 中的順nan n 序排成一個數(shù)列 就是 的一個子列 或子列就是從 中順次取出無窮多nan 項組成的數(shù)列 注2 子列 中的 表示 是 中的第 項 表示 是 中的 knkkn akkna k 第k項 即 中的第k項就是 中的第 項 故總有 特別地 若akk 則 即 kn knkna 注3 數(shù)列 本身以及 去掉有限項以后得到的子列 稱為 的平凡 nana na 子列 不是平凡子列的子列 稱為 的非平凡子列 如 都是 的非平凡子列 由上節(jié)例知 數(shù)列 與它的任一21 k n n 平凡子列同為收斂或發(fā)散 且在收斂時有相同的極限 那么數(shù)列 的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關(guān)系呢 此即下面 na 的結(jié)果 定理2 8 數(shù)列 n收斂的充要條件是 na的任何非平凡子列都收斂 證明 必要性 設 limknna 是 的任一子列 任給 0 存在正 數(shù)N 使得當 Nk 時有 k由于 故當 Nk 時有 nk 從而也 有 akn 這就證明了 kn收斂 且與 na有相同的極限 充分性 考慮 a的非平凡子列 2k 12 k與 3k 按假設 它們都 收斂 由于 6k既是 2k 又是 3的子列 故由剛才證明的必要性 limlili 36kk 9 又 36 ka既是 12 k又是 3k的子列 同樣可得 lili312ka 10 9 式與 10 式給出 122lili kk 所以由課本例7可知 na收斂 由定理2 8的證明可見 若數(shù)列 na的任何非平凡子列都收斂 則所有這 些子列與 na必收斂于同一個極限 于是 若數(shù)列 na有一個子列發(fā)散 或有 兩個子列收斂而極限不相等 則數(shù)列 n一定發(fā)散 例如數(shù)列 1 n 其偶數(shù)項 組成的子列 1 2 收斂于1 而奇數(shù)項組成的子列 12k收斂于 從而 n 發(fā)散 再如數(shù)列 sin 它的奇數(shù)項組成的子列 si 即為1 k 由于這個子列發(fā)散 故數(shù)列 2 sin 發(fā)散 由此可見 定理 2 8是判 斷數(shù)列發(fā)散的有力工具 3 數(shù)列極限存在的條件 教學內(nèi)容 第二章 數(shù)列極限 3 數(shù)列極限存在的條件 教學目的 使學生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具 教學要求 1 掌握并會證明單調(diào)有界定理 并會運用它求某些收斂數(shù)列的極 限 2 初步理解 Cauchy準則在極限理論中的主要意義 并逐步會應 用 Cauchy準則判斷某些數(shù)列的斂散性 教學重點 單調(diào)有界定理 Cauchy 收斂準則及其應用 教學難點 相關(guān)定理的應用 教學方法 講練結(jié)合 教學程序 引 言 在研究比較復雜的極限問題時 通常分兩步來解決 先判斷該數(shù)列是否有 極限 極限的存在性問題 若有極限 再考慮如何計算些極限 極限值的計算 問題 這是極限理論的兩基本問題 在實際應用中 解決了數(shù)列 極限的存 na 在性問題之后 即使極限值的計算較為困難 但由于當 充分大時 能充分 接近其極限 故可用 作為 的近似值 ana 本節(jié)將重點討論極限的存在性問題 為了確定某個數(shù)列是否有極限 當然不可能將每一個實數(shù)依定義一一加以 驗證 根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來作出判斷 從收斂數(shù)列的有界性可知 若 收斂 則 為有界數(shù)列 但反之不一 nana 定對 即 有界不足以保證 收斂 例如 但直觀看來 若 有界 na 1 na 又 隨 n的增大 減少 而增大 減少 它就有可能與其上界 或下界 非 常接近 從而有可能存在極限 或收斂 為了說明這一點 先給出具有上述特征的數(shù)列一個名稱 單調(diào)數(shù)列 一 單調(diào)數(shù)列 定義 若數(shù)列 的各項滿足不等式 則稱 為遞增 na11 nna na 遞減 數(shù)列 遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列 例如 為遞減數(shù)列 為遞增數(shù)列 不是單調(diào)數(shù)列 1 2 n 二 單調(diào)有界定理 問題 1 單調(diào)數(shù)列一定收斂嗎 2 收斂數(shù)列一定單調(diào)嗎 一個數(shù)列 如果僅是單調(diào)的或有界的 不足以保證其收斂 但若既單調(diào) na 又有界 就可以了 此即下面的極限存在的判斷方法 定理 單調(diào)有界定理 在實數(shù)系中 有界且單調(diào)數(shù)列必有極限 幾何解釋 單調(diào)數(shù)列 na只可能向一個方向移動 故僅有兩種可能 1 點 na沿數(shù)軸移向無窮遠 2 無限趨于某一個定點 A 即 na 證明 不妨設 na單調(diào)增加有上界 把 na看作集合 有確界原理 sup na 存在 即 1 n 2 0 Nn 使 0na 由于 na單調(diào)增加 故當 0時有 0n 即當 0 時 n亦即 nalim 例 1 a 證明數(shù)列 1 2 a 3 naa 收斂 并求其極限 證明 從該數(shù)列的構(gòu)造 顯見它是單調(diào)增加的 下面來證它是有界的 易見 0 an 且 12a 23a 1 nna 從而 1 2 nnn 兩端除以 n得 n an an 1故 n有界即得極限存在 設 nliml 對等式 1 2 nn 兩邊取極限 則有 limli1 2 nnna an 1lil224al 因 n為正數(shù)列 故 0 l 因此取 1l 即為所求極限 例 2 求 nlim ka 為一定數(shù) 1 a 解 記 nc k 則 0nc且 kknnac 1 1 則 N 當 N 時 1 ka 故 n后 nc單調(diào)遞減 又有 0 nc 極限一定存在 設為 A 由 n kna 1 1 兩邊取極限得 Aa1 0 例 3 設 證明數(shù)列 收斂 2 32 n na 例 4 求 計算 的逐次逼近 1 0 1 nnxaxa limnx 法 亦即迭代法 解 由均值不等式 有 有下界 nnxx2 1 nnxax 注意到對 有