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《函數的概念》教學設計 人教版《普通高中課程標準實驗教科書數學Ⅰ必修本（A版）》第一章 概述： 《函數的概念》的教學需要兩課時，本節(jié)課是第一課時，是一節(jié)函數的概念課.如何上好一節(jié)概念課，概念不是由老師講出，而是讓學生去發(fā)現，并歸納概括出概念呢？從而讓學生更好的理解概念，熟練的去應用概念解決問題.在本節(jié)課的教學中，我以學生作為活動的主體，創(chuàng)設恰當的問題情境，引導學生積極思考，大膽探索，從而去發(fā)現問題、提出問題和解決問題.注重培養(yǎng)他們的觀察、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)他們的邏輯思維能力及抽象概括能力. 運用新課標的理念，我從以下幾個方面加以說明：教材內容分析、教學目標分析、教法學法分析、教學過程分析、教學評價分析 【教材內容分析】 1.教材的地位及作用 函數的概念是人教版數學必修①第一章第二節(jié)的內容，它不僅對前面學習的集合作了鞏固和發(fā)展，而且是學好后繼知識的基礎和工具．本節(jié)的主要內容就是函數的概念和函數的三個要素，學習了本小節(jié)后，為以后學習其他類型的函數打下扎實的基礎。由于函數反映出的數學思想滲透到數學的各個領域并且它在物理﹑化學及生物等其他領域也有廣泛的應用．因此，函數概念是中學數學最重要的基本概念之一。 2.學情分析 在學生學習用集合與對應的語言刻畫函數之前，學生已經會把函數看成變量之間的依賴關系，且比較習慣的用解析式表示函數，但這是對函數很不全面的認識。由于函數的概念比較抽象，學生思維不成熟、不嚴密，故而整個教學環(huán)節(jié)總是創(chuàng)設恰當的問題情境，引導學生積極思考，培養(yǎng)他們的邏輯思維能力。 【教學目標分析】 根據上述教材內容分析，并結合學生的學習心理和認知結構，我將教學目標分成三部分進行說明： 知識與技能： 1、從集合與對應的觀點出發(fā)，加深對函數概念的理解 2、理解函數的三要素：定義域、值域和對應法則 3、 理解函數符號的含義。 過程與方法： 在豐富的實例中，通過關鍵詞的強調和引導，使學生發(fā)現、概括出它們的共同特征，在此基礎上再用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用。 情感、態(tài)度與價值觀： 采用從實例中抽象概括出函數概念的方法，不僅為學生理解函數打下感性基礎，而且注重學生的抽象概括能力，啟發(fā)學生運用函數模型表述、思考、解決現實世界中蘊涵的規(guī)律，逐漸形成善于提出問題的習慣，學會數學表達和交流，發(fā)展數學應用意識。 【教學重點】函數的概念及y=f(x)的理解與深化。 【教學難點】函數的概念及函數符號f(x)的理解。 【教學關鍵】在集合與對應的基礎上理解函數的概念。 【課型結構】新授課。 【教具準備】多媒體課件。 【教學學法分析】 1.教法分析 充分利用多媒體輔助教學 著重于學生探索研究的啟發(fā)式教學為主，變式教學為輔，及引導、探究、講解、演練相結合。在教學過程中，多一點情境和歸納，多一點探索和發(fā)現，多一點思考和回顧。通過不同形式的自主學習、探究活動，豐富和改善教與學的方式，體驗數學發(fā)現和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力。 2.學法分析 本節(jié)內容的學習要注意運動變化觀和集合對應觀兩個觀點下函數定義的對比研究；注意借助熟悉的一次函數、二次函數、反比例函數加深對函數這一抽象概念的理解；要重視符號f(x)的學習，借助于具體函數來理解符號y=f(x)的含義，由具體到抽象，克服由抽象函數的數學符號帶來的理解困難，從而提高理解和運用數學符號的能力。 【教學過程分析】 根據本節(jié)課的特點，我分成以下幾部分詳細說明創(chuàng)設情境-引入新課、引導探求-形成知識、變式訓練-鞏固知識、討論探究-深化知識、總結反思-提高認知。 一、創(chuàng)設情境-引入課題 今天我們研究的內容是函數的概念，函數并不像我們前面學習的集合一樣一無所知，而是比較熟悉。所以我先找同學說說對函數的認識。 問題1：什么是函數？初中學過什么函數？試舉例說明 （讓學生盡可能用自己的語言表述初中學過的函數定義，并舉出學過的函數的例子。） 函數傳統(tǒng)定義（板書）變量觀點：設在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數，x叫做自變量）；指出用函數可以描述變量之間的依賴關系；強調函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型。 【設計意圖】復習學生初中已學過一次函數、反比例函數和二次函數、函數的變量觀點下的定義，為后面學習集合對應觀點下的函數定義鋪路，又能讓學生了解函數發(fā)展的過程。 以學生熟悉的情境入手激活學生的原有知識，形成學生的“再創(chuàng)造”欲望，讓學生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現新知識，使新知識和原知識形成聯系，符合學生的認知規(guī)律。同時也體現了數學的應用價值。 問題2：由上述定義你能判斷“y=1”是否表示一個函數？ （學生討論，發(fā)表各自意見，有的同學認為不是，因為沒有兩個變量，有的同學認為是，理由是，它可以表示為y=0x+1.） 教師由此指出爭論的焦點，其實是函數定義不完善的地方，這也正是我們今天研究函數定義的必要性，新的定義在與原來的定義不相違背的基礎上從更高的觀點，將它完善與深化。 【設計意圖】通過以上問題使學生知道僅用已有函數的概念不能解決問題2，引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生的“再創(chuàng)造欲望”，讓學生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現新知識，使新知識和原知識形成聯系。既是對初中已學函數概念的進一步深入，又是為下一步用集合語言刻畫函數的本質做好伏筆。 二、引導探求-形成知識 時間t的變化范圍是數集A={t|0≤t≤26}, 高度h的變化范圍是數集B={h|0≤h≤845} 【設計意圖】啟發(fā)學生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系：在t的變化范圍內，任給一個t，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度h與之相對應。 【設計意圖】引導學生看圖，并啟發(fā)：在t的變化范圍內，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積S與之相對應。 共同讀表，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系 問題3：分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同特點？ 對于數集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數集B中都有唯一確定的y與它對應，記作f:A→B 對于這個問題采用由學生分組討論三個實例的共同特點然后歸納出函數的定義，并在全班交流的形式。 【設計意圖】在三個實例的教學中，重點在于引導學生體會函數概念中的對應關系。通過實例1，體會用解析式刻畫變量之間的對應關系，關注t和h的范圍；通過實例2體會用圖象刻畫變量之間的對應關系，關注t和S的范圍；通過實例3體會用表格刻畫變量之間的對應關系。為了更好地使學生嘗試用集合與對應的語言進行描述，可以設置教學情境。通過學生的觀察、思考、討論來歸納結論，體現了學生自主探究的學習方式。讓他們通過實踐來進一步體驗到在集合對應觀下的函數內涵，也為學生解決數學問題提供了一種新的途徑和方法。 問題4：函數能否看做是兩個集合之間的一種對應呢？如果能，怎樣給函數重新下一個定義呢？ 設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在數集B中都有唯一確定的f(x)和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數（function）.記y=f(x)．x∈A．自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域（range）． 定義采取由學生回答、教師歸納總結的方法，給學生最大的發(fā)揮空間。這種從特殊到一般，揭示數學通常的發(fā)現過程，給學生“數學創(chuàng)造”的體驗。這種引出概念的方式自然而又易于學生接受和形成概念。 概念剖析： 1． 函數是一種特殊的對應——非空數集到非空數集的對應； 2． 函數的核心是對應法則，通常用記號f表示函數的對應法則，在不同的函數中，f的具體含義不一樣。函數記號y=f(x)表明，對于定義域A的任意一個x在“對應法則f”的作用下，即在B中可得唯一的y.當x在定義域中取一個確定的a，對應的函數值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對應； 3． 函數符號y=f(x)的說明： （1）“y=f(x)”即為“y是x的函數”的符號表示； （2）y=f(x)不一定能用解析式表示； （3）f(x)與f(a)是不同的，通常，f(a)表示函數f(x)當x=a時的函數； 函數y=f(x)是學生學習的難點，這是一個抽象的數學符號。教學時首先要強調符號“y=f(x)”為“y是x的函數”這句話的數學表示，它僅僅是數學符號，而不是表示“y等于f與x的乘積”。在有些問題中，對應關系f可用一個解析式表示，但在不少問題中，對應關系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如圖象、列表）來表示。所以在此向學生明確指出，y=f(x)不一定就是解析式，函數的表示方式除了解析式外，還有其它表示方法，如實例2的圖象法，實例3的列表法。 三、變式訓練-鞏固知識 下列圖象中不能作為函數的圖象的是（） 【設計意圖】啟發(fā)并引導學生思考、討論、交流，掌握函數的要點 四、討論探究-深化知識 集合A（A=R）到集合B（B=R）的對應：f:A→B，使得集合B中的元素與集合A中的元素x對應，如何表示這個函數？定義域和值域各是什么？函數呢？函數呢？ 教師演示動畫，用《幾何畫板》顯示這三種函數的動態(tài)圖象，啟發(fā)學生觀察、分析，并請同學們思考之后填寫下表： 【設計意圖】用函數的定義去解釋學過的一次函數、反比例函數、二次函數，使得對函數的描述性定義上升到集合與對應語言刻畫的定義。同時畫出函數的圖象，讓學生進一步體會“數”與“形”結合在理解函數中的作用，更好地幫助理解函數的三個要素，從而加強學生對函數概念的理解，進一步挖掘函數概念中集合與函數的聯系。明確定義域、值域和對應關系是決定函數的三要素，這是一個整體，以此更好地培養(yǎng)學生深層次思考問題的習慣。 五、鞏固練習 【設計意圖】通過鞏固練習，強化概念。從正反兩個方面抓住函數定義中的關鍵詞“任意”、“都”、“唯一”讓學生對函數概念及符號y=f(x)深刻理解。既考慮了數學思維的嚴謹性，也體現了數學知識的應用性。 六、歸納小結 你對“函數是描述變量之間的依賴關系的重要的數學模型”這句話有什么體會？構成函數的要素有哪些？你能舉出生活中的一些函數的例子嗎？ 【設計意圖】啟發(fā)學生對本節(jié)課學習內容進行總結，提醒學生重視研究問題的方法和過程。學生通過對這些問題的回答，初步理解函數的一般概念。 七、作業(yè) 舉出生活中函數的例子（2個）,并用集合與對應的語言來描述函數，同時說出函數的定義域、值域和對應關系。 八、板書設計 【教學流程圖】 【知識結構圖】 【教學評價分析】 為了使學生了解函數概念產生的背景，豐富函數的感性認識，獲得認識客觀世界的體驗，本課采用“突出主題，螺旋上升，反復應用”的方式，以實際問題為主線，在不同的場合考察問題的不同側面，由淺入深。本課在教學時采用問題探究式的教學方法進行教學，逐層深入，這樣使學生對函數概念的理解也逐層深入，從而準確理解函數的概念。函數引入中的三個問題,既與初中時學習函數內容相聯系,又蘊含了函數的三種表示方法---列表法、解析法、圖象法，這樣起到了承上啟下的作用。這三個實際問題背景，既是函數知識的生長點，又突出了函數的本質，為從數學內部研究函數打下了基礎。同時前三個例題也是這么設計的。 在培養(yǎng)學生的能力上，本課也進行了整體設計，通過探究、思考，培養(yǎng)了學生的實踐能力、觀察能力、判斷能力;通過揭示對象之間的內在聯系，培養(yǎng)了學生的辨證思維能力;通過實際問題的解決，培養(yǎng)了學生的分析問題、解決問題和表達交流能力;通過案例探究，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識與探究能力。 雖然函數概念比較抽象，難以理解，但是通過這樣的教學設計，學生基本上能很好地理解了函數概念的本質，達到了課程標準的要求，體現了課改的教學理念。