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《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答 第七章（2008年12月4日） 1． 對(duì)于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題： （1）因?yàn)橐粋€(gè)時(shí)段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會(huì)影響到下一時(shí)段的價(jià)格，所以第時(shí)段的價(jià)格由第和第時(shí)段的數(shù)量和決定，如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較. （2）若除了由和決定之外，也由前兩個(gè)時(shí)段的價(jià)格和確定.試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會(huì)放寬. 解：（1）由題設(shè)條件可得需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)分別為： 在點(diǎn)附近用直線來近似曲線，得到 由（2）得 （1）代入（3）得 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 特征根為 當(dāng)時(shí)，則有特征根在單位圓外，設(shè)，則 即平衡穩(wěn)定的條件為與的結(jié)果一致. （2）此時(shí)需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)在處附近的直線近似表達(dá)式分別為： 由（5）得， 將（4）代入（6），得 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 代數(shù)方程（7）無正實(shí)根，且不是（7）的根.設(shè)（7）的三個(gè)非零根分別為，則 對(duì)（7）作變換： 則 其中 用卡丹公式： 其中 求出，從而得到，于是得到所有特征根的條件. 2．已知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件. 解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和. 設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來近似表示曲線和： ----------------------（1） --------------------（2） 從上述兩式中消去可得 ， -----------（3） 上述（3）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程. 為了尋求點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（3）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 ---------------（4） 當(dāng)8時(shí)，顯然有 -----------（5） 從而 2，在單位圓外．下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 ． 故點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為 ． 3． 已知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件. 解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和. 設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來近似表示曲線和： --------------------（1） --- ----------------（2） 由（2）得 --------------------（3） （1）代入（3），可得 ， --------------（4） 上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程. 為了尋求點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 ---------------（4） 當(dāng)8時(shí)，顯然有 -----------（5） 從而 2，在單位圓外．下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 ． 故點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為 ． 《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答 第八章（2008年12月9日） 1． 證明8.1節(jié)層次分析模型中定義的階一致陣有下列性質(zhì)： （1） 的秩為1，唯一非零特征根為； （2） 的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于的特征向量. 證明： （1）由一致陣的定義知：滿足 ， 于是對(duì)于任意兩列，有，.即列與列對(duì)應(yīng)分量成比例. 從而對(duì)作初等行變換可得： B 這里.，從而秩 再根據(jù)初等行變換與初等矩陣的關(guān)系知：存在一個(gè)可逆陣，使，于是 C 易知C的特征根為（只有一個(gè)非零特征根）. 又～，與C有相同的特征根，從而A的非零特征根為，又對(duì)于任意矩陣有.故A的唯一非零特征根為. （2）對(duì)于A的任一列向量， 有 的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于的特征向量. 7. 右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競(jìng)賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次. 2 1 3 4 5 解：這個(gè)5階競(jìng)賽圖是一個(gè)5階有向Hamilton圖.其一個(gè)有向Hamilton圈為3.所以此競(jìng)賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競(jìng)賽圖的鄰接矩陣為 令，各級(jí)得分向量為 ， ， ， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）. 注：給5位網(wǎng)球選手排名次也可由計(jì)算A的最大特征根和對(duì)應(yīng)特征向量得到： ， 數(shù)學(xué)模型作業(yè)（12月16日）解答 1.基于省時(shí)、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項(xiàng)因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個(gè)方案中選一個(gè)，畫出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次結(jié)構(gòu)圖. 越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益 解：目標(biāo)層 建筑就 業(yè) 岸間商 業(yè) 當(dāng)?shù)厣虡I(yè) 收入 省時(shí) 準(zhǔn)則層 修隧道 建橋梁 設(shè)渡輪 方案層 2.簡(jiǎn)述層次分析法的基本步驟. 問對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題要分成哪3個(gè)層次？具體內(nèi)容分別是什么？ 答：層次分析法的基本步驟為：（1）．建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）．構(gòu)造成對(duì)比較陣；（3）．計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)；（4）．計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)． 對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次. 目標(biāo)層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準(zhǔn)則層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽(yù)、關(guān)系、位置等. 3．用層次分析法時(shí)，一般可將決策問題分解成哪3個(gè)層次？試給出一致性指標(biāo)的定義以及n階正負(fù)反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時(shí)，一般可將決策問題分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次； 一致性指標(biāo)的定義為：．n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n． 第九章（2008年12月18日） 1．在節(jié)傳送帶效率模型中,設(shè)工人數(shù)固定不變.若想提高傳送帶效率D,一種簡(jiǎn)單的方法是增加一個(gè)周期內(nèi)通過工作臺(tái)的鉤子數(shù)，比如增加一倍，其它條件不變．另一種方法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個(gè)工人在任何時(shí)刻可以同時(shí)觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產(chǎn)品，這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣．試推導(dǎo)這種情況下傳送帶效率的公式，從數(shù)量關(guān)系上說明這種辦法比第一種辦法好． 　解：兩種情況的鉤子數(shù)均為．第一種辦法是個(gè)位置，單鉤放置個(gè)鉤子；第二種辦法是個(gè)位置，成對(duì)放置個(gè)鉤子． 　　① 由節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為 　　　　 　　　　當(dāng)較小，時(shí)，有 　　　　 　　　　　，　 　?、?下面推導(dǎo)第二種辦法的傳送帶效率公式： 　　　對(duì)于個(gè)位置，每個(gè)位置放置的兩只鉤子稱為一個(gè)鉤對(duì)，考慮一個(gè)周期內(nèi)通過的個(gè)鉤對(duì)． 　　任一只鉤對(duì)被一名工人接觸到的概率是； 　 任一只鉤對(duì)不被一名工人接觸到的概率是； 　　記．由工人生產(chǎn)的獨(dú)立性及事件的互不相容性．得，任一鉤對(duì)為空的概率為，其空鉤的數(shù)為；任一鉤對(duì)上只掛上１件產(chǎn)品的概率為，其空鉤數(shù)為．所以一個(gè)周期內(nèi)通過的個(gè)鉤子中，空鉤的平均數(shù)為 　　　 于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ， 未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ） 　此時(shí)傳送帶效率公式為 　　　 　 ③ 近似效率公式： 由于　 　　　 當(dāng)時(shí)，并令，則 ④ 兩種辦法的比較： 　　　由上知：， 　　　　，當(dāng)時(shí)，， ． 所以第二種辦法比第一種辦法好． 《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答 第九章（2008年12月23日） 一報(bào)童每天從郵局訂購一種報(bào)紙，沿街叫賣.已知每100份報(bào)紙報(bào)童全部賣出可獲利7元.如果當(dāng)天賣不掉，第二天削價(jià)可以全部賣出，但報(bào)童每100份報(bào)紙要賠4元.報(bào)童每天售出的報(bào)紙數(shù)是一隨機(jī)變量，其概率分布如下表： 售出報(bào)紙數(shù)（百份） 0 1 2 3 4 5 概率 0．05 0.1 0.25 0.35 0.15 0.1 試問報(bào)童每天訂購多少份報(bào)紙最佳(訂購量必須是100的倍數(shù))？ 解：設(shè)每天訂購百份紙，則收益函數(shù)為 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時(shí)的收益期望值. G(0)=0；G(1)=0.05+70.1+7（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (); G(3)=() G(4)=() G(5)= 當(dāng)報(bào)童每天訂300份時(shí)，收益的期望值最大. 數(shù)模復(fù)習(xí)資料 第一章 1. 原型與模型 原型就是實(shí)際對(duì)象.模型就是原型的替代物.所謂模型, 按北京師范大學(xué)劉來福教授的觀點(diǎn)：模型就是人們?yōu)橐欢ǖ哪康膶?duì)原型進(jìn)行的一個(gè)抽象.如航空模型、城市交通模型等. 模型 2. 數(shù)學(xué)模型 對(duì)某一實(shí)際問題應(yīng)用數(shù)學(xué)語言和方法,通過抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)等對(duì)這一實(shí)際問題近似刻劃所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),稱為此實(shí)際問題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型. 例如力學(xué)中著名的牛頓第二定律使用公式來描述受力物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型.或又如描述人口隨時(shí)間自由增長過程的微分方程. 3. 數(shù)學(xué)建模 所謂數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)需要針對(duì)實(shí)際問題組建數(shù)學(xué)模型的過程.更具體地說,數(shù)學(xué)建模是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定系統(tǒng)或特定問題,為了一個(gè)特定的目的,運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法,通過抽象和簡(jiǎn)化,建立一個(gè)近似描述這個(gè)系統(tǒng)或問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(數(shù)學(xué)模型),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具以及計(jì)算機(jī)技術(shù)來解模型,最后將其結(jié)果接受實(shí)際的檢驗(yàn),并反復(fù)修改和完善. 數(shù)學(xué)建模過程流程圖為： 實(shí)際問題 抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè) 確定變量、參數(shù) 歸結(jié) 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)地、數(shù)值地 求解模型 估計(jì)參數(shù) 否 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? (用實(shí)例或有關(guān)知識(shí)) 符合否？ 是 評(píng)價(jià)、推廣并交付使用 產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益 4.數(shù)學(xué)建模的步驟 依次為：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用 5.數(shù)學(xué)模型的分類 數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類,常見的有： a. 按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類 數(shù)學(xué)模型 b. 按建模的數(shù)學(xué)方法分類 數(shù)學(xué)模型 c. 按建模目的來分類 數(shù)學(xué)模型 d.層次分析法的基本步驟：1.建立層次結(jié)構(gòu)模型2.構(gòu)造成對(duì)比較陣3.計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)4.計(jì)算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗(yàn) e.n階正互反正A是一致陣的充要條件為A的最大特征值為n f.正互反陣最大特征根和特征向量的實(shí)用算法：冪法、和法、根法 4．在“椅子擺放問題”的假設(shè)條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，其余條件不變.試構(gòu)造模型并求解. 解：設(shè)椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對(duì)稱軸為軸，用中心點(diǎn)的轉(zhuǎn)角表示椅子的位置.將相鄰兩腳A、B與地面距離之和記為;C、D與地面距離之和記為.并旋轉(zhuǎn).于是，設(shè)就得到. 數(shù)學(xué)模型：設(shè)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).若,有,且,則,使. 模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個(gè)連續(xù)函數(shù). 從而是上的連續(xù)函數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理：,使.即,使. 又因?yàn)?有.故. 9． （1）某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達(dá)山頂并留宿. 次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：00回到旅店.某乙說，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng) 過路徑中的同一地點(diǎn).為什么？ （2）37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者 進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束.問共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽，共需進(jìn)行多少輪比賽.如果是支球隊(duì)比賽呢？ 解：（1）方法一：以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標(biāo)， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點(diǎn), 兩天都在時(shí)刻經(jīng)過地點(diǎn). x d 方法二：設(shè)想有兩個(gè)人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時(shí)出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點(diǎn)記路程,設(shè)從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時(shí)刻走的路程為),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(>0).由題意知：,,.令,則有，，由于,都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,,使,即. （2）36場(chǎng)比賽，因?yàn)槌谲婈?duì)外，每隊(duì)都負(fù)一場(chǎng)；6輪比賽，因?yàn)?隊(duì)賽1輪，4隊(duì)賽2輪，32隊(duì)賽5輪. 隊(duì)需賽場(chǎng)，若，則需賽輪. 2．已知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件. 解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和. 設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來近似表示曲線和： --------------------（1） --- ----------------（2） 由（2）得 --------------------（3） （1）代入（3），可得 ， --------------（4） 上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程. 為了尋求點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 ---------------（5） 當(dāng)8時(shí)，顯然有 -----------（6） 從而 2，在單位圓外．下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 ． 故點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為 ． 3．設(shè)某漁場(chǎng)魚量(時(shí)刻漁場(chǎng)中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為： 其中為固有增長率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù). （1）．求漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn),并討論其穩(wěn)定性; （2）．試確定捕撈強(qiáng)度,使?jié)O場(chǎng)單位時(shí)間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,并求此時(shí)漁場(chǎng)魚量水平. 解：（1）.變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 ----（1） ， （1）的解為： ① 當(dāng)時(shí)，（1）無實(shí)根，此時(shí)無平衡點(diǎn)； ②當(dāng)時(shí)，（1）有兩個(gè)相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性. 但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； ③ 當(dāng)時(shí)，得到兩個(gè)平衡點(diǎn)： ， 易知 ， ， 平衡點(diǎn)不穩(wěn)定 ，平衡點(diǎn)穩(wěn)定. （2）．最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為： 即 ， 易得 此時(shí) ，但這個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定. 要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚量,且盡量接近,但不能等于. 5．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每件產(chǎn)品需要原材料、能源消耗、勞動(dòng)力及所獲利潤如下表所示： 品種 原材料 能源消耗(百元) 勞動(dòng)力(人) 利潤(千元) 甲 2 1 4 4 乙 3 6 2 5 現(xiàn)有庫存原材料1400千克；能源消耗總額不超過2400百元；全廠勞動(dòng)力滿員為2000人.試安排生產(chǎn)任務(wù)(生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少件),使利潤最大,并求出最大利潤. 解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，相應(yīng)的利潤為S.則此問題的數(shù)學(xué)模型為 模型的求解： 用圖解法.可行域?yàn)椋河芍本€ 組成的凸五邊形區(qū)域. 直線在此凸五邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過的交點(diǎn)時(shí)，S取最大值. 由 解得： （千元）. 故安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品400件、乙產(chǎn)品200件,可使利潤最大,其最大利潤為2600千元. 6. 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表： 貨物 體積 （立方米/箱） 重量 （百斤/箱） 利潤 （百元/箱） 甲 5 2 20 乙 4 5 10 已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運(yùn)多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤. 解:設(shè)甲貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為,,所獲利潤為則問題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域?yàn)椋河芍本€ 及組成 直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過與的交點(diǎn)時(shí)，取最大值 由 解得 . 7.深水中的波速與波長、水深、水的密度和重力加速度有關(guān)，試用量綱分析方法給出波速的表達(dá)式. 解：設(shè),,,， 的關(guān)系為=0.其量綱表達(dá)式為[]=LM0T-1，[]=LM0T0，[]=LM0T0，[]=L-3MT0， []=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱. ---------4分 量綱矩陣為 A= 齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為= = 由量綱定理 得 ∴, , ，其中是未定函數(shù) . 第二章(2)（2008年10月9日 15．速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與、S、的關(guān)系. 解: 設(shè)、、S、的關(guān)系為， 其量綱表達(dá)式為: [P]=, []=,[]=,[]=,這里是基本量綱. 量綱矩陣為： A= 齊次線性方程組為： 它的基本解為 由量綱定理得　， ， 其中是無量綱常數(shù). 16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式. 解：設(shè),,, 的關(guān)系為,,,=0.其量綱表達(dá)式為[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱. 量綱矩陣為 A= 齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量綱定理 得 . ，其中是無量綱常數(shù). 16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式. 解：設(shè),,,， 的關(guān)系為.其量綱表達(dá)式為 []=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T-2 其中L，M，T是基本量綱. 量綱矩陣為 A= 齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量 即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運(yùn)動(dòng)中考慮阻力，并設(shè)阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達(dá)式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期. 解：設(shè)阻尼擺周期,擺長, 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為 其量綱表達(dá)式為： ， 其中，，是基本量綱. 量綱矩陣為 A= 齊次線性方程組 的基本解為 得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量 ∴, , ∴ ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質(zhì)量分別為,；,;,. 又 當(dāng)無量綱量時(shí)， 就有 . 第三章1（2008年10月14日） 1. 在3.1節(jié)存貯模型的總費(fèi)用中增加購買貨物本身的費(fèi)用,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量．證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結(jié)果減少． 解：設(shè)購買單位重量貨物的費(fèi)用為,其它假設(shè)及符號(hào)約定同課本． 對(duì)于不允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為： 　　　　 　　　　 　　　　令 ， 　解得　　　 　　　　由 ，　得 與不考慮購貨費(fèi)的結(jié)果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結(jié)果沒有變． 對(duì)于允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為： 　　　 　　　 　　　 　　　令　，　得到駐點(diǎn)： 　　　　 與不考慮購貨費(fèi)的結(jié)果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結(jié)果減少． 2．建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型．設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，．在每個(gè)生產(chǎn)周期Ｔ內(nèi)，開始的一段時(shí)間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時(shí)間只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量的圖形.設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下： O 貯存費(fèi)為 又 , 貯存費(fèi)變?yōu)? 于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費(fèi)用（單位時(shí)間內(nèi)）為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值，即最優(yōu)周期為： . 相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況. . 此時(shí)產(chǎn)量與銷量相抵消，無法形成貯存量. 第四章（2008年10月28日） 1. 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,一件甲產(chǎn)品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產(chǎn)品用原料2千克, 原料4千克.現(xiàn)有原料20千克, 原料70千克.甲、乙產(chǎn)品每件售價(jià)分別為20元和30元.問如何安排生產(chǎn)使收入最大？ 解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件，相應(yīng)的利潤為S 則此問題的數(shù)學(xué)模型為： max S=20x+30y s.t. 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問題，現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解 可行域?yàn)椋河芍本€：x+2y=20, :5x+4y＝70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：20x+30y=c在可行域內(nèi) 平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過與的交點(diǎn)時(shí)， x S取最大值. 由 解得 此時(shí) ＝20＝350（元） 2. 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表： 貨物 體積 （立方米/箱） 重量 （百斤/箱） 利潤 （百元/箱） 甲 5 2 20 乙 4 5 10 已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運(yùn)多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤. 解:設(shè)甲貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為,,所獲利潤為則問題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域?yàn)椋河芍本€ 及組成 直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過與的交點(diǎn)時(shí)，取最大值 由 解得 . 3．某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃在下季度生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的微波爐.已知每臺(tái)甲型、乙型微波爐的銷售利潤分別為3和2個(gè)單位.而生產(chǎn)一臺(tái)甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個(gè)單位,所需工時(shí)分別為4和2個(gè)單位.若允許使用原料為100個(gè)單位,工時(shí)為120個(gè)單位,且甲型、乙型微波爐產(chǎn)量分別不低于6臺(tái)和12臺(tái).試建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型,確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺(tái)數(shù),使獲利潤最大．并求出最大利潤. 解：設(shè)安排生產(chǎn)甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應(yīng)的利潤為S. 則此問題的數(shù)學(xué)模型為： max S=3x +2y s.t. 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問題 用圖解法進(jìn)行求解 可行域?yàn)椋河芍本€：2x+3y=100, :4x+2y＝120 及x=6,y=12組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：3x+2y=c在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過與的交點(diǎn)時(shí), S取最大值. 由 解得 . ＝3＝100. 第五章2（2008年11月14日） 中心室 , 排除 6. 模仿5.4節(jié)建立的二室模型來建立一室模型（只有中心室），在快速靜脈注射、恒速靜脈滴注（持續(xù)時(shí)間為）和口服或肌肉注射3種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度曲線的圖形. 解: 設(shè)給藥速率為 (1)快速靜脈注射: 設(shè)給藥量為 則 (2)恒速靜脈滴注(持續(xù)時(shí)間為): 設(shè)滴注速率為解得 (3) 口服或肌肉注射: 3種情況下的血藥濃度曲線如下： (1) (2) (3) O t 4．在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為 初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時(shí)的剩余兵力是多少,乙方取勝的時(shí)間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時(shí)刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為 . 再由初始條件，得 又由 其解為 (1) 即乙方取勝時(shí)的剩余兵力數(shù)為 又令 注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為 第六章（2008年11月20日） 1.在6.1節(jié)捕魚模型中，如果漁場(chǎng)魚量的自然增長仍服從Logistic規(guī)律，而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù)h． (1)分別就，，這3種情況討論漁場(chǎng)魚量方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定狀況． (2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，其結(jié)果與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型有何不同． 解：設(shè)時(shí)刻t的漁場(chǎng)中魚的數(shù)量為，則由題設(shè)條件知：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記 (1).討論漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性： 　　　由，得 ． 即 ， (1)的解為： ①當(dāng)，，(1)無實(shí)根，此時(shí)無平衡點(diǎn)； ②當(dāng)，，(1)有兩個(gè)相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性. 但 及 均有 ，即．不穩(wěn)定； ③當(dāng)，時(shí)，得到兩個(gè)平衡點(diǎn)： ， 易知： ， ， ， 平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，平衡點(diǎn)穩(wěn)定 x (2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為 即 ， 易得 此時(shí) ， 但這個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定．這是與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型不同之處． 要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚量，且盡量接近，但不能等于． 第八章（2008年12月9日） 1.基于省時(shí)、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項(xiàng)因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個(gè)方案中選一個(gè)，畫出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次結(jié)構(gòu)圖. 越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益 解：目標(biāo)層 建筑就 業(yè) 岸間商 業(yè) 當(dāng)?shù)厣虡I(yè) 收入 省時(shí) 準(zhǔn)則層 修隧道 建橋梁 設(shè)渡輪 方案層 2.簡(jiǎn)述層次分析法的基本步驟. 問對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題要分成哪3個(gè)層次？具體內(nèi)容分別是什么？ 答：層次分析法的基本步驟為：（1）．建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）．構(gòu)造成對(duì)比較陣；（3）．計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)；（4）．計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)． 對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次. 目標(biāo)層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準(zhǔn)則層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽(yù)、關(guān)系、位置等. 3．用層次分析法時(shí)，一般可將決策問題分解成哪3個(gè)層次？試給出一致性指標(biāo)的定義以及n階正負(fù)反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時(shí)，一般可將決策問題分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次； 一致性指標(biāo)的定義為：．n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n． 7. 右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競(jìng)賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次. 2 1 3 4 5 解：這個(gè)5階競(jìng)賽圖是一個(gè)5階有向Hamilton圖.其一個(gè)有向Hamilton圈為3.所以此競(jìng)賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競(jìng)賽圖的鄰接矩陣為 令，各級(jí)得分向量為 ， ， ， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）. 第九章（2008年12月23日） 一報(bào)童每天從郵局訂購一種報(bào)紙，沿街叫賣.已知每100份報(bào)紙報(bào)童全部賣出可獲利7元.如果當(dāng)天賣不掉，第二天削價(jià)可以全部賣出，但報(bào)童每100份報(bào)紙要賠4元.報(bào)童每天售出的報(bào)紙數(shù)是一隨機(jī)變量，其概率分布如下表： 售出報(bào)紙數(shù)（百份） 0 1 2 3 4 5 概率 0．05 0.1 0.25 0.35 0.15 0.1 試問報(bào)童每天訂購多少份報(bào)紙最佳(訂購量必須是100的倍數(shù))？ 解：設(shè)每天訂購百份紙，則收益函數(shù)為: 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時(shí)的收益期望值. G(0)=0；G(1)=0.05+70.1+7（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (); G(3)=() G(4)=() G(5)= 當(dāng)報(bào)童每天訂300份時(shí)，收益的期望值最大. 《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答 第一章（2008年9月9日） 4．在“椅子擺放問題”的假設(shè)條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，其余條件不變.試構(gòu)造模型并求解. 解：設(shè)椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對(duì)稱軸為軸，用中心點(diǎn)的轉(zhuǎn)角表示椅子的位置.將相鄰兩腳A、B與地面距離之和記為;C、D與地面距離之和記為.并旋轉(zhuǎn).于是，設(shè)就得到. 數(shù)學(xué)模型：設(shè)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).若,有,且,則,使. 模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個(gè)連續(xù)函數(shù). 從而是上的連續(xù)函數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理：,使.即,使. 又因?yàn)?有.故. 8. 假定人口的增長服從這樣的規(guī)律：時(shí)刻的人口為,單位時(shí)間內(nèi)人口的增量與成正比（其中為最大容量）.試建立模型并求解.作出解的圖形并與指數(shù)增長模型、阻滯增長模型的結(jié)果比較. 解：現(xiàn)考察某地區(qū)的人口數(shù)，記時(shí)刻的人口數(shù)為（一般是很大的整數(shù)）,且設(shè)為連續(xù)可微函數(shù).又設(shè).任給時(shí)刻及時(shí)間增量,因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)人口增長量與成正比, 假設(shè)其比例系數(shù)為常數(shù).則到內(nèi)人口的增量為： . 兩邊除以,并令,得到 解為 如圖實(shí)線所示， 指數(shù)模型 當(dāng)充分大時(shí) 它與Logistic模型相近. Logistic模型 o t 9．為了培養(yǎng)想象力、洞察力和判斷力，考察對(duì)象時(shí)除了從正面分析外，還常常需要從側(cè)面 或反面思考.試盡可能迅速回答下面問題： （1） 某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達(dá)山頂并留宿. 次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：00回到旅店.某乙說，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng) 過路徑中的同一地點(diǎn).為什么？ （2） 37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者 進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束.問共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽，共需進(jìn)行多少輪比賽.如果是支球隊(duì)比賽呢？ （3） 甲乙兩站之間有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時(shí)刻 不一定相同.甲乙之間有一中間站丙，某人每天在隨機(jī)的時(shí)刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達(dá)甲站，僅約10天到達(dá)乙站.問開往甲乙兩站的電車經(jīng)過丙站的時(shí)刻表是如何安排的？ （4） 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6：00抵達(dá)T市車站，他的 妻子駕車準(zhǔn)時(shí)到車站接他回家，一日他提前下班搭早一班火車于5：30抵T市車站，隨即步行回家，他的妻子象往常一樣駕車前來，在半路上遇到他，即接他回家，此時(shí)發(fā)現(xiàn)比往常 提前了10分鐘.問他步行了多長時(shí)間？ （5） 一男孩和一女孩分別在離家2 km和1 km且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天 同時(shí)放學(xué)后分別以4 km/h和2 km/h的速度步行回家.一小狗以6 km/h的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中，問小狗奔波了多少路程？ 如果男孩和女孩上學(xué)時(shí)小狗也往返奔波在他們之間，問當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗在何處？ 解：（1）方法一：以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標(biāo)， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點(diǎn), 兩天都在時(shí)刻經(jīng)過地點(diǎn). x d 方法二：設(shè)想有兩個(gè)人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時(shí)出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點(diǎn)記路程,設(shè)從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時(shí)刻走的路程為),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(>0).由題意知：,,.令,則有，，由于,都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,,使,即. （2）36場(chǎng)比賽，因?yàn)槌谲婈?duì)外，每隊(duì)都負(fù)一場(chǎng)；6輪比賽，因?yàn)?隊(duì)賽1輪，4隊(duì)賽2輪，32隊(duì)賽5輪. 隊(duì)需賽場(chǎng)，若，則需賽輪. （3）不妨設(shè)從甲到乙經(jīng)過丙站的時(shí)刻表是8：00，8：10，8：20，…… 那么從乙到甲經(jīng)過丙站的時(shí)刻表應(yīng)該是8：09，8：19，8：29…… （4）步行了25分鐘.設(shè)想他的妻子駕車遇到他后，先帶他前往車站，再回家，汽車多行駛了10分鐘，于是帶他去車站這段路程汽車多跑了5分鐘，而到車站的時(shí)間是6：00，所以妻子駕車遇到他的時(shí)刻應(yīng)該是5：55. （5）放學(xué)時(shí)小狗奔跑了3 km.孩子上學(xué)到學(xué)校時(shí)小狗的位置不定（可在任何位置），因?yàn)樵O(shè)想放學(xué)時(shí)小狗在任何位置開始跑，都會(huì)與孩子同時(shí)到家.之所以出現(xiàn)位置不定的結(jié)果，是由于上學(xué)時(shí)小狗初始跑動(dòng)的那一瞬間，方向無法確定. 10. 某人第一天上午9：00從甲地出發(fā)，于下午6：00到達(dá)乙地.第二天上午9：00他又從乙地出發(fā)按原路返回，下午6：00回到甲地.試說明途中存在一點(diǎn)，此人在兩天中同一時(shí)間到達(dá)該處.若第二天此人是下午4：00回到甲地，結(jié)論將如何？ 答：（方法一）我們以甲地為始點(diǎn)記路程,設(shè)從甲地到乙地的路程函數(shù)為(即t時(shí)刻走的路程為),同樣設(shè)從乙地到甲地的路函數(shù)為,并設(shè)甲地到乙地的距離為(>0).由題意知：,,. 令 ,則有， 由于,都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,,使,即. 若第二天此人是下午4：00回到甲地,則結(jié)論仍然正確,這是因?yàn)椋? （方法二）此題可以不用建模的方法,而變換角度考慮：設(shè)想有兩個(gè)人，一人從甲地到乙地,另一人從乙地到甲地,同一天同時(shí)出發(fā),沿同一路徑,必定相遇.若第二天此人是下午4：00回到甲地,則結(jié)論仍然正確.